2015年四川省成都市中考真题数学.docx

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1、 2015 年四川省成都市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求 ) 1.(3 分 )-3 的倒数是 ( ) A. -13B. 13C. -3 D. 3 解 析 ： -3( -13)=1， -3 的倒数是 -13. 故选： A. 2.(3 分 )如图所示的三视图是主视图是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： A、是左视图，错误； B、是主视图，正确； C、是俯视图，错误； D、不是主视图，错误； 故选 B 3.(3 分 )今年 5 月，在成都举行的世界机场城市大会上，成都新机场规划蓝图首次亮相，新机场

2、建成后，成都将成为继北京、上海之后，国内第三个拥有双机场的城市，按照远期规划，新机场将建的 4 个航站楼的总面积约为 126 万平方米，用科学记数法表示为 ( ) A. 12610 4 B. 1.2610 5 C. 1.2610 6 D. 1.2610 7 解 析 ：将 126 万用科学记数法表示为 1.2610 6. 故选 C. 4.(3 分 )下列计算正确的是 ( ) A. a2+a2=a4 B. a2a 3=a6 C. (-a2)2=a4 D. (a+1)2=a2+1 解 析 ： A、 a2+a2=2a2，错误； B、 a2a 3=a5，错误； C、 (-a2)2=a4，正确； D、 (

3、a+1)2=a2+2a+1，错误； 故选 C. 5.(3 分 )如图，在 ABC 中， DEBC ， AD=6， DB=3， AE=4，则 EC 的长为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解 析 ： DEBC ， AD AEDB EC， 即 643 EC， 解得： EC=2， 故选： B. 6.(3 分 )一次函数 y=2x+1 的图象不经过 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解 析 ： 一次函数 y=2x+1 中的 2 0， 该直线经过第一、三象限 . 又 一次函数 y=2x+1 中的 1 0， 该直线与 y 轴交于正半轴， 该直线经过第一

4、、二、三象限，即不经过第四象限 . 故选： D. 7.(3 分 )实数 a， b 在数轴上对应的点的位置如图所示，计算 |a-b|的结果为 ( ) A. a+b B. a-b C. b-a D. -a-b 解 析 ：由数轴可得： a 0 b， |a| |b|， a -b 0， |a -b|=-(a-b)=b-a， 故选： C. 8.(3 分 )关于 x 的一元二次方程 kx2+2x+1=0 有两个不相等的实数根，则 k的取值范围是( ) A. k -1 B. k -1 C. k0 D. k 1 且 k0 解 析 ：依题意列方程组 2 0240kk ， 解得 k 1 且 k0. 故选 D. 9.

5、(3 分 )将抛物线 y=x2向左平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为 ( ) A. y=(x+2)2-3 B. y=(x+2)2+3 C. y=(x-2)2+3 D. y=(x-2)2-3 解 析 ：抛物线 y=x2的顶点坐标为 (0， 0)，把点 (0， 0)向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位长度所得对应点的坐标为 (-2， -3)，所以平移后的抛物线解析式为 y=(x+2)2-3. 故选： A. 10.(3 分 )如图，正六边形 ABCDEF 内接于 O ，半径为 4，则这个正六边形的边心距 OM 和的长分别为 ( ) A. 2，3B.

6、2 3 ， C. 3 ， 23D. 2 3 ， 43解 析 ：连接 OB， OB=4 ， BM=2 ， OM=2 3 ， 6 0 4 41 8 0 3 ， 故选 D.二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 4分，共 16分 ) 11.(4 分 )分解因式： x2-9=_. 解 析 ： x2-9=(x+3)(x-3). 故答案为： (x+3)(x-3). 12.(4 分 )如图，直线 mn ， ABC 为等腰三角形， BAC=90 ，则 1= _度 . 解 析 ： ABC 为等腰三角形， BAC=90 ， ABC=ACB=45 ， 直线 mn ， 1=ABC=45 ， 故答案为： 45. 13

7、.(4 分 )为响应 “ 书香成都 ” 建设号召，在全校形成良好的人文阅读风尚，成都市某中学随机调 查了部分学生平均每天的阅读时间，统计结果如图所示，则在本次调查中，阅读时间的中位数是 _小时 . 解 析 ：由统计图可知共有： 8+19+10+3=40 人，中位数应为第 20 与第 21 个的平均数， 而第 20 个数和第 21 个数都是 1(小时 )，则中位数是 1 小时 . 故答案为 1. 14.(4 分 )如图，在 ABCD 中， AB= 13 ， AD=4，将 ABCD 沿 AE 翻折后，点 B 恰好与点 C 重合，则折痕 AE 的长为 _. 解 析 ： 翻折后点 B 恰好与点 C 重

8、合， AEBC ， BE=CE， BC=AD=4 ， BE=2 ， 22 2 21 3 2 3A E A B B E . 故答案为： 3. 三、解答题 (本大题共 6 小题，共 54 分 ) 15.(12 分 )(1)计算： 8 -(2015-) 0-4cos45+( -3)2. (2)解方程组： 253 2 1xyxy . 解 析 ： (1)原式第一项化为最简二次根式，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用乘方的意义化简，计算即可得到结果； (2)方程组利用加减消元法求出解即可 . 答案 ： (1)原式 =2 2 -1-4 22+9 =8； (2)+ 得：

9、 4x=4，即 x=1， 把 x=1 代入 得： y=2， 则方程组的解为 12xy. 16.(6 分 )化简：2112 4 2aaa a a . 解 析 ：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果 . 答案 ：原式 = 22 1 12 2 12 2 1 2 2 1 2a a aa a aa a a a a a a . 17.(8 分 )如图，登山缆车从点 A 出发，途经点 B 后到达终点 C，其中 AB 段与 BC 段的运行路程均为 200m，且 AB 段的运行路线与水平面的夹角为 30 ， BC 段的运行路线与水平面的夹角为 42 ，求缆车从

10、点 A 运行到点 C 的垂直上升的距离 .(参考数据： sin420.67 ，cos420.74 ， tan420.90) 解 析 ：要求缆车从点 A 运行到点 C 的垂直上升的距离，就是求 BD+CE 的值 .解直角 ADB ，利用 30 角所对的直角边等于斜边的一半得出 BD=12AB=100m，解直角 CEB ，根据正弦函数的定义可得 CE=BCsin42. 答案 ：在直角 ADB 中， ADB=90 ， BAD=30 ， AB=200m， BD= 12AB=100m， 在直角 CEB 中， CEB=90 ， CBE=42 ， CB=200m， CE=BCsin422000.67=134

11、m ， BD+CE100+134=234m. 答：缆车从点 A 运行到点 C 的垂直上升的距离约为 234m. 18.(8 分 )国务院办公厅在 2015年 3月 16 日发布了中国足球发展改革总体方案，这是中国足球史上的重大改革，为进一步普及足球知识，传播足球文化，我市某区在中小学举行了 “ 足球在身边 ” 知识竞赛，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的学生共 50 名，请结合图中信息，解答下列问题： (1)获得一等奖的学生人数； (2)在本次知识竞赛活动中， A， B， C， D 四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的

12、方法求恰好选到 A， B 两所学校的概率 . 解 析 ： (1)根据三等奖所在扇形的圆心角的度数求得总人数，然后乘以一等奖所占的百分比即可求得一等奖的学生数； (2)列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可 . 答案 ： (1) 三等奖所在扇形的圆心角为 90 ， 三等奖所占的百分比为 25%， 三等奖为 50 人， 总人数为 5025%=200 人， 一等奖的学生人数为 200(1 -20%-25%-40%)=30 人； (2)列表： 共有 12 种等可能的结果，恰好选中 A、 B 的有 2 种， P( 选中 A、 B)=212=16. 19.(10 分 )如图，一次函数 y=-

13、x+4 的图象与反比例函数 y=kx(k 为常数，且 k0) 的图象交于 A(1， a)， B 两点 . (1)求反比例函数的表达式及点 B 的坐标； (2)在 x 轴上找一点 P，使 PA+PB 的值最小，求满足条件的点 P 的坐标及 PAB 的面积 . 解析： (1)把点 A(1， a)代入一次函数 y=-x+4，即可得出 a，再把点 A 坐标代入反比例函数y=kx，即可得出 k，两个函数解析式联立求得点 B 坐标； (2)作点 B 作关于 x 轴的对称点 D，交 x 轴于点 C，连接 AD，交 x 轴于点 P，此时 PA+PB 的值最小，求出直线 AD 的解析式，令 y=0，即可得出点

14、P 坐标 . 答案： (1)把点 A(1， a)代入一次函数 y=-x+4， 得 a=-1+4， 解得 a=3， A(1 ， 3)， 点 A(1， 3)代入反比例函数 y=kx， 得 k=3， 反比例函数的表达式 y=3x， 两个函数解析式联立列方程组得 43yxy x ， 解得 x1=1， x2=3， 点 B 坐标 (3， 1)； (2)作点 B 作关于 x 轴的对称点 D，交 x 轴于点 C，连接 AD，交 x 轴于点 P，此时 PA+PB 的值最小， D(3 ， -1)， 设直线 AD 的解析式为 y=mx+n， 把 A， D 两点代入得， 331mnmn ， 解得 m=-2， n=5，

15、 直线 AD 的解析式为 y=-2x+5， 令 y=0，得 x=52， 点 P 坐标 (52， 0)， SPAB =SABD -SPBD =1222 -122 12=2-12=32. 20.(10 分 )如图，在 RtABC 中， ABC=90 ， AC 的垂直平分线分别与 AC， BC及 AB 的延长线相较于点 D， E， F，且 BF=BC， O 是 BEF 的外接圆， EBF 的平分线交 EF 于点 G，交 O于点 H，连接 BD， FH. (1)求证： ABCEBF ； (2)试判断 BD 与 O 的位置关系，并说明理由； (3)若 AB=1，求 HGHB 的值 . 解析： (1)由垂

16、直的定义可得 EBF=ADF=90 ，于是得到 C=BFE ，从而证得 ABCEBF ； (2)BD 与 O 相切，如图 1，连接 OB 证得 DBO=9 0 ，即可得到 BD 与 O 相切； (3)如图 2，连接 CF， HE，有等腰直角三角形的性质得到 CF= 2 BF，由于 DF 垂直平分 AC，得到 AF=CF=AB+BF=1+BF= 2 BF，求得 BF= 21 ，有勾股定理解出22 4 2 2E F B F B E ，推出 EHF 是等腰直角三角形，求得2 222H F E F ，通过 BHFFHG ，列比例式即可得到结论 . 答案： (1)证明： ABC=90 ， EBF=90

17、， DFAC ， ADF=90 ， C+A=A+AFD=90 ， C=BFE ， 在 ABC 与 EBF 中，C A F EB C B FA B C E B F ， ABCEBF ； (2)BD 与 O 相切，如图 1，连接 OB 证明如下： OB=OF ， OBF=OFB ， ABC=90 ， AD=CD， BD=CD ， C=DBC ， C=BFE ， DBC=OBF ， CBO+OBF=90 ， DBC+CBO=90 ， DBO=90 ， BD 与 O 相切； (3)解：如图 2，连接 CF， HE， CBF=90 ， BC=BF， CF= 2 BF， DF 垂直平分 AC， AF=CF

18、=AB+BF=1+BF= 2 BF， BF= 21 ， ABCEBF ， BE=AB=1 ， 22 4 2 2E F B F B E ， BH 平分 CBF ， ， EH=FH ， EHF 是等腰直角三角形， 2 222H F E F ， EFH=HBF=45 ， BHF=BHF ， BHFFHG ， HF BHHG HF， HGHB=HF 2=2+ 2 . 四、填空题 (本大题共 5 小题，每小题 4分，共 20分 ) 21.(4 分 )比较大小： 512_58.(填 “ ” ， “ ” 或 “=”) 解析： 5 1 528 = 4 5 4 588 = 4 5 98 2 24 5 9 8 0

19、 1 1 08 ， 4 5 9 ， 45 09 ， 5 1 5 028 ， 5 1 528 . 故答案为： . 22.(4 分 )有 9 张卡片，分别写有 1 9 这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽取一张，记卡片上的数字为 a，则使关于 x 的不等式组 4 3 112 2xxxxa 有解的概率 为 _. 解析： 由关于 x 的不等式组 4 3 1122xxxxa 有解，可求得 a 5，然后利用概率公式求解即可求得答案 . 答案： 4 3 1122xxxxa ， 由 得： x3 ， 由 得： x 213a， 关于 x 的不等式组 4 3 1122xxxxa 有解， 213a 3， 解得：

20、a 5， 使关于 x 的不等式组 4 3 112 2xxxxa 有解的概率为： 49. 故答案为： 49. 23.(4 分 )已知菱形 A1B1C1D1的边长为 2， A 1B1C1=60 ，对角线 A1C1， B1D1相较于点 O，以点O 为坐标原点，分别以 OA1， OB1所在直线为 x 轴、 y 轴，建立如图所示的直角坐标系，以 B1D1为对角线作菱形 B1C2D1A2 菱形 A1B1C1D1，再以 A2C2为对角线作菱形 A2B2C2D2 菱形 B1C2D1A2，再以 B2D2为对角线作菱形 B2C3D2A3 菱形 A2B2C2D2， ，按此规律继续作下去，在 x轴的正半轴上得到点 A

21、1， A2， A3， ， An，则点 An的坐标为 _. 解析： 先根据菱形的性质求出 A1的坐标，根据勾股定理求出 OB1的长，再由锐角三角函数的定义求出 OA2的长，故可得出 A2的坐标，同理可得出 A3的坐标，找出规律即可得出结论 . 答案： 菱形 A1B1C1D1的边长为 2， A 1B1C1=60 ， OA 1=A1B1sin30=2 12=1， OB1=A1B1cos30=2 32= 3 ， A 1(1， 0). B 1C2D1A2 菱形 A1B1C1D1， OA 2=1tan30OB= 333=3， A 2(3， 0). 同理可得 A3(9， 0) A n(3n-1， 0). 故

22、答案为： (3n-1， 0). 24.(4 分 )如图，在半径为 5 的 O 中，弦 AB=8， P 是弦 AB 所对的优弧上的动点，连接 AP，过点 A 作 AP 的垂线交射线 PB 于点 C，当 PAB 是等腰三角形时，线段 BC的长为 _. 解析： 当 BA=BP 时，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半； 当 AB=AP 时，如图 1，延长 AO 交 PB 于点 D，过点 O作 OEAB 于点 E，易得 AOEABD ，利用相似三角形的性质求得 BD， PB，然后利用相似三角形的判定定理 ABDCPA ，代入数据得出结果； 当 PA=PB 时，如图 2，连接 PO 并延长，交 AB

23、于点 F，过点 C作 CGAB ，交 AB 的延长线于点 G，连接 OB，则 PFAB ，易得 AF=FB=4，利用勾股定理得 OF=3， FP=8，易得 PFBCGB ，利用相似三角形的性质 21CGBG，设 BG=t，则 CG=2t，利用相似三 角形的判定定理得APFCAG ，利用相似三角形的性质得比例关系解得 t，在 RtBCG 中，得 BC. 答案： 当 BA=BP 时， 易得 AB=BP=BC=8，即线段 BC 的长为 8. 当 AB=AP 时，如图 1，延长 AO 交 PB 于点 D，过点 O 作 OEAB 于点 E，则 ADPB ， AE=12AB=4， BD=DP ， 在 Rt

24、AEO 中， AE=4， AO=5， OE=3 ， 易得 AOEABD ， OE BDAO AB， 245BD， 245BD PD，即 485PB， AB=AP=8 ， ABD=P ， PAC=ADB=90 ， ABDCPA ， BD PAAB CP， CP= 403， BC=CP -BP= 40 48 563 5 15； 当 PA=PB 时 如图 2，连接 PO 并延长，交 AB 于点 F，过点 C 作 CGAB ，交 AB 的延长线于点 G，连接 OB， 则 PFAB ， AF=FB=4 ， 在 RtOFB 中， OB=5， FB=4， OF=3 ， FP=8 ， 易得 PFBCGB ，

25、21PF CGPB BG， 设 BG=t，则 CG=2t， 易得 PAF=ACG ， AFP=AGC=90 ， APFCAG ， AF CGPF AG， 2182tt ，解得 t=83， 在 RtBCG 中， BC= 5 t=853， 综上所述，当 PAB 是等腰三角形时，线段 BC 的长为 8， 5615， 853， 故答案为： 8， 5615， 853. 25.(4 分 )如果关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的 2 倍，则称这样的方程为 “ 倍根方程 ” ，以下关于倍根方程的说法，正确的是 _(写出所有正确说法的序号 ) 方程 x2-x-

26、2=0 是倍根方程 . 若 (x-2)(mx+n)=0 是倍根方程，则 4m2+5mn+n2=0； 若点 (p， q)在反比例函数 y=2x的图象上，则关于 x 的方程 px2+3x+q=0 是倍根方程； 若方程 ax2+bx+c=0 是倍根方程，且相异两点 M(1+t， s)， N(4-t， s)都在抛物线 y=ax2+bx+c上，则方程 ax2+bx+c=0 的一个根为 54. 解析： 解方程 x2-x-2=0 得： x1=2， x2=-1， 方程 x2-x-2=0 不是倍根方程，故 错误； (x -2)(mx+n)=0 是倍根方程，且 x1=2， x2=-n， n=-1，或 n=-4，

27、m+n=0 ， 4m+n=0， 4m 2+5mn+n2=(4m+n)(m+n)=0，故 正确； 点 (p， q)在反比例函数 y=2x的图象上， pq=2 ， 解方程 px2+3x+q=0 得： x1=-1p， x2=-2p， x 2=2x1，故 正确； 方程 ax2+bx+c=0 是倍根方程， 设 x1=2x2， 相异两点 M(1+t， s)， N(4-t， s)都在抛物线 y=ax2+bx+c 上， 抛物线的对称轴12 1 4 52 2 2xx ttx ， x 1+x2=5， x 1+2x1=5， x 1=53，故 错误 . 故答案为： . 五、解答题 (本大题共 3 小题，共 30 分

28、) 26.(8 分 )某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用 13200 元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用 28800 元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的 2倍，但单价贵 了 10 元 . (1)该商家购进的第一批衬衫是多少件？ (2)若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下 50 件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于 25%(不考虑其他因素 )，那么每件衬衫的标价至少是多少元？ 解析： (1)可设该商家购进的第一批衬衫是 x 件，则购进第二批这种衬衫是 2x 件，根据第二批这种衬衫单价贵了 10 元，列出方程求解即可； (2)设每件衬衫的标价 y 元

29、，求出利润表达式，然后列不等式解答 . 答案 ： (1)设该商家购进的第一批衬衫是 x 件，则购进第二批这种衬衫是 2x 件，依题意有 1 3 2 0 0 2 8 8 0 010 2xx ， 解得 x=120， 经检验， x=120 是原方程的解，且符合题意 . 答：该商家购进的第一批衬衫是 120 件 . (2)3x=3120=360 ， 设每件衬衫的标价 y 元，依题意有 (360-50)y+500.8y(13200+28800)(1+25%) ， 解得 y150. 答：每件衬衫的标价至少是 150 元 . 27.(10 分 )已知 AC， EC 分别是四边形 ABCD 和 EFDG 的对

30、角线，点 E 在 ABC 内，CAE+CBE=90. (1)如图 ，当四边形 ABCD 和 EFCG 均为正方形时，连接 BF. (i)求证： CAECBF ； (ii)若 BE=1， AE=2，求 CE 的长； (2)如图 ，当四边形 ABCD 和 EFCG 均为矩形，且 AB EF kBC FC时，若 BE=1， AE=2， CE=3，求 k 的值； (3)如图 ，当四边形 ABCD和 EFCG 均为菱形，且 DAB=GEF=45 时，设 BE=m， AE=n， CE=p，试探究 m， n， p 三者之间满足的等量关系 .(直接写出结果，不必写出解答过程 ) 解析： (1)(i)首先根据四

31、边形 ABCD和 EFCG均为 正方形，可得 2A C C EB C C F， ACE=BCF ；然后根据相似三角形判定的方法，推得 CAECBF 即可 . (ii)首先根据 CAECBF ，判断出 CAE=CBF ，再根据 CAE+CBE=90 ，判断出EBF=90 ；然后在 RtBEF 中，根据勾股定理，求出 EF 的长度，再根据 CE、 EF 的关系，求出 CE 的长是多少即可 . (2)首先根据相似三角形判定的方法，判断出 ACEBCF ，即可判断出2 1A E A C kB F B C ，据此求出 BF 的 长度是多少；然后判断出 EBF=90 ，在 RtBEF中，根据勾股定理，求出

32、 EF 的值是多少，进而求出 k 的值是多少即可 . (3)首先根据 DAB=45 ，可得 ABC=180 -45=135 ，在 ABC 中，根据勾股定理可求得 AB2、 BC2， AC2之间的关系， EF2、 FC2， EC2之间的关系；然后根据相似三角形判定的方法，判断出 ACEBCF ，即可用 n 表示出 BF 的值；最后判断出 EBF=90 ，在 RtBEF 中，根据勾股定理，判断出 m， n， p 三者之间满足的等量关系即可 . 答案： (1)(i)证明： 四边形 ABCD 和 EFCG 均为正方形， 2A C C EB C C F， ACB=ECF=45 ， ACE=BCF ， 在

33、 CAE 和 CBF 中， 2A C C EB C C FA C E B C F ， CAECBF. (ii)解： CAECBF ， CAE=CBF ， AE ACBF BC， 又 CAE+CBE=90 ， CBF+CBE=90 ， EBF=90 ， 又 2A E A CB F B C， AE=2 2 2BF， 2BF ， EF 2=BE2+BF2= 221 2 3， EF= 3 ， CE 2=2EF2=6， CE= 6 . (2)如图 ，连接 BF， AB EF kBC FC， BC=a ， AB=ka， FC=b， EF=kb， 2 2 2 2 2 2 1A C A B B C k a a

34、 a k ，2 2 2 2 2 2 1C E E F F C k b b b k ， 2 1A C E C kB C F C ， ACE=BCF ， 在 ACE 和 BCF 中， 2 1A C E C kB C F CA C E B C F ， ACEBCF ， 2 1A E A C kB F B C ， CAE=CBF ， 又 AE=2 ， 22 1kBF ， 221BF k ， CAE=CBF ， CAE+CBE=90 ， CBE+CBF=90 ， EBF=90 ， EF 2=BE2+BF2=1+241k ， 2 1EC kFC ， 2 1C E kEF k ， CE=3， 231kEFk

35、 ， 2 22224 3 91111kkkkk ， 2 58k ， 解得 104k ， 0A B E F kB C F C， 104k . (3)如图 ， 连结 BF，同理可得 EBF=90 ，过 C 点作 CHAB 延长线于 H， 四边形 ABCD 为菱形， AB=BC ，设 AB=BC=x， CBH=DAB=45 ， BH=CH= 22x， AC 2=AH2+CH2=(x+ 22x)2+( 22x)2， =(2+ 2 )x2， AB 2： BC2： AC2=1： 1： (2+ 2 )， 同理可得 EF2： FC2： EC2=1： 1： (2+ 2 )， EF 2= 222 2 2 2E C

36、 p， 在 ACE 和 BCF 中， 22A C E CB C F CA C E B C F ， ACEBCF ， 22 22A E A CB F B C ， CAE=CBF ， 又 AE=n ， 222 2 2 2 2A E nBF ， CAE=CBF ， CAE+CBE=90 ， CBE+CBF=90 ， EBF=90 ， EF 2=BE2+BF2， 2222 2 2 2pnm， (2 + 2 )m2+n2=p2， 即 m， n， p 三者之间满足的等量关系是： (2+ 2 )m2+n2=p2. 28.(12 分 )如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2-2ax-3a(a

37、0)与 x 轴交于 A， B两点 (点 A 在点 B 的左侧 )，经过点 A 的直线 l： y=kx+b 与 y 轴交于点 C，与抛物线的另一个交点为 D，且 CD=4AC. (1)直接写出点 A 的坐标，并求直线 l 的函数表达式 (其中 k， b 用含 a的式子表示 )； (2)点 E 是直线 l 上方的抛物线上的一点，若 ACE 的面积的最大值为 54，求 a 的值； (3)设 P 是抛物线对称轴上的一点，点 Q 在抛物线上，以点 A， D， P， Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由 . 解析： (1)由抛物线 y=ax2-2ax-3a(a 0)

38、与 x 轴交于两点 A、 B，求得 A 点的坐标，作 DFx轴于 F，根据平行线分线段成比例定理求得 D 的坐标，然后利用待定系数法法即可求得直线l 的函数表达式 . (2)设点 E(m， a(m+1)(m-3)， yAE=k1x+b1，利用待定系数法确定 yAE=a(m-3)x+a(m-3)，从而确定 SACE =12(m+1)a(m-3)-a=2a(m-32)2-258a，根据最值确定 a 的值即可； (3)分以 AD 为对角线、以 AC 为边， AP 为对角线、以 AC 为边， AQ为对角线三种情况利用矩形的性质确定点 P 的坐标即可 . 答案： (1)令 y=0，则 ax2-2ax-3

39、a=0， 解得 x1=-1， x2=3 点 A 在点 B 的左侧， A( -1， 0)， 如图 1，作 DFx 轴于 F， DFOC ， OF CDOA AC， CD=4AC ， 4OF CDOA AC， OA=1 ， OF=4 ， D 点的横坐标为 4， 代入 y=ax2-2ax-3a 得， y=5a， D(4 ， 5a)， 把 A、 D 坐标代入 y=kx+b 得 045kbk b a ， 解得 kaba， 直线 l 的函数表达式为 y=ax+a. (2)设点 E(m， a(m+1)(m-3)， yAE=k1x+b1， 则 111130a m m m k bkb ， 解得： 1133k a

40、 mb a m， y AE=a(m-3)x+a(m-3)， S ACE =12(m+1)a(m-3)-a=2a(m-32)2-258a， 有最大值 -258a=54， a= -25； (3)令 ax2-2ax-3a=ax+a，即 ax2-3ax-4a=0， 解得 x1=-1， x2=4， D(4 ， 5a)， y=ax 2-2ax-3a， 抛物线的对称轴为 x=1， 设 P1(1， m)， 若 AD 是矩形的一条边， 由 AQDP 知 xD-xP=xA-xQ，可知 Q点横坐标为 -4，将 x=-4带入抛物线方程得 Q(-4， 21a)， m=yD+yQ=21a+5a=26a，则 P(1， 26

41、a)， 四边形 ADPQ 为矩形， ADP=90 ， AD 2+PD2=AP2， AD 2=4-(-1)2+(5a)2=52+(5a)2， PD2=4-(-1)2+(5a)2=52+(5a)2， 4 -(-1)2+(5a)2+(1-4)2+(26a-5a)2=(-1-1)2+(26a)2， 即 a2=17， a 0， a= - 77， P 1(1， 26 77). 若 AD 是矩形的一条对角线， 则线段 AD 的中点坐标为 (32， 52a)， Q(2， -3a)， m=5a-(-3a)=8a，则 P(1， 8a)， 四边形 ADPQ 为矩形， APD=90 ， AP 2+PD2=AD2， AP 2=1-(-1)2+(8a)2=22+(8a)2， PD2=(4-1)2+(8a-5a)2=32+(3a)2， AD2=4-(-1)2+(5a)2=52+(5a)2， 2 2+(8a)2+32+(3a)2=52+(5a)2， 解得 a2=14， a 0， a= -12， P 2(1， -4). 综上可得， P 点的坐标为 P1(1， -4)， P2(1， 26 77).