2015年山东省烟台市中考真题数学.docx

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1、 2015 年山东省烟台市中考 真题 数学 一、选择题 (本题共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分 )每小题都给出标号为 A、 B、 C、 D 四个备选答案，其中并且只有一个是正确的 1.(3 分 )-23的相反数是 ( ) A. -23B. 23C. -32D. 32解 析 ： -23的相反数是 23. 答案 ： B. 2.(3 分 )剪纸是我国最古老民间艺术之一，被列入第四批人类非物质文化遗产代表作名录，下列剪纸作品中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： A、是轴对称图形，不是中心对称图形 .故错误； B、是轴对称图形，也是中心对称图形

2、 .故错误； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形 .故错误； D、不是轴对称图形，是中心对称图形 .故正确 . 答案 ： D. 3.(3 分 )如图，将一个圆柱体放置在长方体上，其中圆柱体的底面直径与长方体的宽相平，则该几何体的左视图是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： 从左面看易得左视图为： . 答案 ： A. 4.(3 分 )下列等式不一定成立的是 ( ) A. aab b(b0) B. a3a -5=21a (a0) C. a2-4b2=(a+2b)(a-2b) D. (-2a3)2=4a6 解 析 ： A、 aab b(a0 ， b 0)，故此选项错误，符合题意； B、

3、a3a -5=21a (a0) ，正确，不合题意； C、 a2-4b2=(a+2b)(a-2b)，正确，不合题意； D、 (-2a3)2=4a6，正确，不合题意 . 答案 ： A. 5.(3 分 )丽华根据演讲比赛中九位评委所给的分数作了如下表格 如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是 ( ) A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 解 析 ： 去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响 . 答案 ： D. 6.(3 分 )如果 x2-x-1=(x+1)0，那么 x 的值为 ( ) A. 2 或 -1 B. 0 或 1 C. 2 D. -1 解 析 ： x 2

4、-x-1=(x+1)0， x 2-x-1=1， 即 (x-2)(x+1)=0， 解得： x1=2， x2=-1， 当 x=-1 时， x+1=0，故 x -1. 答案 ： C. 7.(3 分 )如图， BD 是菱形 ABCD 的对角线， CEAB 交于点 E，交 BD于点 F，且点 E 是 AB 中点，则 tanBFE 的值是 ( ) A. 12B. 2 C. 33D. 3 解 析 ： 四边形 ABCD 是菱形， AB=BC ， CEAB ，点 E 是 AB 中点， ABC=60 ， EBF=30 ， BFE=60 ， tanBFE 的值为 3 . 答案 ： D. 8.(3 分 )如图，正方形

5、 ABCD 的边长为 2，其面积标记为 S1，以 CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 S2， 按照此规律继续下去，则 S2015的值为 ( ) A. ( 22)2012 B. ( 22)2013 C. (12)2012 D. (12)2013 解 析 ： 根据题意：第一个正方形的边长为 2； 第二个正方形的边长为： 2 22 ； 第三个正方形的边长为： 22 22， 第 n 个正方形的边长是 12 22n ， 所以 S2015的值是 (12)2012. 答案 ： C 9.(3 分 )等腰三角形边长分别为 a， b， 2，且 a， b 是关

6、于 x 的一元二次方程 x2-6x+n-1=0 的两根，则 n 的值为 ( ) A. 9 B. 10 C. 9 或 10 D. 8 或 10 解 析 ： 三角形是等腰三角形， a=2 ，或 b=2， a=b 两种情况， 当 a=2，或 b=2 时， a ， b 是关于 x 的一元二次方程 x2-6x+n-1=0 的两根， x=2 ， 把 x=2 代入 x2-6x+n-1=0 得， 22-62+n -1=0， 解得： n=9， 当 n=9，方程的两根是 2 和 4，而 2， 4， 2 不能组成三角形， 故 n=9 不合题意， 当 a=b 时，方程 x2-6x+n-1=0 有两个相等的实数根， =

7、( -6)2-4(n-1)=0 解得： n=10. 答案 ： B. 10.(3 分 )A、 B 两地相距 20 千米，甲、乙两人都从 A 地去 B地，图中 l1和 l2分别表示甲、乙两人所走路程 s(千米 )与时间 t(小时 )之间的关系，下列说法： 乙晚出发 1 小时； 乙出发 3小时后追上甲； 甲的速度是 4千米 /小时； 乙先到达 B地 .其中正确的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解 析 ： 由函数图象可知，乙比甲晚出发 1 小时，故 正确 ； 乙出发 3-1=2 小时后追上甲，故 错误； 甲的速度为： 123=4( 千米 /小时 )，故 正确； 乙的速度为： 1

8、2(3 -1)=6(千米 /小时 )， 则甲到达 B 地用的时间为： 204=5( 小时 )， 乙到达 B 地用的时间为： 206= 133(小时 )， 111 3 4 533 ， 乙先到达 B 地，故 正确； 正确的有 3 个 . 答案 ： C. 11.(3 分 )如图，已知顶点为 (-3， -6)的抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 (-1， -4)，则下列结论中错误的是 ( ) A. b2 4ab B. ax2+bx+c -6 C. 若点 (-2， m)， (-5， n)在抛物线上，则 m n D. 关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=-4 的两根为 -5 和 -1 解 析 ：

9、 A、图象与 x 轴有两个交点，方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根， b2-4ab 0 所以 b2 4ab，故 A 选项正确； B、抛物线的开口向上，函数有最小值，因为抛物线的最小值为 -6，所以 ax2+bx+c -6，故B 选项正确； C、抛物线的对称轴为直线 x=-3，因为 -5 离对称轴的距离大于 -2 离对称轴的距离，所以 m n，故 C 选项错误； D、根据抛物线的对称性可知， (-1， -4)关于对称轴的对称点为 (-5， -4)，所以关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=-4 的两根为 -5 和 -1，故 D 选项正确 . 答案 ： C. 12.(3 分 )

10、如图， RtABC 中 C=90 ， BAC=30 ， AB=8，以 2 3 为边长的正方形 DEFG的一边 CD 在直线 AB 上，且点 D 与点 A重合，现将正方形 DEFG沿 A-B的方向以 每秒 1个单位的速度匀速运动，当点 D 与点 B 重合时停止，则在这个运动过程中，正方形 DEFG 与 ABC的重合部分的面积 S 与运动时间 t 之间的函数关系图象大致是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： 如图 1， CH 是 AB 边上的高，与 AB 相交于点 H， C=90 ， BAC=30 ， AB=8， AC=ABcos30=8 3 432 ， BC=ABsin30=8 12=4

11、， CH=AC BC AB=4 3 4 8=2 3 ， AH=AC2 AB=(4 3 )2 8=6， (1)当 0t2 3 时， S= 13ta n 3 026tt t2； (2)当 2 3 t 6 时， 2211t a n 3 0 2 3 2 3 t a n 3 022334 3 1 2662 2 3S t t t t tt t tt (3)当 6 t8 时， S=12 (t-2 3 )tan30 +2 3 6 -(t-2 3 )+12(8 -t)tan60 +23 (t -6) = 13 2 3 223t -t+2 3 +6+ 1 3 1 0 32 t (t -6) =- 36t2+2t+

12、4 3 - 32t2+83t -30 3 =-233t2+ 2 8 3 t -26 3 综上，可得 2230 2 362 2 3 2 3 6232 8 3 2 6 3 6 83ttS t tt t t ， +， 正方形 DEFG 与 ABC 的重合部分的面积 S 与运动时间 t 之间的函数关系图象大致是 A 图象 . 答案 ： A. 二、填空题 (本大题共 6 个小题，每小题 3分，满分 18 分 ) 13.(3 分 )如图，数轴上点 A、 B 所表示的两个数的和的绝对值是 _. 解 析 ： 从数轴上可知：表示点 A 的数为 -3，表示点 B 的数是 2， 则 -3+2=-1， |-1|=1.

13、 答案 ： 1. 14.(3 分 )正多边形的一个外角是 72 ，则这个多边形的内角和的度数是 _. 解 析 ： 多边形的边数： 36072=5 ， 正多边形的内角和的度数是： (5-2)180=540. 答案 ： 540. 15.(3 分 )如图，有四张不透明的卡片除正面的函数关系式不同外，其余相同，将它们背面朝上洗匀后，从中抽取一张卡片，则抽到函数图象不经过第四象限的卡片的概率为 _. 解 析 ： 4 张卡片中只有第 2 个经过第四象限， 取一张卡片，则抽到函数图象不经过第四象限的卡片的概率为 34. 答案 ： 34. 16.(3 分 )如图，将弧长为 6 ，圆心角为 120 的圆形纸片

14、AOB 围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径 OA 与 OB 重合 (粘连部分忽略不计 )则圆锥形纸帽的高是 _. 解 析 ： 弧长为 6 ， 底面半径为 62=3 ， 圆心角为 120 ， 120180R=6 ， 解得： R=9， 圆锥的高为 229 3 =6 2 . 答案 ： 62. 17.(3 分 )如图，矩形 OABC 的顶点 A、 C 的坐标分别是 (4， 0)和 (0， 2)，反比例函数 y=kx(x 0)的图象过对角线的交点 P 并且与 AB， BC 分别交于 D， E 两点，连接 OD， OE， DE，则 ODE的面积为 _. 解 析 ： 四边形 OABC 是矩形， AB=OC ，

15、 BC=OA， A 、 C 的坐标分别是 (4， 0)和 (0， 2)， OA=4 ， OB=2， P 是矩形对角线的交点， P(2 ， 1)， 反比例函数 y=kx(x 0)的图象过对角线的交点 P， k=2 ， 反比例函数的解析式为： y=2x， D ， E 两点在反比例函数 y=kx(x 0)的图象的图象上， D(4 ， 12)， E(1， 2) S 阴影 =S 矩形 -SAOD -SCOF -SBDE =42 -122 -122 -12 323= 154. 答案 ： 154. 18.(3 分 )如图，直线 l： y=-12x+1 与坐标轴交于 A， B 两点，点 M(m， 0)是 x

16、轴上一动点，以点 M 为圆心， 2 个单位长度为半径作 M ，当 M 与直线 l 相切时，则 m的值为 _. 解 析 ： 在 y=-12x+1 中， 令 x=0，则 y=1， 令 y=0，则 x=2， A(0 ， 1)， B(2， 0)， AB= 5 ； 如图，设 M 与 AB 相切与 C， 连接 MC，则 MC=2， MCAB ， MCB=AOB=90 ， B=B ， BMC ABO ， =CM BMOA AB，即 2=1 5BM， BM=2 5 ， OM=2 5 -2，或 OM=2 5 +2. m=2 -2 5 或 m=2+2 5 . 答案 ： 2-2 5 ， 2+2 5 . 三、解答题

17、(本大题共 7 小题，满分 66分 ) 19.(6 分 )先 化简： 22212 1 1xxx x x x ，再从 -2 x 3 的范围内选取一个你最喜欢的值代入，求值 . 解 析 ： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把 x 的值代入计算即可求出值 . 答案 ： 原式 = 2221 1 1211 1 111x x x x x xx x xx x x xxx ， 当 x=2 时，原式 =4. 20.(8 分 )” 切实减轻学生课业负担 ” 是我市作业改革的一项重要举措 .某中学为了解本校学生平均每天的课外作业时间，随机抽取部分学生进行问卷

18、调查，并将调查结果分为 A、 B、C、 D 四个等级， A： 1 小时以内； B： 1 小时 -1.5 小时； C： 1.5 小时 -2 小时； D： 2 小时以上 .根据调查结果绘制了如图所示的两种不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： (1)该校共调查了 _学生； (2)请将条形统计图补充完整； (3)表示等级 A 的扇形圆心角 的度数是 _； (4)在此次调查问卷中，甲、乙两班各有 2 人平 均每天课外作业量都是 2 小时以上，从这 4人中人选 2 人去参加座谈，用列表 法 或画树状图的方法求选出的 2 人来自不同班级的概率 . 解 析 ： (1)根据 B 类的人数和所占的百分比即

19、可求出总数； (2)求出 C 的人数从而补全统计图； (3)用 A 的人数除以总人数再乘以 360 ，即可得到圆心角 的度数； (4)先设甲班学生为 A1， A2，乙班学生为 B1， B2，根据题意画出树形图，再根据概率公式列式计算即可 . 答案 ： (1)共调查的中学生数是： 8040%=200( 人 )， 故答案为： 200； (2)C 类的人数是： 200-60-80-20=40(人 )， 补图如下： (3)根据题意得： = 60200360=108 ， 故答案为： 108 ； (4)设甲班学生为 A1， A2，乙班学生为 B1， B2， 一共有 12 种等可能结果，其中 2 人来自不同

20、班级共有 8 种， P(2 人来自不同班级 )= 8212 3. 21.(8 分 )2014 年 12 月 28 日 “ 青烟威荣 ” 城际铁路正式开通，从烟台到北京的高铁里程比普快里程缩短了 81千米，运行时间减少了 9小时，已知烟台到北京的普快列车里程约为 1026千米，高铁平均时速为普快平均时速的 2.5 倍 . (1)求高铁列车的平均时速； (2)某日王老师要去距离烟台大约 630 千米的某市参加 14： 00 召开的会议，如果他买到当日8： 40 从烟台至城市的高铁票，而且从该市火车站到会议地点最多需要 1.5 小时，试问在高铁列车准点到达的情况下他能在开会之前到达吗？ 解 析 ：

21、(1)设普快的平均时速为 x 千米 /小时 ，高铁列车的平均时速为 2.5 千米 /小时，根据题意可得，高铁走 (1026-81)千米比普快走 1026 千米时间减少了 9 小时，据此列方程求解； (2)求出王老师所用的时间，然后进行判断 . 答案 ： (1)设普快的平均时速为 x 千米 /小时，高铁列车的平均时速为 2.5x 千米 /小时， 由题意得， 1 0 2 6 1 0 2 6 8 1 92 .5xx， 解得： x=72， 经检验， x=72 是原分式方程的解，且符合题意， 则 2.5x=180， 答：高铁列车的平均时速为 180 千米 /小时； (2)630180=3.5 ， 则坐车

22、共需要 3.5+1.5=5(小时 )， 王老师到达会议地点的时间为 1 点 40. 故他能在开会之前到达 . 22.(9 分 )如图 1，滨海广场装有风能、太阳能发电的风光互补环保路灯，灯杆顶端装有风力发电机，中间装有太阳能板，下端装有路灯 .该系统工作过程中某一时刻的截面图如图 2，已知太阳能板的支架 BC 垂直于灯杆 OF，路灯顶端 E 距离地面 6 米， DE=1.8 米， CDE=60.且根据我市的地理位置设定太阳能板 AB 的倾斜角为 43.AB=1.5 米， CD=1 米，为保证长为1 米的风力发电机叶片无障碍安全旋转，对叶片与太阳能板 顶端 A 的最近距离不得少于 0.5米，求灯

23、杆 OF 至少要多高？ (利用科学计算器可求得 sin430.6820 ， cos430.7314 ，tan430.9325 ，结果保留两位小数 ) 解 析 ： 过 E 作 EG 地面于 G，过 D 作 DHEG 于 H，在 RtABC 中，求得AC=ABcosCAB=1.50.73141.1 ，由 CDE=60 ，得到 EH=12DE=0.9，得出DF=GH=EG-EH=6-0.9=5.1，于是 OF=1+0.5+1.10+1+5.1=8.70m. 答案 ： 过 E 作 EG 地面于 G，过 D 作 DHEG 于 H， DF=HG ， 在 RtABC 中， AC=ABcosCAB=1.5co

24、s(90 -CBA)=1.5sinCBA=1.50.68201 ， CDE=60 ， EDH=30 ， EH= 12DE=0.9， DF=GH=EG -EH=6-0.9=5.1， OF=OA+AC+CD+DF=0.5+1+1+5.1=7.6m. 答：灯杆 OF 至少要 7.6m. 23.(9 分 )如图，以 ABC 的一边 AB 为直径的半圆与其它两边 AC， BC 的交点分别为 D、 E，且 . (1)试判断 ABC 的形状，并说明理由 . (2)已知半圆的半径为 5， BC=12，求 sinABD 的值 . 解 析 ： (1)连结 AE，如图，根据圆周角定理，由 得 DAE=BAE ，由

25、AB 为直径得AEB=90 ，根据等腰三角形的判定方法即可得 ABC 为等腰三角形； (2)由等腰三角形的性质得 BE=CE=12BC=6，再在 RtABE 中利用勾股定理计算出 AE=8，接着由 AB 为直径得到 ADB=90 ，则可利用面积法计算出 BD=485，然后在 RtABD 中利用勾股定理计算出 AD=145，再根据正弦的定义求解 . 答案 ： (1)ABC 为等腰三角形 .理由如下： 连结 AE，如图， ， DAE=BAE ，即 AE 平分 BAC ， AB 为直径， AEB=90 ， AEBC ， ABC 为等腰三角形； (2)ABC 为等腰三角形， AEBC ， BE=CE=

26、 12BC=1212=6 ， 在 RtABE 中， AB=10 ， BE=6， AE= 2210 6 =8， AB 为直径， ADB=90 ， 12AEBC= 12BDAC ， BD= 8 12 4810 5 ， 在 RtABD 中， AB=10 ， BD=485， AD= 22145A B B D， sinABD= 14 75=10 25ADAB. 24.(12 分 )如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c 与 M 相交于 A、 B、 C、 D 四点，其中 A、 B 两点的坐标分别为 (-1， 0)， (0， -2)，点 D 在 x 轴上且 AD为 M 的直径 .点 E 是M

27、 与 y 轴的另一个交点，过劣弧 上的点 F 作 FHAD 于点 H，且 FH=1.5 (1)求点 D 的坐标及该抛物线的表达式； (2)若点 P 是 x 轴上的一个动点，试求出 PEF 的周长最小时点 P 的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使 QCM 是等腰三角形？如果存在，请直接写出点 Q的坐标；如果不存在，请说明理由 . 解 析 ： (1)首先根据圆的轴对称性求出点 D 的坐标，将 A、 B、 D 三点代入，即可求出本题的答案； (2)由于点 E 与点 B 关于 x 轴对称，所以，连接 BF，直线 BF 与 x轴的交点，即为点 P，据此即可得解； (3)从 CM=MQ，

28、CM=CQ， MQ=CQ 三个方面进行分析，据此即可得解 . 答案 ： (1)连接 BD， AD 是 M 的直径， ABD=90 AOBABD ， AO ABAB AD， 在 RtAOB 中， AO=1， BO=2， 根据勾股定理得： AB= 5 ， 155 AD， AD=5 ， DO=AD -AO=5-1=4， D(4 ， 0)， 把点 A(-1， 0)、 B(0， -2)、 D(4， 0)代入 y=ax2+bx+c 可得： 21 6 4 00ca b ca b c ， 解得：12322abc， 抛物线表达式为： 213 222y x x ； (2)连接 FM， 在 RtFHM 中， FM=

29、52， FH=32， MH= 2253 222 ， OM=AM-OA=52-1=32， OH=OM+MH= 32+2=72， F( 72， 32)， 设直线 BF 的解析式为 y=kx+b， 则： 73222kbb ， 直线 BF 的解析式为： y=x-2， 连接 BF 交 x 轴于点 P， 点 E 与点 B 关于 x 轴对称， 点 P 即为所求， 当 y=0 时， x=2， P(2 ， 0)； (3)如图， CM=52 抛物线 213 222y x x 的对称轴为直线 x=32， OM= 32， 点 M 在直线 x=32上， 根据圆的对称性可知，点 C 与点 B 关于直线 x=32对称， 点

30、 C(3， -2)， 当 CM=MQ=52时，点 Q 可能在 x 轴上方，也可能在 x 轴下方， Q 1(32， 52)， Q2(32， -52)， 当 CM=CQ 时，过点 C 作 CNMQ ， MN=NQ=2 ， MQ=4 ， Q 3(32， -4)， 当 CQ4=MQ4时，过点 C 作 CRMQ ， Q4VCM ， 则： MV=CV=54， Q4V= 242516MQ ， RtCRMRtQ 4VM， 24425165322MQMQ ， 解得： MQ4=2516， Q 4(32， -2516) 综上可知，存在四个点，即： Q1(32， 52)， Q2(32， -52)， Q3(32， -4

31、)， Q4(32， -2516). 25.(14 分 )【问题提出】 如图 ，已知 ABC 是等腰三角形，点 E 在线段 AB 上，点 D 在直线 BC 上，且 ED=EC，将 BCE绕点 C 顺时针旋转 60 至 ACF 连接 EF 试证明： AB=DB+AF 【类比探究】 (1)如图 ，如果点 E 在线段 AB 的延长线上，其他条件不变，线段 AB， DB， AF 之间又有怎样的数量关系？请说明理由 (2)如果点 E 在线段 BA 的延长线上，其他条件不变，请在图 的基础上将图形补充完整，并写出 AB， DB， AF 之间的数量关系，不必说明理由 . 解 析 ： 首先判断出 CEF 是等边

32、三角形，即可判断出 EF=EC，再根据 ED=EC，可得 ED=EF，CAF=BAC=60 ，所以 EAF=BAC+CAF=120 ， DBE=120 ， EAF=DBE ；然后根据全等三角形判定的方法，判断出 EDBFEA ，即可判断出 BD=AE， AB=AE+BF，所以AB=DB+AF. (1)首先判断出 CEF 是等边三角形，即可判断出 EF=EC，再根据 ED=EC，可得 ED=EF，CAF=BAC=60 ，所以 EFC=FGC+FCG ， BAC=FGC+FEA ， FCG=FEA ，再根据FCG=EAD ， D=EAD ，可得 D=FEA ； 然后根据全等三角形判定的方法，判断出

33、EDBFEA ，即可判断出 BD=AE， EB=AF，进而判断出 AB=BD+AF 即可 . (2)首先根据点 E 在线段 BA 的延长线上，在图 的基础上将图形补充完整，然后判断出 CEF是等边三角形，即可判断出 EF=EC，再根据 ED=EC，可得 ED=EF， CAF=BAC=60 ，再判 断出 DBE=EAF ， BDE=AEF ；最后根据全等三角形判定的方法，判断出 EDBFEA ，即可判断出 BD=AE， EB=AF，进而判断出 AF=AB+BD 即可 . 答案 ： ED=EC=CF， BCE 绕点 C 顺时针旋转 60 至 ACF ， ECF=60 ， BE=AF， EC=CF，

34、 CEF 是等边三角形， EF=EC ， 又 ED=EC ， ED=EF ， CAF=BAC=60 ， EAF=BAC+CAF=120 ， DBE=120 ， EAF=DBE ， A 、 E、 C、 F 四点共圆， AEF=ACF ， 又 ED=EC ， D=BCE ， BCE=ACF ， D=AEF ， 在 EDB 和 FEA 中， D B E E A FD A E FE D E F (AAS) EDBFEA ， BD=AE ， AB=AE+BF， AB=DB+AF. (1)AB=BD+AF； 延长 EF、 CA 交于点 G， BCE 绕点 C 顺时针旋转 60 至 ACF ， ECF=60

35、 ， BE=AF， EC=CF， CEF 是等边三角形， EF=EC ， 又 ED=EC ， ED=EF ， EFC=BAC=60 ， EFC=FGC+FCG ， BAC=FGC+FEA ， FCG=FEA ， 又 FCG=ECD ， D=ECD ， D=FEA ， 由旋转的性质，可得 CBE=CAF=120 ， DBE=FAE=60 ， 在 EDB 和 FEA 中， D B E E A FD A E FE D E F (AAS) EDBFEA ， BD=AE ， EB=AF， BD=FA+AB ， 即 AB=BD-AF. (2)如图 ， ED=EC=CF， BCE 绕点 C 顺时针旋转 60

36、 至 ACF ， ECF=60 ， BE=AF， EC=CF， BC=AC， CEF 是等边三角形， EF=EC ， 又 ED=EC ， ED=EF ， AB=AC ， BC=AC， ABC 是 等边三角形， ABC=60 ， 又 CBE=CAF ， CAF=60 ， EAF=180 -CAF -BAC =180 -60 -60 =60 DBE=EAF ； ED=EC ， ECD=EDC ， BDE=ECD+DEC=EDC+DEC ， 又 EDC=EBC+BED ， BDE=EBC+BED+DEC=60+BEC ， AEF=CEF+BEC=60+BEC ， BDE=AEF ， 在 EDB 和 FEA 中， D B E E A FB D E A E FE D E F (AAS) EDBFEA ， BD=AE ， EB=AF， BE=AB+AE ， AF=AB+BD ， 即 AB， DB， AF 之间的数量关系是： AF=AB+BD.