1、考研数学一-275 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：31，分数：100.00)1.已知方程组 （分数：3.00）A.-1B.10C.1D.22.齐次方程组 Ax=0 只有零解的充分必要条件是（分数：3.00）A.A 是 n 阶可逆矩阵B.非齐次方程组 Ax=b 无解C.A 的列向量组线性无关D.A 的行向量组线性无关3.设 A 为秩是 r 的 mn 矩阵，非齐次线性方程组 Ax=b 有解的充分条件是（分数：3.00）A.r=mB.m=nC.r=nD.mn4.设 A 是 mn 矩阵，非齐次线性方程组 Ax=b 有解的充分条件是（分数：3.00）A.秩 r
2、(A)=min(m，n)B.A 的行向量组线性无关C.mnD.A 的列向量组线性无关5.设线性方程组 Ax=b 有 m 个方程，n 个未知数且 mn，则正确命题是（分数：3.00）A.若 Ax=0 只有零解，则 Ax=b 必有唯一解B.若 Ax=0 有非零解，则 Ax=b 必有无穷多解C.若 Ax=b 无解，则 Ax=0 只有零解D.若 Ax=b 有无穷多解，则 Ax=0 必有非零解6.设 A 为 mn 矩阵，下列命题中正确的是（分数：3.00）A.若 A 中有 n 阶子式不为零，则 Ax=0 仅有零解B.若 A 中有 n 阶子式不为零，则 Ax=b 必有唯一解C.若 A 中有 m 阶子式不为
3、零，则 Ax=0 仅有零解D.若 A 中有 m 阶子式不为零，则 Ax=b 必有唯一解7.已知 4 阶方阵 A= 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 均为四维列向量，其中 1 ， 2 线性无关，若 1 +2 2 - 3 ， 1 + 2 + 3 + 4 =，2 1 +3 2 + 3 +2 4 =，k 1 ，k 2 为任意常数，那么 Ax= 的通解为 A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.8.三元一次方程组 所代表的三个平面的位置关系为 A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.9.设 1 =(a i b i ，c i ) T ，i=1，2，3，=(d
4、1 ,d 2 ,d 3 ) T 则三个平面 a 1 x+b 1 y+c 1 z+d 1 =0 a 2 x+b 2 y+c 2 z+d 2 =0 a 3 x+b 3 y+c 3 z+d 3 =0 两两相交成三条平行直线的充分必要条件是（分数：3.00）A.r(1，2，3)=1，r(1，2，3，)=2B.r(1，2，3)=2，r(1，2，3，)=3C.1，2，3 中任意两个均线性无关，且 不能由 1，2，3 线性表出D.1，2，3 线性相关，且 不能由 1，2，3 线性表出10.设 A 为 n 阶矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，对于线性方程组()Ax=0 和()A T Ax=0，必有（分数：3.
5、00）A.()的解是()的解，()的解也是()的解B.()的解是()的解，()的解不是()的解C.()的解是()的解，()的解不是()的解D.()的解不是()的解，()的解也不是()的解11.设 A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组()A n x=0 和()A n+1 =0，现有四个命题 (1)()的解必是()的解 (2)()的解必是()的解 (3)()的解不是()的解 (4)()的解不是()的解以上命题中正确的是（分数：3.00）A.(1)(2)B.(1)(4)C.(3)(4)D.(2)(3)12.设矩阵 （分数：3.00）A.1，0，-2B.1，1，-3C.3，0，-2D.2，0，-31
6、3.已知 A 是 4 阶矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，若 A * 的特征值是 1，-1，2，4，那么不可逆矩阵是（分数：3.00）A.A-EB.2A-EC.A+2ED.A-4E14.已知 A 是 n 阶可逆矩阵，那么与 A 有相同特征值的矩阵是 A.ATr B.A2 C.A-1 D.A-E（分数：3.00）A.B.C.D.15.矩阵 （分数：3.00）A.B.C.D.16.已知 =(1,-2,3) T 是矩阵 （分数：3.00）A.a=-2，b=6B.a=2，b=-6C.a=2，b=6D.a=-2，b=-617.已知 A 是 3 阶不可逆矩阵， 1 ， 2 是齐次方程组 Ax=0 的基础解
7、系， 3 是矩阵 A 属于特征值=2 的特征向量则不是矩阵 A 特征向量的是（分数：3.00）A.-53B.1+22C.31-42D.21+318.设 A 是 n 阶矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，n 维列向量 是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量，那么在下列矩阵中 (1)A 2 (2)P -1 AP (3)A T (4) （分数：3.50）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个19.设 A 是 n 阶矩阵，下列命题中正确的是 A.若 是 AT的特征向量，那么 是 A 的特征向量 B.若 是 A*的特征向量，那么 是 A 的特征向量 C.若 是 A2的特征向量，那么 是 A 的特征向量 D.若
8、 是 2A 的特征向量，那么 是 A 的特征向量（分数：3.50）A.B.C.D.20.设 A 是三阶矩阵，其特征值是 1，3，-2，相应的特征向量依次为 1 ， 2 ， 3 ，若 P=( 1 ，2 3 ，- 2 )，则 p -1 AP= A B C D （分数：3.50）A.B.C.D.21.知 （分数：3.50）A.1，-2，3B.1，2+3，2-23C.1，3，2D.1+2，1-2，322.下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是 A B C D （分数：3.50）A.B.C.D.23.下列矩阵中，A 和 B 相似的是 A B C D （分数：3.50）A.B.C.D.24.设 A 是三阶矩阵
9、， 是三阶可逆阵，且 ，则 A A B C D （分数：3.50）A.B.C.D.25.设 A、B、C、D 都是 n 阶矩阵，且 AC,BD，则必有 A(A+B)(C+D) B CABCD D （分数：3.50）A.B.C.D.26.已知 A 是三阶矩阵，r(A)=1，则 =0（分数：3.50）A.必是 A 的二重特征值B.至少是 A 的二重特征值C.至多是 A 的二重特征值D.一重、二重、三重特征值都有可能27.三阶矩阵 A 的特征值全为零，则必有（分数：3.50）A.秩 r(A)=0B.秩 r(A)=1C.秩 r(A)=2D.条件不足，不能确定28.n 阶矩阵 A 和 B 具有相同的特征值
10、是 A 与 B 相似的（分数：3.50）A.充分必要条件B.必要而非充分条件C.充分而非必要条件D.既非充分也非必要条件29.n 阶矩阵 A 与 B 有相同的特征向量是 A 与 B 相似的（分数：3.50）A.充分必要条件B.充分而非必要条件C.必要而非充分条件D.既不充分又不必要条件30.n 阶矩阵 A 具有 n 个线性无关的特征向量是 A 与对角矩阵相似的（分数：3.50）A.充分必要条件B.充分而非必要条件C.必要而非充分条件D.既不充分也不必要条件31.设三阶矩阵 A 的特征值是 0，1，-1，则下列命题中不正确的是（分数：3.50）A.矩阵 A-E 是不可逆矩阵B.矩阵 A+E 和对
11、角矩阵相似C.矩阵 A 属于 1 与-1 的特征向量相互正交D.方程组 Ax=0 的基础解系由一个向量构成考研数学一-275 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：31，分数：100.00)1.已知方程组 （分数：3.00）A.-1B.10C.1 D.2解析：解析 线性方程组 Ax=b 有两个不同的解 Ax=b 有无穷多解 由于本题的系数矩阵比较复杂，故可以由|A|=0 来排查因为 所以本题中方程组有无穷多解的必要条件是|A|=0，故可排除 A 与 D 至于 =1，还是 =10?可以对增广矩阵代入特殊值后消元处理例如，把 =1 代入原方程组，有 因为 2.齐次
12、方程组 Ax=0 只有零解的充分必要条件是（分数：3.00）A.A 是 n 阶可逆矩阵B.非齐次方程组 Ax=b 无解C.A 的列向量组线性无关 D.A 的行向量组线性无关解析：解析 设 A 是 mn 矩阵，则齐次方程组 Ax=0 只有零解 的列向量组线性无关故应选 C 注意方程组不一定是 n 个方程 n 个未知数，所以 A 是充分条件，不必要 方程组 Ax=b 无解 此时 r(A)可以为 n 也可以不等于 n 例如 和 都有方程组 Ax=b 无解但齐次方程组 和 3.设 A 为秩是 r 的 mn 矩阵，非齐次线性方程组 Ax=b 有解的充分条件是（分数：3.00）A.r=m B.m=nC.r
13、=nD.mn解析：解析 因为 A 是 mn 矩阵，r(A)=m 说明 A 的行向量组线性无关，那么其延伸组必线性无关，故增广矩阵(A，b)的 m 个行向量也必线性无关因此， ，即方程组 Ax=b 必有解但方程组有解时，并不要求秩必为 m所以 A 是充分条件那么 BCD 错在何处? 当 m=n 时，A 是秩为 r 的 n 阶矩阵，由于增广矩阵的秩不能保证必是 r，因此推导不出方程组必有解； 当 r(A)=n 时，增广矩阵的秩， 4.设 A 是 mn 矩阵，非齐次线性方程组 Ax=b 有解的充分条件是（分数：3.00）A.秩 r(A)=min(m，n)B.A 的行向量组线性无关 C.mnD.A 的
14、列向量组线性无关解析：解析 因为线性方程组 Ax=b 有解 r(A)=r(A，b)当 A 的行向量组线性无关时，有 r(A)=m，那么此时亦有 r(A，b)=m，所以方程组 Ax=b 有解 但是当 A 的行向量组线性相关时，方程组 Ax=b 也可能有解例如 ，故 B 是充分条件 注意当 mn 时，若 r(A)=min(m，n)=m，方程组 Ax=b 有解，而 mn 时，由 r(A)=n r)A，b)=n，故 A 不正确例如 ，有 r(A)=2 而 当 mn 时，齐次方程组 Ax=0 肯定有非零解而非齐次线性方程组 Ax=b 则可以无解，这里不要混淆例如 5.设线性方程组 Ax=b 有 m 个方
15、程，n 个未知数且 mn，则正确命题是（分数：3.00）A.若 Ax=0 只有零解，则 Ax=b 必有唯一解B.若 Ax=0 有非零解，则 Ax=b 必有无穷多解C.若 Ax=b 无解，则 Ax=0 只有零解D.若 Ax=b 有无穷多解，则 Ax=0 必有非零解 解析：解析 Ax=0 只有零解 r(A)=n，但 ，所以 A 不正确 Ax=0 有非零解 r(A)n，但 ，所以 B 不正确 Ax=b 无解 ，但 ，所以 C 不正确 Ax=b 有无穷多解 6.设 A 为 mn 矩阵，下列命题中正确的是（分数：3.00）A.若 A 中有 n 阶子式不为零，则 Ax=0 仅有零解 B.若 A 中有 n
16、阶子式不为零，则 Ax=b 必有唯一解C.若 A 中有 m 阶子式不为零，则 Ax=0 仅有零解D.若 A 中有 m 阶子式不为零，则 Ax=b 必有唯一解解析：解析 A 是 mn 矩阵，若 A 中有 n 阶子式不为零，而 A 中又不存在 n+1 阶子式，故必有 r(A)=n同理，若 A 中有 m 阶子式不为零，则必有 r(A)=m，本题就是考查秩与方程组解之间的关系 对于 A，因为 r(A)=n，而 Ax=0 是 n 个未知数的齐次方程组，所以 Ax=0 必只有零解即 A 正确 关于 B，当 r(A)=n 时，增广矩阵 的秩有可能是 n+1，所以 Ax=b 可能无解即 B 不正确为此，请思考
17、下例 有 r(A)=2， ，方程组无解 至于 C 和 D，r(A)=m 说明 A 的行向量组线性无关，那么其延伸组必线性无关，所以 因此，方程组Ax=b 必有解但是否必有唯一解?Ax=0 是否只有零解都是不确定的 例如， 有非零解 7.已知 4 阶方阵 A= 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 均为四维列向量，其中 1 ， 2 线性无关，若 1 +2 2 - 3 ， 1 + 2 + 3 + 4 =，2 1 +3 2 + 3 +2 4 =，k 1 ，k 2 为任意常数，那么 Ax= 的通解为 A B C D （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 由 1 +2 2
18、 - 3 = 知 8.三元一次方程组 所代表的三个平面的位置关系为 A B C D （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 对增广矩阵作初等行变换，有 因为 r(A)=2， 9.设 1 =(a i b i ，c i ) T ，i=1，2，3，=(d 1 ,d 2 ,d 3 ) T 则三个平面 a 1 x+b 1 y+c 1 z+d 1 =0 a 2 x+b 2 y+c 2 z+d 2 =0 a 3 x+b 3 y+c 3 z+d 3 =0 两两相交成三条平行直线的充分必要条件是（分数：3.00）A.r(1，2，3)=1，r(1，2，3，)=2B.r(1，2，3)=2，r(1，2，3，)
19、=3C.1，2，3 中任意两个均线性无关，且 不能由 1，2，3 线性表出 D.1，2，3 线性相关，且 不能由 1，2，3 线性表出解析：解析 A 中，r( 1 ， 2 ， 3 )=1 表明三个平面的法向量平行，从而三个平面相互平行(或重合)，又 r( 1 ， 2 ， 3 ，)=2 说明三个平面没有公共的交点，因而这三个平面两两平行，至多有两个重合 当三个平面两两相交成三条平行直线时，必有 r( 1 ， 2 ， 3 )=2，r( 1 ， 2 ， 3 )=3，但当 r( 1 ， 2 ， 3 )=2，r( 1 ， 2 ， 3 )=3 时，有可能其中两个平面平行，第 3个平面和它们相交，所以 B
20、是必要条件不充分 而 D A 或 B，亦知 D 是必要条件，不充分 1 ， 2 ， 3 中任意两个均线性无关 任何两个平面都不平行相交成一条直线，而 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出 10.设 A 为 n 阶矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，对于线性方程组()Ax=0 和()A T Ax=0，必有（分数：3.00）A.()的解是()的解，()的解也是()的解 B.()的解是()的解，()的解不是()的解C.()的解是()的解，()的解不是()的解D.()的解不是()的解，()的解也不是()的解解析：解析 如果 是()的解，有 Ax=0，可得 A T A=A T (A)=A T 0=0 即
21、是()的解故()的解必是()的解 反之，若 是()的解，有 A T A=0，用 T 左乘可得 (A) T (A)=( T A T )(A)= T (A T A)= T 0=0 若设 A=(b 1 ，b 2 ，b n ) T ，那么 (A) T (A)=b 1 2 +b 2 2 +b 2 n =0 11.设 A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组()A n x=0 和()A n+1 =0，现有四个命题 (1)()的解必是()的解 (2)()的解必是()的解 (3)()的解不是()的解 (4)()的解不是()的解以上命题中正确的是（分数：3.00）A.(1)(2) B.(1)(4)C.(3)(4)
22、D.(2)(3)解析：解析 若 A n =0，则 A n+1 =A(A n )=A0=0，即若 是()的解，则 必是()的下面的问题是选 A 还是选 B?即(2)与(4)哪一个命题正确?如果 A n+1 =0，而 A n 0，那么对于向量组，A，A 2 ，A n ，一方面有：若 k+k 1 A+k 2 A 2 +k n A n =0，用 A n 左乘上式的两边，并把 A n+1 =0，A n+2 =0，代入，得 kAn=0，由于 A n 0 而知必有 k=0类似地用 A n-1 左乘可得 k 1 =0， 因此：，A，A 2 ，A n 线性无关但另一方面，这是 n+1 个 n 维向量它们必然线性
23、相关，两者矛盾故 A n+1 =0 时，必有 A n =0，即()的解必是()的解因此命题(2)正确 故命题(1)、(2)正确，即 A n x=0 和 A n+1 x=0 是同解方程，故应选 A12.设矩阵 （分数：3.00）A.1，0，-2B.1，1，-3C.3，0，-2D.2，0，-3 解析：解析 由特征值的性质： i =a ii a ii =1+(-3)+1=-1 显然，矩阵 A 中第 2、第 3 两列成比例，易知行列式|A|=0，故 =0 必是 A 的特征值，因此可排除 B 对于 A 和 D 的选择，我们可以用特殊值法，由于 13.已知 A 是 4 阶矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，
24、若 A * 的特征值是 1，-1，2，4，那么不可逆矩阵是（分数：3.00）A.A-EB.2A-EC.A+2E D.A-4E解析：解析 由 A * 的特征值是 1，-1，2，4 知|A|=-8，又因|A * |=|A| n-1 而知|A| 3 =-8，于是|A|=-2因 ，故 矩阵 A 的特征值是：-2，2，-1， 因此，A-E 的特征值是-3，1，-2， 14.已知 A 是 n 阶可逆矩阵，那么与 A 有相同特征值的矩阵是 A.ATr B.A2 C.A-1 D.A-E（分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 由 A=，0 可得到： A 2 = 2 ， 15.矩阵 （分数：3.00）A.
25、B.C. D.解析：解析 因 A 和 D 的向量成比例如果 A 中(-1，1，0) T 不是矩阵 A 的特征向量，则 D 中的(3，-3，0) T 亦肯定不是矩阵 A 的特征向量，而选项唯一，所以 A、D 均是矩阵 A 的特征向量 由 所以 B 是矩阵 A 的特征向量故应选 C 其实 16.已知 =(1,-2,3) T 是矩阵 （分数：3.00）A.a=-2，b=6 B.a=2，b=-6C.a=2，b=6D.a=-2，b=-6解析：解析 设 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量，按定义有 对应分量相等，即有 17.已知 A 是 3 阶不可逆矩阵， 1 ， 2 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，
26、 3 是矩阵 A 属于特征值=2 的特征向量则不是矩阵 A 特征向量的是（分数：3.00）A.-53B.1+22C.31-42D.21+3 解析：解析 由 A 3 =2 3 18.设 A 是 n 阶矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，n 维列向量 是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量，那么在下列矩阵中 (1)A 2 (2)P -1 AP (3)A T (4) （分数：3.50）A.1 个B.2 个 C.3 个D.4 个解析：解析 由 A=，0，有 A 2 =A()=A- 2 ，0 即 必是 A 2 属于特征值 2 的特征向量 又 ，0 知 必是矩阵 属于特征值 19.设 A 是 n 阶矩阵，下列命题
27、中正确的是 A.若 是 AT的特征向量，那么 是 A 的特征向量 B.若 是 A*的特征向量，那么 是 A 的特征向量 C.若 是 A2的特征向量，那么 是 A 的特征向量 D.若 是 2A 的特征向量，那么 是 A 的特征向量（分数：3.50）A.B.C.D. 解析：解析 若 是 2A 的特征向量即(2A)=0 那么 ，所以 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量即 D 正确 由于方程组(-A T )x=0，(E-A * )x=0，(E-A 2 )x=0 与(E-A)x=0 不一定同解，所以 不一定是A 的特征向量 如 的特征向量是(1，0，0) T ，而 有 ，有 20.设 A 是三阶矩阵，其
28、特征值是 1，3，-2，相应的特征向量依次为 1 ， 2 ， 3 ，若 P=( 1 ，2 3 ，- 2 )，则 p -1 AP= A B C D （分数：3.50）A. B.C.D.解析：解析 由 A 2 =3 2 ，有 A(- 2 )=3(- 2 )，即当 2 是矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量时，- 2 仍是矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量同理 2 3 仍是矩阵 A 属于特征值 =-2 的特征向量 当 P -1 AP=A 时，P 由 A 的特征向量所构成，A 由 A 的特征值所构成，且 P 与 A 的位置是对应一致的现在，矩阵 A 的特征值是 1，3，-2，故对角矩阵 A 应当
29、由 1，3，-2 构成，因此排除 B、C由于 2 3 是属于 =-2 的特征向量，所以-2 在对角矩阵 A 中应当是第 2 列，故应选 A21.知 （分数：3.50）A.1，-2，3B.1，2+3，2-23C.1，3，2D.1+2，1-2，3 解析：解析 若 ，P= 1 ， 2 ， 3 则有 即 A 1 ， 2 ， 3 = 22.下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是 A B C D （分数：3.50）A.B.C.D. 解析：解析 A 是实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化 B 是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有三个不同的特征值，所以矩阵必可以相似对角化 C 是秩为 1 的矩
30、阵，由|E-A|= 3 -4 2 ，知矩阵的特征值是 4，0，0对于二重根 =0，由秩 r(0E-A)=r(A)=1 知齐次方程组(0E-A)x=0 的基础解系有 3-1=2 个线性无关的解向量，即 =0 有两个线性无关的特征向量从而矩阵必可以相似对角化 D 是上三角矩阵，主对角线上的元素 1，1，-1 就是矩阵的特征值，对于二重特征值 =1，由秩 23.下列矩阵中，A 和 B 相似的是 A B C D （分数：3.50）A.B.C. D.解析：解析 根据 A 和 B 相似的必要条件 (1)r(A)=r(B) (2)|A|=|B| (3) A = B (4)a ii =b ii 易见 A 秩不
31、等、B 主对角元之和不等、D 行列式不等或主对角元之和不等，故均不相似 知矩阵 A 的特征值为 2，0，0又因秩 r(0E-A)=1，有 n-r(0E-A)=2即齐次方程组(0E-A)x=0 有 2个线性无关的解，亦即 =0 有两个线性无关的特征向量从而 类似地 因此 24.设 A 是三阶矩阵， 是三阶可逆阵，且 ，则 A A B C D （分数：3.50）A.B.C. D.解析：解析 可以由 B 作列变换得到 将 的 1、2 列互换再将第 2 列乘 2，第 3 列乘-1，得 AB，即 BE 12 E 2 (2)E 3 (-1)= B 是可逆阵，两边左乘 B -1 ，得 ，故 25.设 A、B
32、、C、D 都是 n 阶矩阵，且 AC,BD，则必有 A(A+B)(C+D) B CABCD D （分数：3.50）A.B. C.D.解析：解析 AC，即存在可逆阵 P，使 p -1 AP=CBD，即存在可逆阵 Q，使 Q -1 BQ=D，故存在可逆阵 ，使得 得 26.已知 A 是三阶矩阵，r(A)=1，则 =0（分数：3.50）A.必是 A 的二重特征值B.至少是 A 的二重特征值 C.至多是 A 的二重特征值D.一重、二重、三重特征值都有可能解析：解析 由于“k 重特征值最多有 k 个线性无关的特征向量”，那么当 r(A 33 )=1 时，(0E-A)x=0必有两个线性无关特征向量故 =0
33、 的重数2即 =0 至少是二重特征值，当然也可能三重例 27.三阶矩阵 A 的特征值全为零，则必有（分数：3.50）A.秩 r(A)=0B.秩 r(A)=1C.秩 r(A)=2D.条件不足，不能确定 解析：解析 请考察下列矩阵 28.n 阶矩阵 A 和 B 具有相同的特征值是 A 与 B 相似的（分数：3.50）A.充分必要条件B.必要而非充分条件 C.充分而非必要条件D.既非充分也非必要条件解析：解析 由 AB，即存在可逆矩阵 P 使 P -1 AP=B 知 |E-B|=|E-P -1 AP|=|P -1 (E-A)P| =|P -1 |E-A|P|=|E-A| 即 A 与 B 有相同的特征
34、值 但当 A，B 有相同特征值时，A 与 B 不一定相似，例如 29.n 阶矩阵 A 与 B 有相同的特征向量是 A 与 B 相似的（分数：3.50）A.充分必要条件B.充分而非必要条件C.必要而非充分条件D.既不充分又不必要条件 解析：解析 由 AB，即存在可逆矩阵 P 使 p -1 AP=B；若 A=，0，有 B(P -1 )=(P -1 AP)(P -1 )=P -1 A=A(P -1 ) 即 是 A 的特征向量，P -1 是 B 的特征向量所以，A 与 B 的特征向量不同 反之，若 A 与 B 有相同的特征向量，因为它们可以属于不同的特征值，即 A=，B= 由于 A 与 B 的特征值不
35、同，A 和 B 不可能相似因此，A 与 B 有相同的特征向量对于 AB 来说既不充分又不必要，所以应当选 D30.n 阶矩阵 A 具有 n 个线性无关的特征向量是 A 与对角矩阵相似的（分数：3.50）A.充分必要条件 B.充分而非必要条件C.必要而非充分条件D.既不充分也不必要条件解析：解析 若 ，则有可逆矩阵 P 使 ，或 令 P= 1 ， 2 ， n ，则有 A 1 ， 2 ， n = = 1 1 ， 2 2 ， n n 从而有 A i =a i i i=1，2，n 由 P 可逆，有 i 0，且 1 ， 2 ， n 线性无关按定义知 1 ， 2 ， n 是 A的 n 个线性无关的特征向量
36、 反之，若 A 有 n 个线性无关的特征向量 1 ， 2 ， n ，满足 A i = i i ，i=1，2，n 那么，用分块矩阵有 31.设三阶矩阵 A 的特征值是 0，1，-1，则下列命题中不正确的是（分数：3.50）A.矩阵 A-E 是不可逆矩阵B.矩阵 A+E 和对角矩阵相似C.矩阵 A 属于 1 与-1 的特征向量相互正交 D.方程组 Ax=0 的基础解系由一个向量构成解析：解析 因为矩阵 A 的特征值是 0，1，-1，因此矩阵 A-E 的特征值是-1，0，-2由于 =0 是矩阵A-E 的特征值，所以 A-E 不可逆命题 A 正确 因为矩阵 A+E 的特征值是 1，2，0，矩阵 A+E 有三个不同的特征值，所以 A+E 可以相似对角化命题 B 正确(或由 而知 A+E 可相似对角化) 因为矩阵 A 有三个不同的特征值，知
