2015年河南省中考真题数学.docx

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1、2015年河南省中考真题数学 一、选择题 (每小题 3 分，满分 24 分 )下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的 1.下列各数中最大的数是 ( ) A.5 B. 3 C. D.-8 解析 ：根据实数比较大小的方法，可得 -8 3 5，所以各数中最大的数是 5. 答案： A 2.如图所示的几何体的俯视图是 ( ) A. B. C. D. 解析 ：从上面看左边一个正方形，右边一个正方形， 答案： B 3.据统计 2014 年我国高新技术产品出口总额 40570 亿元，将数据 40570 亿用科学记数法表示为 ( ) A.4.0570 109 B.0.40570 1010 C.40.570

2、 1011 D.4.0570 1012 解析 ： 40570 亿 =4057000000000=4.057 1012. 答案： D 4.如图，直线 a、 b 被直线 c、 d 所截，若 1= 2， 3=125，则 4 的度数为 ( ) A.55 B.60 C.70 D.75 解析 ： 如图， 1= 2， a b， 3= 5=125， 4=180 - 5=180 -125 =55 . 答案： A 5.不等式组 5031xx，的解集在数轴上表示为 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 5031xx， ，解不等式得： x -5， 解不等式得： x 2， 由大于向右画，小于向左画，有等号画实点，无

3、等号画空心 . 答案： C. 6.小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为 85 分、 80 分、 90 分，若依次按照 2： 3： 5 的比例确定成绩，则小王的成绩是 ( ) A.255 分 B.84 分 C.84.5 分 D.86 分 解析 ： 根据题意得： 85 22 3 5+80 32 3 5+90 52 3 5=17+24+45=86(分 ). 答案： D 7.如图，在 ABCD 中，用直尺和圆规作 BAD 的平分线 AG交 BC 于点 E.若 BF=6， AB=5，则AE 的长为 ( ) A.4 B.6 C.8 D.10 解析 ： 连结 EF， AE 与 BF 交

4、于点 O，如图， AB=AF， AO 平分 BAD， AO BF， BO=FO=12BF=3， 四边形 ABCD 为平行四边形， AF BE， 1= 3， 2= 3， AB=EB， 而 BO AE， AO=OE，在 Rt AOB 中， AO= 2 2 2 253A B O B =4， AE=2AO=8. 答案： C. 8.如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为 1 个单位长度的半圆 O1、 O2、 O3，组成一条平滑的曲线，点 P 从原点 O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2个单位长度，则第2015 秒时，点 P 的坐标是 ( ) A.(2014， 0) B.(2015， -1) C.(

5、2015， 1) D.(2016， 0) 解 析 ：半径为 1 个单位长度的半圆的周长为： 12 2 1=， 点 P 从原点 O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2个单位长度，点 P1 秒走 12个半圆， 当点 P 从原点 O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为 1 秒时，点 P的坐标为 (1， 1)， 当点 P 从原点 O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为 2 秒时，点 P的坐标为 (2， 0)， 当点 P 从原点 O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为 3 秒时，点 P的坐标为 (3， -1)， 当点 P 从原点 O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为 4 秒时，点 P的坐标

6、为 (4， 0)， 当点 P 从原点 O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为 5 秒时，点 P的坐标为 (5， 1)， 当点 P 从原点 O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为 6 秒时，点 P的坐标为 (6， 0)， ， 2015 4=503 3， A2015的坐标是 (2015， -1). 答案： B. 二、填空题 (共 7 小题，每小题 3 分，满分 21 分 ) 9.计算： (-3)0+3-1= . 解 析 ： (-3)0+3-1=1+ 13=43. 答案： 4310.如图， ABC 中，点 D、 E 分别在边 AB、 BC 上， DE AC.若 BD=4， DA=2， BE=3，

7、则 EC= . 解 析 ： DE AC， BD BEAD EC，即 432 EC，解得： EC=32. 答案： 3211.如图，直线 y=kx 与双曲线 y=2x(x 0)交于点 A(1， a)，则 k= . 解 析 ： 直线 y=kx 与双曲线 y=2x(x 0)交于点 A(1， a)， a=2， k=2. 答案： 2 12.已知点 A(4， y1)， B( 2 ， y2)， C(-2， y3)都在二次函数 y=(x-2)2-1 的图象上，则 y1、y2、 y3的大小关系是 . 解析 ：把 A(4， y1)， B(2， y2)， C(-2， y3)分别代入 y=(x-2)2-1 得： y1=

8、(x-2)2-1=3， y2=(x-2)2-1=5-4 2 ， y3=(x-2)2-1=15， 5-4 2 3 15， y3 y1 y2. 答案： y3 y1 y2. 13.现有四张分别标有 1， 2， 2， 3 的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张后放回，再背面朝上洗匀，从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字不同的概率是 . 解析 ： 列表得： 共有 16 种等可能的结果，两次抽出的卡片所标数字不同的有 10 种， 两次抽出的卡片所标数字不同的概率是 10 516 8. 答案： 58. 14.如图，在扇形 AOB 中， AOB=90，点 C 为 OA 的中点

9、， CE OA 交 弧 AB 于点 E，以点 O为圆心， OC 的长为半径作 弧 CD 交 OB 于点 D.若 OA=2，则阴影部分的面积为 . 解 析 ：连接 OE、 AE， 点 C 为 OA 的中点， CEO=30， EOC=60， AEO 为等边三角形， S 扇形 AOE= 26 0 2 23 6 0 3 ， S 阴影 =S 扇形 ABO-S 扇形 CDO-(S 扇形 AOE-S COE) = 229 0 2 9 0 1 2 1 133 6 0 3 6 0 3 2 （ ）=34 -23+ 32=12+ 32. 答案：12+ 32. 15.如图，正方形 ABCD 的边长是 16，点 E 在

10、边 AB 上， AE=3，点 F 是边 BC 上不与点 B， C 重合的一个动点，把 EBF 沿 EF 折叠，点 B 落在 B处 .若 CDB恰为等腰三角形，则 DB的长为 . 解析： (i)当 B D=B C 时， 过 B点作 GH AD，则 B GE=90， 当 B C=B D 时， AG=DH=12DC=8， 由 AE=3， AB=16，得 BE=13. 由翻折的性质，得 B E=BE=13. EG=AG-AE=8-3=5， B G= 2 2 2 21 3 5B E E G =12， B H=GH-B G=16-12=4， DB = 2 2 2 248B H D H =4 5 ， (ii

11、)当 DB =CD 时，则 DB =16(易知点 F 在 BC 上且不与点 C、 B 重合 ). (iii)当 CB =CD 时， EB=EB， CB=CB，点 E、 C 在 BB的垂直平分线上， EC 垂直平分 BB， 由折叠可知点 F 与点 C 重合，不符合题意，舍去 . 综上所述， DB的长为 16 或 4 5 . 答案： 16 或 4 5 . 三、解答题 (共 8 小题，满分 75 分 ) 16.先化简，再求值： 22222a ab bab (11ba)，其中 a= 5 +1， b= 5 -1. 解析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最

12、简结果，把 a 与 b 的值代入计算即可求出值 . 答案： 原式 = 222ab a b a ba b a b ， 当 a= 5 +1， b= 5 -1 时，原式 =2. 17.如图， AB 是半圆 O 的直径，点 P 是半圆上不与点 A、 B 重合的一个动点，延长 BP 到点 C，使 PC=PB， D 是 AC 的中点，连接 PD、 PO. (1)求证： CDP POB； (2)填空： 若 AB=4，则四边形 AOPD 的最大面积为 ； 连接 OD，当 PBA 的度数为 时，四边形 BPDO 是菱形 . 解析： (1)根据中位线的性质得到 DP AB， DP=12AB，由 SAS 可证 CD

13、P POB； (2)当四边形 AOPD 的 AO 边上的高等于半径时有最大面积，依此即可求解； 根据有一组对应边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形 BPDO 是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，以及等边三角形的判定和性质即可求解 . 答案： (1) PC=PB， D 是 AC 的中点， DP AB， DP=12AB， CPD= PBO， BO=12AB， DP=BO，在 CDP 与 POB 中， D P B OC P D P B OP C P B ， CDP POB(SAS). (2)当四边形 AOPD 的 AO 边上的高等于半径时有最大面积， (4 2) (4 2)=22

14、 =4. 如图： DP AB， DP=BO，四边形 BPDO 是平行四边形， 四边形 BPDO 是菱形， PB=BO， PO=BO， PB=BO=PO， PBO 是等边三角形， PBA 的度数为 60 . 故答案为： 4； 60 . 18.为了了解市民“获取新闻的最主要途径”某市记者开展了一次抽样调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图 . 根据以上信息解答下列问题： (1)这次接受调查的市民总人数是 ； (2)扇形统计图中，“电视”所对应的圆心角的度数是 ； (3)请补全条形统计图； (4)若该市约有 80 万人，请你估计其中将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数 .

15、解析： (1)根据“电脑上网”的人数和所占的百分比求出总人数； (2)用“电视”所占的百分比乘以 360，即可得出答案； (3)用总人数乘以“报纸”所占百分比，求出“报纸”的人数，从而补全统计图； (4)用全市的总人数乘以“电脑和手机上网”所占的百分比，即可得出答案 . 答案： (1)这次接受调查的市民总人数是： 260 26%=1000； (2)扇形统计图中，“电视”所对应的圆心角的度数为： (1-40%-26%-9%-10%) 360 =54； (3)“报纸”的人数为： 1000 10%=100.补全图形如图所示： (4)估计将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数为： 8

16、0 (26%+40%)=80 66%=52.8(万人 ). 19.已知关于 x 的一元二次方程 (x-3)(x-2)=|m|. (1)求证：对于任意实数 m，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是 1，求 m 的值及方程的另一个根 . 解析： (1)要证明方程有两个不相等的实数根，即证明 0 即可； (2)将 x=1 代入方程 (x-3)(x-2)=|m|，求出 m 的值，进而得出方程的解 . 答案： (1) (x-3)(x-2)=|m|， x2-5x+6-|m|=0， =(-5)2-4(6-|m|)=1+4|m|， 而 |m| 0， 0，方程总有两个不相等的实数根； (2)方程

17、的一个根是 1， |m|=2，解得： m= 2， 原方程为： x2-5x+4=0，解得： x1=1， x2=4. 即 m 的值为 2，方程的另一个根是 4. 20.如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树 BC 的高度，他们在斜坡上 D 处测得大树顶端 B 的仰角是 30，朝大树方向下坡走 6 米到达坡底 A 处，在 A 处测得大树顶端 B 的仰角是 48，若坡角 FAE=30，求大树的高度 (结果保留整数，参考数据： sin48 0.74，cos48 0.67， tan48 1.11， 3 1.73) 解析： 根据矩形性质得出 DG=CH， CG=DH，再利用锐角三角函数的性质求出问题即

18、可 . 答案： 如图，过点 D 作 DG BC 于 GDH CE 于 H， 则四边形 DHCG 为矩形 .故 DG=CH， CG=DH， 在直角三角形 AHD 中， DAH=30， AD=6， DH=3， AH=3 3 ， CG=3， 设 BC 为 x，在直角三角形 ABC 中， AC=ta n 1 .1 1B C xBAC ， DG=3 3 +1.11x， BG=x-3， 在直角三角形 BDG 中， BG=DG tan30， x-3=(3 3 +1.11x) 33解得： x 13，大树的高度为： 13 米 . 21.某游泳馆普通票价 20 元 /张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡： 金卡售价

19、 600 元 /张，每次凭卡不再收费 . 银卡售价 150 元 /张，每次凭卡另收 10 元 . 暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数 .设游泳 x 次时，所需总费用为y 元 . (1)分别写出选择银卡、普通票消费时， y 与 x 之间的函数关系式； (2)在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点 A、 B、 C 的坐标； (3)请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算 . 解析： (1)根据银卡售价 150 元 /张，每次凭卡另收 10 元，以及旅游馆普通票价 20 元 /张，设游泳 x 次时，分别得出所需总费用为 y 元与 x 的关系式即可； (

20、2)利用函数交点坐标求法分别得出即可； (3)利用 (2)的点的坐标以及结合得出函数图象得出答案 . 答案： (1)由题意可得：银卡消费： y=10x+150，普通消费： y=20x； (2)由题意可得：当 10x+150=20x，解得： x=15，则 y=300， 故 B(15， 300)， 当 y=10x+150， x=0 时， y=150，故 A(0， 150)， 当 y=10x+150=600，解得： x=45，则 y=600，故 C(45， 600)； (3)如图所示：由 A， B， C 的坐标可得： 当 0 x 15 时，普通消费更划算； 当 x=15 时，银卡、普通票的总费用相同

21、，均比金卡合算； 当 15 x 45 时，银卡消费更划算； 当 x=45 时，金卡、银 卡的总费用相同，均比普通片合算； 当 x 45 时，金卡消费更划算 . 22.如图 1，在 Rt ABC 中， B=90， BC=2AB=8，点 D、 E 分别是边 BC、 AC 的中点，连接DE，将 EDC 绕点 C 按顺时针方向旋转，记旋转角为 . (1)问题发现 当 =0时， AEBD= ；当 =180时， AEBD= . (2)拓展探究 试判断：当 0 360时， AEBD的大小有无变化？请仅就图 2 的情形给出证明 . (3)问题解决 当 EDC 旋转至 A， D， E 三点共线时，直接写出线段

22、BD 的长 . 解析： (1)当 =0时，在 Rt ABC 中，由勾股定理，求出 AC 的值是多少；然后根据点 D、E 分别是边 BC、 AC 的中点，分别求出 AE、 BD 的大小，即可求出 AEBD的值是多少 . =180时，可得 AB DE，然后根据 AC BCAE BD，求出 AEBD的值是多少即可 . (2)首先判断出 ECA= DCB，再根据 52E C A CD C B C，判断出 ECA DCB，即可求出 AEBD的值是多少，进而判断出 AEBD的大小没有变化即可 . (3)根据题意，分两种情况：点 A， D， E 所在的直线和 BC 平行时；点 A， D， E 所在的直线和

23、BC 相交时；然后分类讨论，求出线段 BD 的长各是多少即可 . 答案： (1)当 =0时， Rt ABC 中， B=90， AC= 2 2 2 2( 82 ) 8A B B C =4 5 ， 点 D、 E 分别是边 BC、 AC 的中点， AE=4 5 2=2 5 ， BD=8 2=4， AEBD=254= 52. 如图 1， 当 =180时，可得 AB DE， AC BCAE BD， 4 5 582A E A CB D B C . 故答案为： 52、 52. (2)如图 2， 当 0 360时， AEBD的大小没有变化， ECD= ACB， ECA= DCB， 又 52E C A CD C

24、 B C， ECA DCB， 52A E E CB D D C. (3)如图 3， AC=4 5 ， CD=4， CD AD， AD= 22 2 24 5 4 8 0 1 6A C C D =8， AD=BC， AB=DC， B=90，四边形 ABCD 是矩形， BD=AC=4 5 . 如图 4，连接 BD，过点 D 作 AC 的垂线交 AC于点 Q，过点 B 作 AC 的垂线交 AC 于点 P， AC=4 5 ， CD=4， CD AD， AD= 22 2 24 5 4 8 0 1 6A C C D =8， 在 ABC 和 CDA 中， AB CDBC DAAC CA ， BP=DQ， BP

25、 DQ， PQ DQ， 四边形 BDQP 为矩形， BD=PQ=AC-AP-CQ=4 5 - 45- 45=12 55. 综上所述， BD 的长为 4 5 或 12 55. 23. 如图，边长为 8 的正方形 OABC 的两边在坐标轴上，以点 C 为顶点的抛物线经过点 A，点 P 是抛物线上点 A， C 间的一个动点 (含端点 )，过点 P 作 PF BC 于点 F，点 D、 E 的坐标分别为 (0， 6)， (-4， 0)，连接 PD、 PE、 DE. (1)请直接写出抛物线的解析式； (2)小明探究点 P 的位置发现：当 P 与点 A 会点 C 重合时， PD 与 PF 的差为定值，进而猜

26、想：对于任意一点 P， PD 与 PF 的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由； (3)小明进一步探究得出结论：若将“使 PDE 的面积为整数”的点 P 记作“好点”，则存在多个“好点”，且使 PDE 的周长最小的点 P 也是一个“好点” .请直接写出所有“好点”的个数，并求出 PDE 周长最小时“好点”的坐标 . 解析： (1)利用待定系数法求出抛物线解析式即可； (2)首先表示出 P， F 点坐标，再利用两点之间距离公式得出 PD， PF 的长，进而求出即可； (3)根据题意当 P、 E、 F 三点共线时， PE+PF 最小，进而得出 P 点坐标以及利用 PDE 的面积可以等于 4

27、 到 13 所有整数，在面积为 12 时， a 的值有两个，进而得出答案 . 答案： (1)边长为 8 的正方形 OABC 的两边在坐标轴上，以点 C 为顶点的抛物线经过点 A， C(0， 8)， A(-8， 0)， 设抛物线解析式为： y=ax2+c，则 864 0cac，解得： 188ac ，故抛物线的解析式为： y=-18x2+8. (2)正确，理由：设 P(a， -18a2+8)，则 F(a， 8)， D(0， 6)， PD= 222 2 2112288a a a =18a2+2， PF=8-(-18a2+8)=18a2， PD-PF=2. (3)在点 P 运动时， DE 大小不变，则

28、 PE 与 PD 的和最小时， PDE的周长最小， PD-PF=2， PD=PF+2， PE+PD=PE+PF+2，当 P、 E、 F 三点共线时， PE+PF 最小， 此时点 P， E 的横坐标都为 -4， 将 x=-4 代入 y=-18x2+8，得 y=6， P(-4， 6)，此时 PDE 的周长最小，且 PDE 的面积为 12，点 P 恰为“好点， PDE 的周长最小时”好点“的坐标为： (-4， 6)， 由 (2)得： P(a， -18a2+8)， 点 D、 E 的坐标分别为 (0， 6)， (-4， 0)，设直线 DE 的解析式为： y=kx+b， 则 640bkb ，解得： 326kb ， lDE： y=32x+6，则 PE=-18a2+8-32a-6， S PDE=12 4 (-18a2+8-32a-6)=-14a2-3a+4=-14(a+6)2+13， -8 a 0， 4 S PDE 13， PDE 的面积可以等于 4 到 13 所有整数，在面积为 12 时， a的值有两个， 所以面积为整数时好点有 11 个，经过验证周长最小的好点包含这 11 个之内，所以好点共11 个， 综上所述： 11 个好点， P(-4， 6).