2017年湖南省长沙市中考真题数学.docx

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1、2017年湖南省长沙市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 12小题，每小题 3分，共 36 分 ) 1.下列实数中，为有理数的是 ( ) A. 3 B. C.32 D.1 解析：根据有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，可得答案 . 答案： D. 2.下列计算正确的是 ( ) A. 2 3 5 B.a+2a=2a2 C.x(1+y)=x+xy D.(mn2)3=mn6 解析：分别利用合并同类项法则以及单项式乘以多项式和积的乘方运算法则化简判断即可 . 答案： C. 3.据国家旅游局统计， 2017年端午小长假全国各大景点共接待游客约为 82600000人次，数据 82600

2、000用科学记数法表示为 ( ) A.0.826 106 B.8.26 107 C.82.6 106 D.8.26 108 解析：将 82600000用科学记数法表示为： 8.26 107. 答案： B. 4.在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ( ) A.直角三角形 B.正五边形 C.正方形 D.平行四边形 解析： A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误 . 答案： C. 5.一个三角形的三个内角的度数之

3、比为 1： 2： 3，则这个三角形一定是 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 解析：设三角形的三个内角的度数之比为 x、 2x、 3x， 则 x+2x+3x=180， 解得， x=30， 则 3x=90， 这个三角形一定是直角三角形 . 答案： B. 6.下列说法正确的是 ( ) A.检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查 B.可能性是 1%的事件在一次试验中一定不会发生 C.数据 3， 5， 4， 1， -2的中位数是 4 D.“ 367中有 2人同月同日初生”为必然事件 解析：根据可能性的大小、全面调查与抽样调查的定义及中位数概念、必然事件、不可能

4、事件、随机事件的概念进行判断即可 . 答案： D. 7.某几何体的三视图如图所示，因此几何体是 ( ) A.长方形 B.圆柱 C.球 D.正三棱柱 解析：从正面看，是一个矩形；从左面看，是一个矩形；从上面看，是圆，这样的几何体是圆柱 . 答案： B. 8.抛物线 y=2(x-3)2+4 顶点坐标是 ( ) A.(3， 4) B.(-3， 4) C.(3， -4) D.(2， 4) 解析： y=2(x-3)2+4是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为 (3， 4). 答案： A. 9.如图，已知直线 a b，直线 c分别与 a， b相交， 1=110，则 2的度数为 ( ) A

5、.60 B.70 C.80 D.110 解析：直线 a b， 3= 1=110， 2=180 -110 =70 . 答案： B. 10.如图，菱形 ABCD的对角线 AC， BD 的长分别为 6cm， 8cm，则这个菱形的周长为 ( ) A.5cm B.10cm C.14cm D.20cm 解析：根据菱形的对角线互相垂直平分可得 AC BD， OA=12AC， OB=12BD，再利用勾股定理列式求出 AB，然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解 . 答案： D. 11.中国古代数学著作算法统宗中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关 .”其大意是，

6、有人要去某关口，路程为 378 里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为 ( ) A.24里 B.12里 C.6里 D.3里 解析：设第一天走了 x 里，则第二天走了 12x里，第三天走了 12 12x第六天走了 (12)5x里，根据 路程为 378里列出方程并解答 . 答案： C. 12.如图，将正方形 ABCD 折叠，使顶点 A 与 CD 边上的一点 H 重合 (H 不与端点 C， D 重合 )，折痕交 AD于点 E，交 BC于点 F，边 AB折叠后与边 BC交于点 G.设正方形 ABCD 的周长为 m， CH

7、G的周长为 n，则 nm的值为 ( ) A. 22B.12C. 512D.随 H点位置的变化而变化 解析：设 CH=x， DE=y，则 DH=4m-x， EH=4m-y，然后利用正方形的性质和折叠可以证明DEH CHG，利用相似三角形的对应边成比例可以把 CG， HG 分别用 x， y分别表示， CHG的周长也用 x， y表示，然后在 Rt DEH中根据勾股定理可以得到2mx-x2=2my，进而求出CHG的周长 . 答案： B. 二、填空题 (本大题共 6小题，每小题 3分，共 18分 ) 13.分解因式： 2a2+4a+2=_. 解析：原式提取 2，再利用完全平方公式分解即可 . 答案： 2

8、(a+1)2. 14.方程组 133xyxy的解是 _. 解析：根据加减消元法，可得答案 . 答案： 10xy. 15.如图， AB 为 O的直径，弦 CD AB 于点 E，已知 CD=6， EB=1，则 O的半径为 _. 解析：连接 OC，由垂径定理知，点 E 是 CD 的中点， AE=12CD，在直角 OCE 中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可 . 答案： 5. 16.如图， ABO三个顶点的坐标分别为 A(2， 4)， B(6， 0)， O(0， 0)，以原点 O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的 12，可以得到 A B O，已知点 B的坐标是 (3， 0)，则点

9、A的坐标是 _. 解析：根据位似变换的性质进行计算即可 . 答案： (1， 2). 17.甲、乙两名同学进行跳高测试，每人 10次跳高的平均成绩恰好是 1.6米，方差分别是 S甲2=1.2， S乙2=0.5，则在本次测试中， _同学的成绩更稳定 (填“甲”或“乙” ) 解析：根据方差的意义可作出判断 .方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定 . 答案：乙 . 18.如图，点 M是函数 y= 3 x与 y=kx的图象在第一象限内的交点， OM=4，则 k 的值为 _. 解析：作 MN x 轴于 N，得出 M(x， 3

10、x)，在 Rt OMN 中，由勾股定理得出方程，解方程求出 x=2，得出 M(2， 2 3 )，即可求出 k的值 . 答案： 4 3 . 三、解答题 (本大题共 8小题，共 66分 ) 19.计算： |-3|+( -2017)0-2sin30 +(13)-1. 解析：原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果 . 答案：原式 =3+1-1+3=6. 20.解不等式组 295 1 3 1xx ，并把它的解集在数轴上表示出来 . 解析：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集 . 答

11、案：解不等式 2x -9-x，得： x -3， 解不等式 5x-1 3(x+1)，得： x 2， 则不等式组的解集为 x 2， 将解集表示在数轴上如下： 21.为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级 100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表 . 请根据所给信息，解答以下问题： (1)表中 a=_， b=_； (2)请计算扇形统计图中 B组对应扇形的圆心角的度数； (3)已知有四名同学均取得 98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用

12、列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率 . 解析： (1)首先根据 A组频数及其频率可得总人数，再利用频数、频率之间的关系求得 a、 b； (2)B组的频率乘以 360即可求得答案； (3)列树形图后即可将所有情况全部列举出来，从而求得恰好抽中者两人的概率 . 答案： (1)本次调查的总人数为 17 0.17=100(人 )， 则 a=30100=0.3， b=100 0.45=45(人 )； (2)360 0.3=108， 答：扇形统计图中 B组对应扇形的圆心角为 108； (3)将同一班级的甲、乙学生记为 A、 B，另外两学生记为 C、 D， 列树形图得： 共有 12种等可能的情

13、况，甲、乙两名同学都被选中的情况有 2种， 甲、乙两名同学都被选中的概率为 2112 6. 22.为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时 50海里的速度向正东方航行，在 A处测得灯塔 P 在北偏东 60方向上，继续航行 1小时到达 B处，此时测得灯塔 P在北偏东 30方向上 . (1)求 APB的度数； (2)已知在灯塔 P的周围 25 海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？ 解析： (1)在 ABP中，求出 PAB、 PBA的度数即可解决问题； (2)作 PH AB于 H.求出 PH 的值即可判定 . 答案： (

14、1) PAB=30， ABP=120， APB=180 - PAB- ABP=30 . (2)作 PH AB于 H. BAP= BPA=30， BA=BP=50， 在 Rt PBH中， PH=PB sin60 =50 32=25 3 ， 25 3 25， 海监船继续向正东方向航行是安全的 . 23.如图， AB 与 O相切于点 C， OA， OB分别交 O于点 D， E， CD CE . (1)求证： OA=OB； (2)已知 AB=4 3 ， OA=4，求阴影部分的面积 . 解析： (1)连接 OC，由切线的性质可知 ACO=90，由于 CD CE ，所以 AOC= BOC，从而可证明 A=

15、 B，从而可知 OA=OB； (2)由 (1)可知： AOB 是等腰三角形，所以 AC=2 3 ，从可求出扇形 OCE 的面积以及 OCB的面积 . 答案： (1)连接 OC， AB与 O相切于点 C ACO=90， 由于 CD CE ， AOC= BOC， A= B OA=OB， (2)由 (1)可知： OAB 是等腰三角形， BC=12AB=2 3 ， sin COB= 32BCOB， COB=60， B=30， OC=12OB=2， 扇形 OCE的面积为： 6 0 4 23 6 0 3 ， OCB的面积为： 1 2 3 2 2 32 S 阴影 = 2233. 24.自从湖南与欧洲的“湘欧

16、快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用 16000 元采购 A型商品的件数是用 7500 元采购 B型商品的件数的 2 倍，一件 A型商品的进价比一件 B型商品的进价多 10 元 . (1)求一件 A， B型商品的进价分别为多少元？ (2)若该欧洲客商购进 A， B型商品共 250件进行试销，其中 A型商品的件数不大于 B型的件数，且不小于 80件 .已知 A型商品的售价为 240元 /件， B型商品的售价为 220元 /件，且全部售出 .设购进 A型商品 m件，求该客商销售这批商品的利润 v与 m之间的函数关系式，并写出 m的取值范围；

17、 (3)在 (2)的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件 A型商品，就从一件 A型商品的利润中捐献慈善资金 a 元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益 . 解析： (1)设一件 B 型商品的进价为 x 元，则一件 A 型商品的进价为 (x+10)元 .根据 16000元采购 A型商品的件数是用 7500元采购 B型商品的件数的 2倍，列出方程即可解决问题； (2)根据总利润 =两种商品的利润之和，列出式子即可解决问题； (3)设利润为 w元 .则 w=(80-a)m+70(250-m)=(10-a)m+17500，分三种情形讨论即可解决问题 . 答案： (1)设一件 B型

18、商品的进价为 x元，则一件 A型商品的进价为 (x+10)元 . 由题意： 1 6 0 0 0 7 5 0 0 210xx， 解得 x=150， 经检验 x=150是分式方程的解， 答：一件 B型商品的进价为 150元，则一件 A型商品的进价为 160元 . (2)因为客商购进 A型商品 m件，所以客商购进 B型商品 (250-m)件 . 由题意： v=80m+70(250-a)=10m+17500， 80 m 250-m， 80 m 125， (3)设利润为 w元 .则 w=(80-a)m+70(250-m)=(10-a)m+17500， 当 10-a 0时， w随 m的增大而增大，所以 m

19、=125 时，最大利润为 (18750-125a)元 . 当 10-a=0时，最大利润为 17500元 . 当 10-a 0时， w随 m的增大而减小，所以 m=80时，最大利润为 (18300-80a)元 . 25.若三个非零实数 x， y， z 满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数 x， y， z 构成“和谐三组数” . (1)实数 1， 2， 3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由； (2)若 M(t， y1)， N(t+1， y2)， R(t+3， y3)三点均在函数 kx(k为常数， k 0)的图象上，且这三点的纵坐标 y1， y2， y3构成“和谐三组

20、数”，求实数 t的值； (3)若直线 y=2bx+2c(bc 0)与 x轴交于点 A(x1， 0)，与抛物线 y=ax2+3bx+3c(a 0)交于 B(x2，y2)， C(x3， y3)两点 . 求证： A， B， C三点的横坐标 x1， x2， x3构成“和谐三组数”； 若 a 2b 3c， x2=1，求点 P(ca， ba)与原点 O 的距离 OP 的取值范围 . 解析： (1)由和谐三组数的定义进行验证即可； (2)把 M、 N、 R三点的坐标分别代入反比例函数解析式，可用 t和 k分别表示出 y1、 y2、 y3，再由和谐三组数的定义可得到关于 t的方程，可求得 t的值； (3)由直

21、线解析式可求得 x1=-cb，联立直线和抛物线解析式消去 y，利用一元二次方程根与系数的关系可求得 x2+x3=-ba， x2x3=ca，再利用和谐三数组的定义证明即可；由条件可得到 a+b+c=0，可得 c=-(a+b)，由 a 2b 3c 可求得 ba的取值范围，令 m=ba，利用两点间距离公式可得到 OP2关于 m 的二次函数，利用二次函数的性质可求得 OP2的取值范围，从而可求得 OP的取值范围 . 答案： (1)不能，理由如下： 1、 2、 3的倒数分别为 1、 12、 13， 12+13 1， 1+12 13， 1+13 12实数 1， 2， 3不可以构成“和谐三组数”； (2)

22、M(t， y1)， N(t+1， y2)， R(t+3， y3)三点均在函数 kx(k为常数， k 0)的图象上， y1、 y2、 y3均不为 0，且 y1=kt， y2=1kt， y3=3kt， 11 tyk ，211tyk ，313tyk ， y1， y2， y3构成“和谐三组数”， 有以下三种情况： 当1 2 31 1 1y y y时，则 13t t tk k k，即 t=t+1+t+3，解得 t=-4； 当3211 1 1y y y时，则 13t t tk k k ，即 t+1=t+t+3，解得 t=-2； 当3 1 21 1 1y y y时，则 31t t tk k k ，即 t+3

23、=t+t+1，解得 t=2； t的值为 -4、 -2或 2； (3) a、 b、 c均不为 0， x1， x2， x3都不为 0， 直线 y=2bx+2c(bc 0)与 x轴交于点 A(x1， 0)， 0=2bx1+2c，解得 x1=-cb， 联立直线与抛物线解析式，消去 y可得 2bx+2c=ax2+3bx+3c，即 ax2+bx+c=0， 直线与抛物线交与 B(x2， y2)， C(x3， y3)两点， x2、 x3是方程 ax2+bx+c=0 的两根， x2+x3=-ba， x2x3=ca， 232 3 2 3 11 1 1bxx bacx x x x c xa ， x1， x2， x3

24、构成“和谐三组数”； x2=1， a+b+c=0， c=-a-b， a 2b 3c， a 2b 3(-a-b)，且 a 0，整理可得 253abba ，解得 5132ba ， P(ca， ba) OP2=(ca)2+(ba)2=( aba)2+(ba)2=2(ba)2+2ba+1=2(ba+12)2+12， 令 m=ba，则 -53 m 12且 m 0，且 OP2=2(m+12)2+12， 2 0， 当 -53 m -12时， OP2随 m 的增大而减小，当 m=-53时， OP2有最大值 2650，当 m=-12时，OP2有最小值 12， 当 -12 m 12时， OP2随 m 的增大而增大

25、，当 m=-12时， OP2有最小值 12，当 m=12时， OP2有最大值 52， 12 OP2 52且 OP2 1， P到原点的距离为非负数， 22 OP 102且 OP 1. 26.如图，抛物线 y=mx2-16mx+48m(m 0)与 x轴交于 A， B两点 (点 B在点 A左侧 )，与 y轴交于点 C，点 D 是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接 OD、 BD、 AC、 AD，延长 AD交y轴于点 E. (1)若 OAC为等腰直角三角形，求 m的值； (2)若对任意 m 0， C、 E两点总关于原点对称，求点 D的坐标 (用含 m的式子表示 )； (3)当点 D 运动到某一位置

26、时，恰好使得 ODB= OAD，且点 D为线段 AE的中点，此时对于该抛物线上任意一点 P(x0， y0)总有 n+16 -4 3 my02-12 3 y0-50成立，求实数 n的最小值 . 解析： (1)根据 y=mx2-16mx+48m，可得 A(12， 0)， C(0， 48m)，再根据 OA=OC，即可得到 12=48m，进而得出 m的值； (2)根据 C、 E 两点总关于原点对称，得到 E(0， -48m)，根据 E(0， -48m)， A(12， 0)可得直线 AE的解析式，最后解方程组即可得到直线 AE 与抛物线的交点 D的坐标； (3)根据 ODB OAD，可得 OD=4 3

27、，进而得到 D(6， -2 3 )，代入抛物线 y=mx2-16mx+48m，可得抛物线解析式，再根据点 P(x0， y0)为抛物线上任意一点，即可得出 y0 -833，令t=-2(y0+3 3 )2+4，可得 t 最大值 =-2(-833+3 3 )2+4=103，再根据 n+16 103，可得实数n的最小值为 196. 答案： (1)令 y=mx2-16mx+48m=m(x-4)(x-12)=0，则 x1=12， x2=4， A(12， 0)，即 OA=12， 又 C(0， 48m)， 当 OAC为等腰直角三角形时， OA=OC， 即 12=48m， m=14； (2)由 (1)可知点 C

28、(0， 48m)， 对任意 m 0， C、 E 两点总关于原点对称， 必有 E(0， -48m)， 设直线 AE的解析式为 y=kx+b， 将 E(0， -48m)， A(12， 0)代入，可得 12 048kbbm，解得 448kmbm， 直线 AE的解析式为 y=4mx-48m， 点 D为直线 AE 与抛物线的交点， 解方程组 4 1 24 4 8y m x xy m x m ，可得 816xym或 120xy(点 A舍去 )， 即点 D的坐标为 (8， -16m)； (3)当 ODB= OAD， DOB= AOD时， ODB OAD， OD2=OA OB=4 12=48， OD=4 3

29、， 又点 D为线段 AE的中点， AE=2OD=8 3 ， 又 OA=12， OE= 22AE AO =4 3 ， D(6， -2 3 )， 把 D(6， -2 3 )代入抛物线 y=mx2-16mx+48m，可得 -2 3 =36m-96m+48m， 解得 m= 36， 抛物线的解析式为 y= 36(x-4)(x-12)， 即 y= 36(x-8)2-833， 点 P(x0， y0)为抛物线上任意一点， y0 -833， 令 t=-4 3 my02-12 3 y0-50=-2y02-12 3 y0-50=-2(y0+3 3 )2+4， 则当 y0 -833时， t 最大值 =-2(-833+3 3 )2+4=103， 若要使 n+16 -4 3 my02-12 3 y0-50 成立，则 n+16 103， n 316， 实数 n的最小值为 196.