【考研类试卷】考研数学一-275及答案解析.doc
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1、考研数学一-275 及答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:31,分数:100.00)1.已知方程组 (分数:3.00)A.-1B.10C.1D.22.齐次方程组 Ax=0 只有零解的充分必要条件是(分数:3.00)A.A 是 n 阶可逆矩阵B.非齐次方程组 Ax=b 无解C.A 的列向量组线性无关D.A 的行向量组线性无关3.设 A 为秩是 r 的 mn 矩阵,非齐次线性方程组 Ax=b 有解的充分条件是(分数:3.00)A.r=mB.m=nC.r=nD.mn4.设 A 是 mn 矩阵,非齐次线性方程组 Ax=b 有解的充分条件是(分数:3.00)A.秩 r
2、(A)=min(m,n)B.A 的行向量组线性无关C.mnD.A 的列向量组线性无关5.设线性方程组 Ax=b 有 m 个方程,n 个未知数且 mn,则正确命题是(分数:3.00)A.若 Ax=0 只有零解,则 Ax=b 必有唯一解B.若 Ax=0 有非零解,则 Ax=b 必有无穷多解C.若 Ax=b 无解,则 Ax=0 只有零解D.若 Ax=b 有无穷多解,则 Ax=0 必有非零解6.设 A 为 mn 矩阵,下列命题中正确的是(分数:3.00)A.若 A 中有 n 阶子式不为零,则 Ax=0 仅有零解B.若 A 中有 n 阶子式不为零,则 Ax=b 必有唯一解C.若 A 中有 m 阶子式不为
3、零,则 Ax=0 仅有零解D.若 A 中有 m 阶子式不为零,则 Ax=b 必有唯一解7.已知 4 阶方阵 A= 1 , 2 , 3 , 4 , 1 , 2 , 3 , 4 均为四维列向量,其中 1 , 2 线性无关,若 1 +2 2 - 3 , 1 + 2 + 3 + 4 =,2 1 +3 2 + 3 +2 4 =,k 1 ,k 2 为任意常数,那么 Ax= 的通解为 A B C D (分数:3.00)A.B.C.D.8.三元一次方程组 所代表的三个平面的位置关系为 A B C D (分数:3.00)A.B.C.D.9.设 1 =(a i b i ,c i ) T ,i=1,2,3,=(d
4、1 ,d 2 ,d 3 ) T 则三个平面 a 1 x+b 1 y+c 1 z+d 1 =0 a 2 x+b 2 y+c 2 z+d 2 =0 a 3 x+b 3 y+c 3 z+d 3 =0 两两相交成三条平行直线的充分必要条件是(分数:3.00)A.r(1,2,3)=1,r(1,2,3,)=2B.r(1,2,3)=2,r(1,2,3,)=3C.1,2,3 中任意两个均线性无关,且 不能由 1,2,3 线性表出D.1,2,3 线性相关,且 不能由 1,2,3 线性表出10.设 A 为 n 阶矩阵,A T 是 A 的转置矩阵,对于线性方程组()Ax=0 和()A T Ax=0,必有(分数:3.
5、00)A.()的解是()的解,()的解也是()的解B.()的解是()的解,()的解不是()的解C.()的解是()的解,()的解不是()的解D.()的解不是()的解,()的解也不是()的解11.设 A 是 n 阶矩阵,对于齐次线性方程组()A n x=0 和()A n+1 =0,现有四个命题 (1)()的解必是()的解 (2)()的解必是()的解 (3)()的解不是()的解 (4)()的解不是()的解以上命题中正确的是(分数:3.00)A.(1)(2)B.(1)(4)C.(3)(4)D.(2)(3)12.设矩阵 (分数:3.00)A.1,0,-2B.1,1,-3C.3,0,-2D.2,0,-31
6、3.已知 A 是 4 阶矩阵,A * 是 A 的伴随矩阵,若 A * 的特征值是 1,-1,2,4,那么不可逆矩阵是(分数:3.00)A.A-EB.2A-EC.A+2ED.A-4E14.已知 A 是 n 阶可逆矩阵,那么与 A 有相同特征值的矩阵是 A.ATr B.A2 C.A-1 D.A-E(分数:3.00)A.B.C.D.15.矩阵 (分数:3.00)A.B.C.D.16.已知 =(1,-2,3) T 是矩阵 (分数:3.00)A.a=-2,b=6B.a=2,b=-6C.a=2,b=6D.a=-2,b=-617.已知 A 是 3 阶不可逆矩阵, 1 , 2 是齐次方程组 Ax=0 的基础解
7、系, 3 是矩阵 A 属于特征值=2 的特征向量则不是矩阵 A 特征向量的是(分数:3.00)A.-53B.1+22C.31-42D.21+318.设 A 是 n 阶矩阵,P 是 n 阶可逆矩阵,n 维列向量 是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量,那么在下列矩阵中 (1)A 2 (2)P -1 AP (3)A T (4) (分数:3.50)A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个19.设 A 是 n 阶矩阵,下列命题中正确的是 A.若 是 AT的特征向量,那么 是 A 的特征向量 B.若 是 A*的特征向量,那么 是 A 的特征向量 C.若 是 A2的特征向量,那么 是 A 的特征向量 D.若
8、 是 2A 的特征向量,那么 是 A 的特征向量(分数:3.50)A.B.C.D.20.设 A 是三阶矩阵,其特征值是 1,3,-2,相应的特征向量依次为 1 , 2 , 3 ,若 P=( 1 ,2 3 ,- 2 ),则 p -1 AP= A B C D (分数:3.50)A.B.C.D.21.知 (分数:3.50)A.1,-2,3B.1,2+3,2-23C.1,3,2D.1+2,1-2,322.下列矩阵中,不能相似对角化的矩阵是 A B C D (分数:3.50)A.B.C.D.23.下列矩阵中,A 和 B 相似的是 A B C D (分数:3.50)A.B.C.D.24.设 A 是三阶矩阵
9、, 是三阶可逆阵,且 ,则 A A B C D (分数:3.50)A.B.C.D.25.设 A、B、C、D 都是 n 阶矩阵,且 AC,BD,则必有 A(A+B)(C+D) B CABCD D (分数:3.50)A.B.C.D.26.已知 A 是三阶矩阵,r(A)=1,则 =0(分数:3.50)A.必是 A 的二重特征值B.至少是 A 的二重特征值C.至多是 A 的二重特征值D.一重、二重、三重特征值都有可能27.三阶矩阵 A 的特征值全为零,则必有(分数:3.50)A.秩 r(A)=0B.秩 r(A)=1C.秩 r(A)=2D.条件不足,不能确定28.n 阶矩阵 A 和 B 具有相同的特征值
10、是 A 与 B 相似的(分数:3.50)A.充分必要条件B.必要而非充分条件C.充分而非必要条件D.既非充分也非必要条件29.n 阶矩阵 A 与 B 有相同的特征向量是 A 与 B 相似的(分数:3.50)A.充分必要条件B.充分而非必要条件C.必要而非充分条件D.既不充分又不必要条件30.n 阶矩阵 A 具有 n 个线性无关的特征向量是 A 与对角矩阵相似的(分数:3.50)A.充分必要条件B.充分而非必要条件C.必要而非充分条件D.既不充分也不必要条件31.设三阶矩阵 A 的特征值是 0,1,-1,则下列命题中不正确的是(分数:3.50)A.矩阵 A-E 是不可逆矩阵B.矩阵 A+E 和对
11、角矩阵相似C.矩阵 A 属于 1 与-1 的特征向量相互正交D.方程组 Ax=0 的基础解系由一个向量构成考研数学一-275 答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:31,分数:100.00)1.已知方程组 (分数:3.00)A.-1B.10C.1 D.2解析:解析 线性方程组 Ax=b 有两个不同的解 Ax=b 有无穷多解 由于本题的系数矩阵比较复杂,故可以由|A|=0 来排查因为 所以本题中方程组有无穷多解的必要条件是|A|=0,故可排除 A 与 D 至于 =1,还是 =10?可以对增广矩阵代入特殊值后消元处理例如,把 =1 代入原方程组,有 因为 2.齐次
12、方程组 Ax=0 只有零解的充分必要条件是(分数:3.00)A.A 是 n 阶可逆矩阵B.非齐次方程组 Ax=b 无解C.A 的列向量组线性无关 D.A 的行向量组线性无关解析:解析 设 A 是 mn 矩阵,则齐次方程组 Ax=0 只有零解 的列向量组线性无关故应选 C 注意方程组不一定是 n 个方程 n 个未知数,所以 A 是充分条件,不必要 方程组 Ax=b 无解 此时 r(A)可以为 n 也可以不等于 n 例如 和 都有方程组 Ax=b 无解但齐次方程组 和 3.设 A 为秩是 r 的 mn 矩阵,非齐次线性方程组 Ax=b 有解的充分条件是(分数:3.00)A.r=m B.m=nC.r
13、=nD.mn解析:解析 因为 A 是 mn 矩阵,r(A)=m 说明 A 的行向量组线性无关,那么其延伸组必线性无关,故增广矩阵(A,b)的 m 个行向量也必线性无关因此, ,即方程组 Ax=b 必有解但方程组有解时,并不要求秩必为 m所以 A 是充分条件那么 BCD 错在何处? 当 m=n 时,A 是秩为 r 的 n 阶矩阵,由于增广矩阵的秩不能保证必是 r,因此推导不出方程组必有解; 当 r(A)=n 时,增广矩阵的秩, 4.设 A 是 mn 矩阵,非齐次线性方程组 Ax=b 有解的充分条件是(分数:3.00)A.秩 r(A)=min(m,n)B.A 的行向量组线性无关 C.mnD.A 的
14、列向量组线性无关解析:解析 因为线性方程组 Ax=b 有解 r(A)=r(A,b)当 A 的行向量组线性无关时,有 r(A)=m,那么此时亦有 r(A,b)=m,所以方程组 Ax=b 有解 但是当 A 的行向量组线性相关时,方程组 Ax=b 也可能有解例如 ,故 B 是充分条件 注意当 mn 时,若 r(A)=min(m,n)=m,方程组 Ax=b 有解,而 mn 时,由 r(A)=n r)A,b)=n,故 A 不正确例如 ,有 r(A)=2 而 当 mn 时,齐次方程组 Ax=0 肯定有非零解而非齐次线性方程组 Ax=b 则可以无解,这里不要混淆例如 5.设线性方程组 Ax=b 有 m 个方
15、程,n 个未知数且 mn,则正确命题是(分数:3.00)A.若 Ax=0 只有零解,则 Ax=b 必有唯一解B.若 Ax=0 有非零解,则 Ax=b 必有无穷多解C.若 Ax=b 无解,则 Ax=0 只有零解D.若 Ax=b 有无穷多解,则 Ax=0 必有非零解 解析:解析 Ax=0 只有零解 r(A)=n,但 ,所以 A 不正确 Ax=0 有非零解 r(A)n,但 ,所以 B 不正确 Ax=b 无解 ,但 ,所以 C 不正确 Ax=b 有无穷多解 6.设 A 为 mn 矩阵,下列命题中正确的是(分数:3.00)A.若 A 中有 n 阶子式不为零,则 Ax=0 仅有零解 B.若 A 中有 n
16、阶子式不为零,则 Ax=b 必有唯一解C.若 A 中有 m 阶子式不为零,则 Ax=0 仅有零解D.若 A 中有 m 阶子式不为零,则 Ax=b 必有唯一解解析:解析 A 是 mn 矩阵,若 A 中有 n 阶子式不为零,而 A 中又不存在 n+1 阶子式,故必有 r(A)=n同理,若 A 中有 m 阶子式不为零,则必有 r(A)=m,本题就是考查秩与方程组解之间的关系 对于 A,因为 r(A)=n,而 Ax=0 是 n 个未知数的齐次方程组,所以 Ax=0 必只有零解即 A 正确 关于 B,当 r(A)=n 时,增广矩阵 的秩有可能是 n+1,所以 Ax=b 可能无解即 B 不正确为此,请思考
17、下例 有 r(A)=2, ,方程组无解 至于 C 和 D,r(A)=m 说明 A 的行向量组线性无关,那么其延伸组必线性无关,所以 因此,方程组Ax=b 必有解但是否必有唯一解?Ax=0 是否只有零解都是不确定的 例如, 有非零解 7.已知 4 阶方阵 A= 1 , 2 , 3 , 4 , 1 , 2 , 3 , 4 均为四维列向量,其中 1 , 2 线性无关,若 1 +2 2 - 3 , 1 + 2 + 3 + 4 =,2 1 +3 2 + 3 +2 4 =,k 1 ,k 2 为任意常数,那么 Ax= 的通解为 A B C D (分数:3.00)A.B. C.D.解析:解析 由 1 +2 2
18、 - 3 = 知 8.三元一次方程组 所代表的三个平面的位置关系为 A B C D (分数:3.00)A.B.C. D.解析:解析 对增广矩阵作初等行变换,有 因为 r(A)=2, 9.设 1 =(a i b i ,c i ) T ,i=1,2,3,=(d 1 ,d 2 ,d 3 ) T 则三个平面 a 1 x+b 1 y+c 1 z+d 1 =0 a 2 x+b 2 y+c 2 z+d 2 =0 a 3 x+b 3 y+c 3 z+d 3 =0 两两相交成三条平行直线的充分必要条件是(分数:3.00)A.r(1,2,3)=1,r(1,2,3,)=2B.r(1,2,3)=2,r(1,2,3,)
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