【考研类试卷】考研数学一-160及答案解析.doc

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1、考研数学一-160 及答案解析(总分：145.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若 存在，下列哪一个条件能推出 存在A 存在 B 存在C 存在 D （分数：4.00）A.B.C.D.2.设函数 f(x)，g(x)在 a 点的某邻域内二阶可导，且 f(a)=g(a)=0，f(a)0g(a)0，令 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 D 是由曲线 与直线 y=-x 所围成的区域，D 1是 D 在第二象限的部分，则A B C （分数：4.00）A.B.C.D.4.已知级数 与反常积分 （分数：4.00）A.B.C.D.5.如果向量 可由向量组 1， 2，

2、 s线性表示，则A存在一组不全为零的数 k1，k 2，k s，使得 =k 1 1+k2 2+是 ks s成立B存在一组全为零的数 k1，k 2，k s，使得 =k 1 1+k2 2+ks s成立C该线性表达式唯一D以上均不对（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 ， 为三维非零的正交向量，且 A= T，则 A 的线性无关的特征向量个数为A1 个 B2 个C3 个 D不确定（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 X，Y 是相互独立的随机变量，其分布函数分别为 FY(x)，F Y(y)，则 Z=min(X，Y)的分布函数是AF Z(z)=max(FY(x)，F Y(y)BF Z(z)=min(

3、FX(z)，F Y(y)CF Z(z)=1-1-FX(z)1-FY(y)DF Z(z)=FX(z)FY(y)（分数：4.00）A.B.C.D.8.将一枚硬币抛 n 次，X 表示正面向上的次数，Y 表示反面向上的次数，则 X 和 Y 的相关系数为A1 B C- （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_11.设函数 z=f(x，y)的二阶偏导数存在， （分数：4.00）填空项 1:_12.微分方程 y“+4y+4y=e-2x的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_13.设三阶

4、方阵 A=(， 1， 2)，B=(， 1， 2)，其中 ， 1， 2均为三维列向量，且|A|=2，|B|=4，则|2A-3B|= 1（分数：4.00）填空项 1:_14.设 X1，X 2，X n是相互独立的随机变量，且 Xi(i=1，2，n)服从参数为 的泊松分布，则（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：89.00)15.求极限 （分数：10.00）_16.一个冬季的早晨开始下雪，且以恒定的速度不停地下一台扫雪机从上午 8 点开始在公路上扫雪，到9 点前进了 2km，到 10 点前进了 3km假定扫雪机每个小时扫去积雪的体积为常数，问何时开始下雪?（分数：10.00）_

5、17.证明：x n+xn-1+x=1(n1)在(0，1)内必有唯一实根 xn，并求 （分数：10.00）_18.设 L 是 y=asinx(a0)上从(0，0)到(，0)的一段曲线，求 a 的值，使曲线积分 （分数：10.00）_19.求无穷级数 （分数：10.00）_20.设 （分数：10.00）_21.设 A 为三阶矩阵， 1， 2， 3为对应特征值 1， 2， 3的特征向量，令 = 1+ 2 3若 1， 2， 3为 Bx=0 的基础解系，试求 ，A，A 2 也为 Bx=0 的基础解系的条件（分数：10.00）_设随机变量 X 在区间(0，2)上服从均匀分布，而 Y 在区间(X，2)上服从

6、均匀分布试求：（分数：9.00）(1).X 和 Y 的联合概率密度 f(x，y)；（分数：3.00）_(2).Y 的概率密度 fY(y)；（分数：3.00）_(3).求概率 P(X1|Y1)（分数：3.00）_22.设总体 X 服从均匀分布 U(，2)，其中 未知(0)，X 1，X 2，X n为取自总体 X 的简单随机样本()求 的矩估计 ；()求 的最大似然估计 ；()判断 和 （分数：10.00）_考研数学一-160 答案解析(总分：145.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若 存在，下列哪一个条件能推出 存在A 存在 B 存在C 存在 D （分数：

7、4.00）A.B.C.D. 解析：详解 因为 ，所以由 与 均存在可推出 存在，故选(D)另外，本题也可用举反例排除法求解令 ，可排除(A)，(B)；令2.设函数 f(x)，g(x)在 a 点的某邻域内二阶可导，且 f(a)=g(a)=0，f(a)0g(a)0，令 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解 (x)=f(x)g(x)，则3.设 D 是由曲线 与直线 y=-x 所围成的区域，D 1是 D 在第二象限的部分，则A B C （分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解 作出 D 的图形，如图所示作辅助线 y=x，则 D 被分成两个子区域，而每个子区域又被坐标轴分成两个小区域，D

8、 1与 D2关于 y 轴对称，D3与 D4关于 x 轴对称，又 xsiny 关于 x，y 为奇函数，所以而 ycosx 关于 x 为偶函数，关于 y 为奇函数，所以故4.已知级数 与反常积分 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：详解 因为级数 与反常积分5.如果向量 可由向量组 1， 2， s线性表示，则A存在一组不全为零的数 k1，k 2，k s，使得 =k 1 1+k2 2+是 ks s成立B存在一组全为零的数 k1，k 2，k s，使得 =k 1 1+k2 2+ks s成立C该线性表达式唯一D以上均不对（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：详解 由定义可知存在一组数 k1，k

9、2，k s，使得 =k 1 1+k2 2+ks s成立，k1，k 2，k s是否为零不确定，可排除(A)，(B)此外，因为题设中 1， 2， s并没有说明是线性无关的，所以表达式不一定唯一，可排除(C)故选(D)6.设 ， 为三维非零的正交向量，且 A= T，则 A 的线性无关的特征向量个数为A1 个 B2 个C3 个 D不确定（分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解 因为 ， 为 3 维的非零正交列向量，所以有 T=0， T=0而 A2= T T=( T) T=( T) T=O设 A 的特征向量为 ，则 2为 A2的特征向量，于是有 而由7.设 X，Y 是相互独立的随机变量，其分布函数

10、分别为 FY(x)，F Y(y)，则 Z=min(X，Y)的分布函数是AF Z(z)=max(FY(x)，F Y(y)BF Z(z)=min(FX(z)，F Y(y)CF Z(z)=1-1-FX(z)1-FY(y)DF Z(z)=FX(z)FY(y)（分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解 F Z(z)=PZz=Pmin(X，Y)z=1-Pmin(X，Y)z=1-PXz，Yz=1-P(XzPYz=1-(1-PXz)(1-PYz)=1-1-FX(x)1-FY(y)，故选(C)8.将一枚硬币抛 n 次，X 表示正面向上的次数，Y 表示反面向上的次数，则 X 和 Y 的相关系数为A1 B C-

11、 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：详解 由题设可知二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：详解 令 ，所以该级数的收敛半径为而 2e，所以 收敛，即有10.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e+1）解析：详解 11.设函数 z=f(x，y)的二阶偏导数存在， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y 2+xy+1）解析：详解 由 ，可得 ，由 ，即 ，积分得 z=y2+xy+C2(y)，又12.微分方程 y“+4y+4y=e-2x的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解

12、析：详解 特征方程为 ，所以原方程对应的齐次方程的通解为 y=(C1+C2x)e-2x，由于非其次项为 e-2x，所以可设特解为 y*=Ax2e-2x，于是有y*=2Axe-2x-2Ax2e-2x，y *“=2Ae-2x-8Axe-2x+4Ax2e-2x，代入方程 y“+4y+4y=e-2x可解得 ，即 ，所以所求方程的通解为13.设三阶方阵 A=(， 1， 2)，B=(， 1， 2)，其中 ， 1， 2均为三维列向量，且|A|=2，|B|=4，则|2A-3B|= 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-4）解析：详解 |4A-3B|=|4(， 1， 2)-3(， 1， 2)|=|4

13、-3， 1， 2|=|4， 1， 2|-|3， 1， 2|=42-34=-414.设 X1，X 2，X n是相互独立的随机变量，且 Xi(i=1，2，n)服从参数为 的泊松分布，则（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：详解 因为 X1，X 2，X n是相互独立的随机变量，且 Xi(i=1，2，n)服从参数为 的泊松分布，所以 EXi=，DX i=，则由列维林德伯格中心极限定理可得三、解答题(总题数：9，分数：89.00)15.求极限 （分数：10.00）_正确答案：(等价无穷小代换)解析：16.一个冬季的早晨开始下雪，且以恒定的速度不停地下一台扫雪机从上午 8 点开始在公路上

14、扫雪，到9 点前进了 2km，到 10 点前进了 3km假定扫雪机每个小时扫去积雪的体积为常数，问何时开始下雪?（分数：10.00）_正确答案：(设 h(t)表示从开始下雪起到时刻 t 时的积雪深度，则 (常数)设 x(t)为扫雪机从开始下雪起到时刻 t 走过的距离，则 (扫雪机前进的速度与积雪深度成反比，因为扫雪机每小时扫去积雪的体积为常数)设 T 为开始下雪到扫雪机启动工作这段时间，则t=T 时，x=0；t=T+1 时，x=2；t=T+2 时，x=3由 ，可得 h=Ct+C1因为 t=0 时，h=0，故 C1=0，从而 h=Ct代入 可得积分得 x=Alnt+B当 t=T 时，x=0；t=

15、T+1 时，x=2；t=T+2 时，x=3，代入上式可得解方程组可得 )解析：17.证明：x n+xn-1+x=1(n1)在(0，1)内必有唯一实根 xn，并求 （分数：10.00）_正确答案：(设 fn(x)=xn+xn-1+x-1，f n(0)=-1，f n(1)=n-10，而 fn(x)连续，则由介值定理可得 fn(x)在(0，1)内有零点又 fn(x)=nxn-1+(n-1)xn-2+10，则 fn(x)单调增加，所以 fn(x)在(0，1)内有唯一零点，记为 xn于是有， 式-式得 由于 Q 内均是正项，故 Q0，又 ，所以xn-xn-10，即 xnx n-1，即x n单调递减且有下

16、界，故有极限，设为 a由式可得 ，即 ，解之得 )解析：18.设 L 是 y=asinx(a0)上从(0，0)到(，0)的一段曲线，求 a 的值，使曲线积分 （分数：10.00）_正确答案：(设 A(0，0)，B(，0)，对 L 添加线段 BA，则 L+BA 组成封闭曲线，应用格林公式有又 ，所以令 ，又 ，所以当 )解析：19.求无穷级数 （分数：10.00）_正确答案：( ，令 则 f(x)的收敛区间为(-1，1)，f(x)在 处收敛当 x(-1，1)时，所以 )解析：20.设 （分数：10.00）_正确答案：(由 ，解得特征向量： 1=(1，-2，0) T， 2=(1，0，-1) T，

17、3=(2，1，2) T，将 1， 2正交化：再单位化 1， 2， 3：令 Q= 1， 2， 3，则 )解析：21.设 A 为三阶矩阵， 1， 2， 3为对应特征值 1， 2， 3的特征向量，令 = 1+ 2 3若 1， 2， 3为 Bx=0 的基础解系，试求 ，A，A 2 也为 Bx=0 的基础解系的条件（分数：10.00）_正确答案：(若 1， 2， 3为 Bx=0 基础解系，则 B 1=0，B 2=0，B 3=0则 B=B( 1+ 2+ 3)=B 1+B 2+B 3=0，所以 ，A，A 2 也为 Bx=0 的解则 ，A，A 2 为 Bx=0 的基础解系的条件为 ，A，A 2 线性无关令 k

18、1+k 2A+k 3A2=0，则，整理后得因为 1， 2， 3为基础解系，从而线性无关，所以 故上述方程组仅有零解的充要条件为系数矩阵行列式非零，即 )解析：设随机变量 X 在区间(0，2)上服从均匀分布，而 Y 在区间(X，2)上服从均匀分布试求：（分数：9.00）(1).X 和 Y 的联合概率密度 f(x，y)；（分数：3.00）_正确答案：( )解析：(2).Y 的概率密度 fY(y)；（分数：3.00）_正确答案：(当 y0 及 y2 时，f Y(y)=0；当 0y2 时， )解析：(3).求概率 P(X1|Y1)（分数：3.00）_正确答案：( )解析：22.设总体 X 服从均匀分布 U(，2)，其中 未知(0)，X 1，X 2，X n为取自总体 X 的简单随机样本()求 的矩估计 ；()求 的最大似然估计 ；()判断 和 （分数：10.00）_正确答案：(因为 X 服从均匀分布 U(，2)，所以 X 的密度函数为，则()令 ，所以 的矩估计为 ()似然函数为取自然对数 ，于是 L 关于 单调下降因为 x i2,所以 minx i，且 ，于是有 ，故 的最大似然估计为 ()记 Y=maxXi，则 Y 的分布函数为于是 Y 的密度函数为所以 ，综上， 是 的无偏估计量， )解析：