2016年北京市丰台区高考一模数学理.docx

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1、2016年北京市丰台区 高考一模数学 理 一 .选择题共 8小题，每小题 5分，共 40分 .在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 . 1. 已知全集 U=R，集合 A=x|x -2或 x 3， B=x|x -1或 x 4，那么集合 ( UA) B等于 ( ) A.x|-2 x 4 B.x|-2 x 3 C.x|-2 x -1 D.x|-2 x -1或 3 x 4 解析：集合 A=x|x -2或 x 3， UA=x|-2 x 3， B=x|x -1或 x 4， ( UA) B=x|-2 x -1， 答案： C. 2. 在下列函数中，是偶函数，且在 (0， + )内单调递增的是 (

2、) A.y=2|x| B.y21x C.y=|lgx| D.y=cosx 解析： A.y=2|x|，显然该函数为偶函数； x (0， + )时， y=2x为增函数，该选项正确； B.y21x ， x (0， + )时， y=x2为增函数； x增大时，21x 减小，即 y减小； 该函数在 (0， + )上为减函数，该选项错误； C.y=|lgx|的定义域为 (0， + )，不关于原点对称，不是偶函数，该选项错误； D.y=cosx在 (0， + )上没有单调性，该选项错误 . 答案： A. 3. 对高速公路某段上汽车行驶速度进行抽样调查，画出如图频率分布直方图 .根据直方图估计在此路段上汽车行驶

3、速度的众数和行驶速度超过 80km/h的概率 ( ) A.75， 0.25 B.80， 0.35 C.77.5， 0.25 D.77.5， 0.35 解析：由频率分布直方图， 得在此路段上汽车行驶速度的众数为 77.5， 行驶速度超过 80km/h 的概率： p=(0.05+0.02) 5=0.35. 估计在此路段上汽车行驶速度的众数为 77.5，行驶速度超过 80km/h的概率为 0.35. 答案： D. 4. 若数列 an满足 an+1 2an(an 0， n N*)，且 a2与 a4的等差中项是 5，则 a1+a2+ +an等于( ) A.2n B.2n-1 C.2n-1 D.2n-1-

4、1 解析：数列 an满足 an+1 2an(an 0， n N*)，可知数列是等比数列，公比为： 2， a2与 a4的等差中项是 5，可得 a2(1+q2)=10，解得 a2=2， a1=1. a1+a2+ +an=1212n=2n-1. 答案： B. 5. 已知直线 m， n和平面，若 n，则“ m ”是“ n m”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析： n，若“ m ”，则“ n m” .反之不成立，可能 m . n，则“ m ”是“ n m”的充分不必要条件 . 答案： A. 6. 有三对师徒共 6个人，站成一排照相，每

5、对师徒相邻的站法共有 ( ) A.72 B.54 C.48 D.8 解析：用分步原理： 第一步：把每一对师徒看成一整体，共有 3 2=6种方法； 第二步：每对师徒都有两种站法共有 2 2 2=8种； 总的方法为 6 8=48 种 . 答案： C. 7. 如图，已知三棱锥 P-ABC的底面是等腰直角三角形，且 ACB=90，侧面 PAB底面 ABC，AB=PA=PB=4.则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸 x， y， z分别是 ( ) A.2 3 ， 2 2 ， 2 B.4， 2， 2 2 C.2 3 ， 2， 2 D.2 3 ， 2， 2 2 解析：三棱锥 P-ABC 的底面是等腰直角三角形，且

6、 ACB=90， 侧面 PAB底面 ABC， AB=PA=PB=4； x是等边 PAB边 AB 上的高， x=4sin60 =2 3 ， y是边 AB的一半， y=12AB=2， z是等腰直角 ABC斜边 AB 上的中线， z=12AB=2； x， y， z分别是 2 3 ， 2， 2. 答案： C. 8. 经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格 (自变量 )，而用横轴来表示产品数量 (因变量 ).某类产品的市场供求关系在不受外界因素 (如政府限制最高价格等 )的影响下，市场会自发调解供求关系：当产品价格 P1低于均衡价格 P0时，需求量大于供应量，价格会上升为 P2；当产品价格 P

7、2高于均衡价格 P0时，供应量大于需求量，价格又会下降，价格如此波动下去，产品价格将会逐渐靠进均衡价格 P0.能正确表示上述供求关系的图形是 ( ) A. B. C. D. 解析：当产品价格 P1低于均衡价格 P0时，需求量大于供应量， 排除 B、 C； 且价格较低时，供应增长较快，价格较高时，供应增长慢， 故排除 A. 答案： D. 二、填空题共 6小题，每小题 5分，共 30分 . 9. 已知双曲线 22xyab 1(a 0， b 0)的一条渐近线为 y 3 x，那么双曲线的离心率为_. 解析：双曲线 x2 a2 -y2 b2 =1(a 0， b 0)的一条渐近线方程为 y=b a x，

8、由题意可得 ba= 3 ， 即为 b= 3 a， c= 22ab =2a， 可得 e=ca=2. 答案： 2. 10. 如图， BC为 O的直径，且 BC=6，延长 CB与 O在点 D处的切线交于点 A，若 AD=4，则 AB=_. 解析：设 AB=x，则 AC=AB+BC=x+6， 根据切割线定理， AD2=AB AC， 16=x(x+6)， 即 x2+6x-16=0， 解得 x=2，或 x=-8(舍去 ). 答案： 2. 11. 在 ABC中角 A， B， C的对边分别是 a， b， c，若 3bsinA=ccosA+acosC，则 sinA=_. 解析：在 ABC中， 3bsinA=cc

9、osA+acosC， 由正弦定理可得： 3sinBsinA=sinCcosA+sinAcosC， 3sinBsinA=sin(A+C)=sinB， sinB 0， sinA=13. 答案： 13. 12. 在梯形 ABCD中， AB CD， AB=2CD， E为 BC 中点，若 AE xAB +yAD ，则 x+y=_. 解析：由题意作图如右图， AB CD， AB=2CD， DC =12AB， E为 BC中点， AE =12(AC +AB )=12(AD +DC +AB ) =12(AD +12AB+AB )=12AD+34AB， 又 AE xAB +yAD ， x=12， y=34， 故

10、x+y=54. 答案： 54. 13. 已知 x， y满足 0 .xyxx y k(k为常数 )，若 z=x+2y 最大值为 8，则 k=_. 解析：画出满足条件的平面区域，如图示： 由 yxx y k，解得 A(2k，2k)， 将 z=x+2y转化为： y=-12x+2z， 显然直线过 A(2k，2k)时， z最大， z的最大值是：2k+k=8，解得： k=163. 答案： 163. 14. 已知函数 f(x) 1 1 ()()1xxxx . 若 f(x) f(x+1)，则 x的取值范围是 _. 解析：先画出 f(x)的图象，如实线部分， 再把函数 f(x)的图象向左平移一个单位得到 f(x

11、+1)的图象，如虚线部分， 若 f(x) f(x+1)，由图象可知 0 x 1， 故 x的取值范围为 (0， 1. 答案： (0， 1. 三、解答题共 6小题，共 80分 .解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 . 15. 已知函数 f(x) cosx(cosx+ 3 sinx). ( )求 f(x)的最小正周期； ( )当 x 0，2时，求函数 f(x)的单调递减区间 . 解析： ( )有条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得结论 . ( )令 2k +2 2x+6 2k +32， k Z，求得 x的范围，可得函数的单调减区间，再结合 x 0，2，得出结论 .

12、答案： ( ) f(x) 3 sinxcosx+cos2xf(x) 32sin2x+12 2cos xf(x) ( 32sin2x+1 2 2cos x )， f(x) sin(2x+6)+12，故 T 2| 22，即 f(x)的最小正周期为 . ( )令 2k +2 2x+6 2k +32， k Z，求得 k +6 x k +23， 即 f(x)的递减区间为： k +6， k +23， k Z. 再结合 x 0，2，由 0，2 k +6， k +23=6， +2， k Z， 所以 f(x)的递减区间为 6，2. 16. 从某病毒爆发的疫区返回本市若干人，为了迅速甄别是否有人感染病毒，对这些人

13、抽血，并将血样分成 4组，每组血样混合在一起进行化验 . ( )若这些人中有 1人感染了病毒 . 求恰好化验 2次时，能够查出含有病毒血样组的概率； 设确定出含有病毒血样组的化验次数为 X，求 E(X). ( )如果这些人中有 2 人携带病毒，设确定出全部含有病毒血样组的次数 Y 的均值 E(Y)，请指出 ( )中 E(X)与 E(Y)的大小关系 .(只写结论，不需说明理由 ) 解析： ( )由已知能求出恰好化验 2次时，就能够查出含有病毒血样的组的概率 . 确定出含有病毒血样组的次数为 X，则 X的可能取值为 1， 2， 3，分别求出相应的概率，由此能求出 X的分布列和 E(X). ( )由

14、题意得 E(X) E(Y). 答案： ( )恰好化验 2次时，就能够查出含有病毒血样的组为事件 A， 由题意得 P(A)=34 41=3 1. 恰好化验 2次时，就能够查出含有病毒血样的组的概率为 14. 确定出含有病毒血样组的次数为 X，则 X的可能取值为 1， 2， 3， P(X=1)=14， P(X=2)=34 41=3 1， P(X=3)= 3 1 1 3 2 11=4 3 2 4 1232 . 则 X的分布列为： 所以： E(X)=1 14+2 14+3 12 94. ( )E(X) E(Y). 17. 如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD为菱形，且 BAD=60，对角

15、线 AC 与 BD 相交于 O； OF平面 ABCD， BC=CE=DE=2EF=2. ( )求证： EF BC； ( )求直线 DE与平面 BCFE所成角的正弦值 . 解析： ( )证明 AD BC，即可证明 BC面 ADEF，然后证明 EF BC. ( )以 O 为坐标原点， OA， OB， OF 分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，取 CD的中点 M，连 OM， EM.易证 EM平面 ABCD.求出设面 BCFE 的法向量，设 DF 与0n所成角为，直线 DE 与面 BCEF 所成角为 .通过 sin =|cos |，求解直线 EF 与平面 BCEF 所成角的正弦值即

16、可 . 答案： ( )因为四边形 ABCD为菱形 所以 AD BC，且 BC 面 ADEF， AD 面 ADEF 所以 BC面 ADEF且面 ADEF面 BCEF=EF 所以 EF BC. ( )因为 FO面 ABCD 所以 FO AO， FO OB 又因为 OB AO 以 O为坐标原点， OA， OB， OF分别为 x轴， y轴， z轴，建立空间直角坐标系， 取 CD的中点 M，连 OM， EM.易证 EM平面 ABCD. 又因为 BC=CE=DE=2EF=2，得出以下各点坐标： B(0， 1， 0)， C(- 3 ， 0， 0)， D(0， -1， 0)，F(0， 0， 3 )， E(-

17、32， -12， 3 ) 向量 DE (- 32， 12， 3 )，向量 BC (- 3 ， -1， 0)，向量 BF (0， -1， 3 ) 设面 BCFE的法向量为：0n (x0， y0， z0)， 0000BCBFnn，得到 00003030xyyz令 y0 3 时0n (-1， 3 ， 1) 设 DF 与0n所成角为，直线 DE 与面 BCEF 所成角为 .sin =|cos |=00 |n DDEnE 2 2222231 1 3 3 1 ?22 15531 3 1 ?|123?2 直线 EF 与平面 BCEF所成角的正弦值为 155. 18. 已知函数 f(x)=xlnx. ( )求

18、曲线 y=f(x)在点 (1， f(1)处的切线方程； ( )求证： f(x) x-1； ( )若 f(x) ax2+2a(a 0)在区间 (0， + )上恒成立，求 a的最小值 . 解析： ( )设切线的斜率为 k，利用导数求解切线斜率，然后求解切线方程 . ( )要证： f(x) x-1，需证明： g(x)=xlnx-x+1 0 在 (0， + )恒成立，利用函数的导数，通过函数的单调性以及函数的最值，证明即可 . ( )要使： xlnx ax2+2a在区间在 (0， + )恒成立，等价于： h(x) lnx-ax-2ax 0 在 (0，+ )恒成立，利用函数的导数，通过当 a 0 时，利

19、用 h(1) 0，说明 a 0 不满足题意 .当 a 0时，利用导数以及单调性函数的最小值，求解即可 . 答案： ( )设切线的斜率为 k， f (x)=lnx+1， k=f (1)=ln1+1=1 因为 f(1)=1 ln1=0，切点为 (1， 0). 切线方程为 y-0=1 (x-1)，化简得： y=x-1. ( )要证： f(x) x-1 只需证明： g(x)=xlnx-x+1 0在 (0， + )恒成立， g (x)=lnx+1-1=lnx 当 x (0， 1)时 f (x) 0， f(x)在 (0， 1)上单调递减； 当 x (1， + )时 f (x) 0， f(x)在 (1， +

20、 )上单调递增； 当 x=1时 g(x)min=g(1)=1 ln1-1+1=0g(x)=xlnx-x+1 0在 (0， + )恒成立 所以 f(x) x-1. ( )要使： xlnx ax2+2a在区间在 (0， + )恒成立， 等价于： lnx ax+2ax在 (0， + )恒成立， 等价于： h(x) lnx-ax-2ax 0在 (0， + )恒成立 因为 h (x) 1x-a+22ax = 2222a x axax =2212a x xaaax 当 a 0时， h(1) ln1-a-2a 0， a 0不满足题意 当 a 0时，令 h (x)=0，则 x 1a或 x 2a(舍 ). 所以

21、 x (0， 1a)时 h (x) 0， h(x)在 (0， 1a)上单调递减； x ( 1a， + )时， h (x) 0， h(x)在 ( 1a， + )上单调递增； 当 x 1a时 h(x)min h( 1a) ln( 1a)+1+2 当 ln( 1a)+3 0时，满足题意 所以 -e3 a 0，得到 a的最小值为 -e3 19. 已知椭圆 G： 22xyab 1(a b 0)的离心率为 32，短半轴长为 1. ( )求椭圆 G的方程； ( )设椭圆 G的短轴端点分别为 A， B，点 P是椭圆 G上异于点 A， B的一动点，直线 PA， PB分别与直线 x=4于 M， N两点，以线段 M

22、N为直径作圆 C. 当点 P在 y轴左侧时，求圆 C半径的最小值； 问：是否存在一个圆心在 x 轴上的定圆与圆 C相切？若存在，指出该定圆的圆心和半径，并证明你的结论；若不存在，说明理由 . 解析： ( )由椭圆的离心率为 32，短半轴长为 1，列出方程组，求出 a， b，由此能求出椭圆的方程 . ( )设 P(x0， y0)， A(0， 1)， B(0， -1)，直线 PA 的方程为： y-1001y xx ，从而 yM 004 1 1yx ，同理 yN 004 1 1yx ，进而 |MN| |2-08x |，由此能求出圆 C 半径的最小值 . 当 P在左端点时，圆 C的方程为： (x-4)

23、2+y2=9；当 P在右端点时，设 P(2， 0)， A(0， 1)，B(0， -1)， yM=-1，同理得到 yN=1，圆 C 的方程为： (x-4)2+y2=1，由此能求出存在一个圆心在 x轴上的定圆与圆 C 相切，该定圆的圆心为 (2， 0)和半径 R=1. 答案： ( )因为 22xyab 1(a b 0)的离心率为 32，短半轴长为 1. 所以2 2 221 3bcaa b c ，得到 132abc， 所以椭圆的方程为 2 24x y 1. ( )设 P(x0， y0)， A(0， 1)， B(0， -1) 所以直线 PA 的方程为： y-1001y xx 令 x=4，得到 yM 0

24、04 1 1yx ， 同理得到 yN 004 1 1yx ，得到 |MN| |2-08x | 所以，圆 C半径 r |1-04x |(-2 x0 0) 当 x0=-2时，圆 C半径的最小值为 3. 当 P在左端点时，圆 C的方程为： (x-4)2+y2=9 当 P在右端点时，设 P(2， 0)， A(0， 1)， B(0， -1) 所以直线 PA 的方程为： y-1 12x令 x=4，得到 yM=-1同理得到 yN=1， 圆 C的方程为： (x-4)2+y2=1， 由意知与定圆 (x-2)2+y2=1相切，半径 R=1 由前一问知圆 C的半径 r |1-04x |000041 2 0 4 02

25、xxxx -1， ， 因为 yM 004 1 1yx ， yN 004 1 1yx ，圆 C的圆心坐标为 (4， 004 yx ) 圆心距 d 202 02 0020 0 0002 0 1 6 1 44 442444 ?02x xxyx x x xx ， ， 当 -2 x0 0时， d r-R (1-04x )-1 -04x ，此时定圆与圆 C内切； 当 0 x0 2时， d r+R (04x -1)+104x ，此时定圆与圆 C外切； 存在一个圆心在 x轴上的定圆与圆 C相切，该定圆的圆心为 (2， 0)和半径 R=1. 20. 已知数列 an是无穷数列， a1=a， a2=b(a， b是正

26、整数 )， 11111(1)1()nnnnnnnnnaaaaaaaaa ， . ( )若 a1=2， a2=1，写出 a4， a5的值； ( )已知数列 an中 ak 1(k N*)，求证：数列 an中有无穷项为 1； ( )已知数列 an中任何一项都不等于 1，记 bn=maxa2n-1， a2n(n=1， 2， 3，； maxm， n为 m， n较大者 ).求证：数列 bn是单调递减数列 . 解析： ( )利用递推关系即可得出 . ( )ak 1(k N*)，假设 ak+1=m，对 m分类讨论，利用已知递推关系即可证明 . ( )由条件可知 an 1(n=1， 2， 3， ).由于 an中

27、任何一项不等于 1，可得 an an+1(n=1， 2，3， ).分类讨论：若 a2n-1 a2n，则 bn=a2n-1.若 a2n-1 a2n，则 bn=a2n.再利用递推关系即可证明 . 答案： ( ) a1=2， a2=1， a2 a1 =1 2 1， a3=a1 a2 =2. 同理可得： a4=a3 a2 =2， a5=a3 a4 =1. ( )ak 1(k N*)，假设 ak+1=m， 当 m=1时，依题意有 ak+2=ak+3= =1， 当 m 1时，依题意有 ak+2=m， ak+3=1， 当 m 1时，依题意有 ak+2 1m， ak+321m ， ak+4 1m ， ak+5

28、 1m ， ak+6=1. 由以上过程可知：若 ak 1(k N*)，在无穷数列 an中，第 k项后总存在数值为 1 的项，以此类推，数列 an中有无穷项为 1. ( )证明：由条件可知 an 1(n=1， 2， 3， )， an中任何一项不等于 1， an an+1(n=1， 2， 3， ). 若 a2n-1 a2n，则 bn=a2n-1. a2n+1212nnaa ， a2n-1 a2n+1. 若212 2nnaa 1，则 a2n+2 212 2nnaa a2n-1，于是 a2n-1 a2n+2； 若212 2nnaa 1，则 a2n+2 2212nnnaaa2212nnaa 221nnaa a2n a2n a2n-1，于是 a2n-1 a2n+2； 若212 2nnaa 1，则 a2n+2=1，于题意不符； a2n-1 maxa2n+1， a2n+2，即 bn bn+1. 若 a2n-1 a2n，则 bn=a2n. a2n+1221nnaa， a2n a2n+1； a2n+2221nnaa， a2n a2n+2； a2n maxa2n+1， a2n+2，即 bn bn+1. 综上所述，对于一切正整数 n，总有 bn bn+1，所以数列 bn是单调递减数列 .