【考研类试卷】考研数学一(向量代数与空间解析几何)-试卷2及答案解析.doc
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1、考研数学一(向量代数与空间解析几何)-试卷 2及答案解析(总分:70.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:16,分数:32.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 a与 b为非零向量,则 ab=0是 ( )(分数:2.00)A.a=b的充要条件B.ab 的充要条件C.ab 的充要条件D.ab 的必要但不充分条件3.若非零向量 a,b 满足关系式ab=a+b,则必有 ( )(分数:2.00)A.a一 b=a+bB.a=bC.a.b=0D.ab=04.已知向量 ,且 a与 b不平行,则 (分数:2.00)A.B.C.D.5.两条平
2、行直线 (分数:2.00)A.B.C.D.6.若 ab,a,b 均为非零向量,x 是非零实数,则有 ( )(分数:2.00)A.a+xba+xbB.a一 xbaD.a 一 xba+xbB.a一 xba D.a 一 xba解析:解析:a+xb 2 =(a+xb).(a+xb)=a 2 +2xa.b+x 2 b 2 =a 2 +x 2 b 2 a 2 ,所以a+bxba应选 C7.已知 a0,b0,c0,且 a,b,c 互相垂直,则向量 r=xa+yb+zc的模为 ( )(分数:2.00)A.r=xa+yb+zcB.r=xa+yb+zcC.D. 解析:解析:r 2 =r.r=(xa+yb+zc).
3、(xa+yb+zc)=x 2 a 2 +y 2 b 2 +z 2 c 2 ,所以 8.设 c=a+b,a,b 为非零向量,且 a与 b不平行若这些向量起点相同,且 a,b,c 的终点在同一直线上,则必有 ( )(分数:2.00)A.0B.0C.+=1 D. 2 + 2 =1解析:解析:依题意,a+b 一 b与 a+b 一 a平行,从而有(a+bb)(a+b 一 )=0,即ab+baba 一 aba+ba=0因为 ab=一 ba,所以从上式可得(+)ba=ba又 a与 b不平行,ab0,故得 +=1应选 C9.设 y(x)是微分方程 y“(x 一 1)y“x 2 ye x 满足初始条件 y(0)
4、0,y“(0)1 的解,则 (分数:2.00)A.等于 1 B.等于 2C.等于 0D.不存在解析:解析:微分方程 y“(x 一 1)y“x 2 ye x 中,令 x0,则 y“(0)2, 10.二阶常系数非齐次线性微分方程 y“一 2y“一 3y(2x1)e x 的特解形式为( )(分数:2.00)A.(axb)e xB.x 2 e xC.x 2 (axb)e xD.x(axb)e x 解析:解析:方程 y“一 2y“一 3y(2x1)e x 的特征方程为 2 一 2 一 30,特征值为 1 一1, 2 3,故方程 y“一 2y“一 3y(2x1)e x 的特解形式为 x(axb)e x ,
5、选(D)11.设 1 (x), 2 (x), 3 (x)为二阶非齐次线性方程 y“a 1 (x)y“a 2 (x)yf(x)的三个线性无关解,则该方程的通解为( )(分数:2.00)A.C 1 1 (x) 2 (x)C 2 3 (x)B.C 1 1 (x)一 2 (x)C 2 3 (x)C.C 1 1 (x) 2 (x)C 2 1 (x)一 3 (x)D.C 1 1 (x)C 2 2 (x)C 3 3 (x),其中 C 1 C 2 C 3 1 解析:解析:因为 1 (x), 2 (x), 3 (x)为方程 y“a 1 (x)y“a 2 (x)yf(x)的三个线性无关解,所以 1 (x)一 3
6、(x), 2 (x)一 3 (x)为方程 y“a 1 (x)y“a 2 (x)y0 的两个线性无关解,于是方程 y“a 1 (x)y“a 2 (x)yf(x)的通解为 C 1 1 (x)一 3 (x)C 2 2 (x)一 3 (x) 3 (x) 即 C 1 1 (x)C 2 2 (x)C 3 3 (x),其中 C 3 1 一 C 1 一 C 2 或 C 1 C 2 C 3 1,选(D)12.曲面 x 2 +4y 2 一 z 2 =4与平面 x+z=a的交线在 yOz平面上的投影方程是 ( )(分数:2.00)A. B.C.D.(a一 z) 2 +4y 2 +z 2 =4解析:解析:根据题意,曲
7、面与平面的交线在 yOz平面上的投影应在 yOz平面上,故 x=0,因而选项 B和D不对又曲面与平面的交线在 yOz平面上的投影柱面方程应不含变量 x,故选项 C也不对应选 A13.在曲线 x=t,y=一 t 2 ,z=t 3 的所有切线中,与平面 x+2y+z=4平行的切线( )(分数:2.00)A.只有 1条B.只有 2条 C.至少有 3条D.不存在解析:解析:对应于 t 0 处曲线切线的方向向量为 =(1,一 2t 0 ,3t 0 2 ),该切线与平面 x+2y+z=4平行 与该平面的法向量 n=(1,2,1)垂直 14.直线 与直线 (分数:2.00)A.垂直B.平行C.相交但不垂直
8、D.为异面直线解析:解析:直线 L 1 与直线 L 2 的方向向量分别为 1 =(2,3,4), 2 =(1,1,2),显然既不平行也不垂直直线 L 1 与直线 L 2 分别过点 M 1 (0,一 3,0)和 M 2 (1,一 2,2)混合积 15.两条平行直线*,之间的距离为 ( )(分数:2.00)A.B. C.1D.2解析:解析:连接直线 L 1 上点 M 1 (1,一 1,0)与直线 L 2 上点 M 2 (2,一 1,1)的向量为 (1,0,1),L 1 的方向向量 =(1,2,1),则 16.曲线 (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析:曲面 x 2 +y 2 +z 2 =
9、2在点(1,一 1,0)处的法向量为 n 1 =(2,一 2,0),平面 x+y+z=0的法向量为 n 2 =(1,1,1),于是,曲线 在点(1,一 1,0)处的切向量为 =n 1 n 2 =(一 2,一2,4),故所求切线方程为 二、填空题(总题数:10,分数:20.00)17.已知直线 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:5x+3y-z-1=0)解析:解析:l 1 ,l 2 的方向向量分别为 s 1 =(1,一 1,2),s 2 =(-1,2,1),过直线 l 1 ,l 2 的平面的法向量可取为 18.设 x=2a+b,y=ka+b,其中a=1,b=2,且 ab若以
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