2017年上海市长宁区高考一模数学.docx

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1、2017年上海市长宁区高考一模数学 一、填空题 (共 12小题， 1-6每题 4分， 7-12每题 5分，共 54分 ) 1.设集合 A=x|x-2| 1， x R，集合 B=Z，则 A B=_. 解析： |x-2| 1，即 -1 x-2 1，解得 1 x 3，即 A=(1， 3)， 集合 B=Z， 则 A B=2. 答案： 2 2.函数 s in ( )3yx( 0)的最小正周期是，则 =_. 解析： s in ( )3yx( 0)， |2T ， =2. 答案： 2 3.设 i为虚数单位，在复平面上，复数 232 i对应的点到原点的距离为 _. 解析： 复数 23 3 43 3 9 1 23

2、 4 3 4 3 4 2 52i ii i ii 对应的点 9125()225，到原点的距离= 229 1 2 32 5 2 5 5 . 答案： 354.若函数 f(x)=log2(x+1)+a 的反函数的图象经过点 (4， 1)，则实数 a=_. 解析： 函数 f(x)=log2(x+1)+a的反函数的图象经过点 (4， 1)， 即函数 f(x)=log2(x+1)+a的图象经过点 (1， 4)， 4=log2(1+1)+a 4=1+a， a=3. 答案： 3 5.已知 (a+3b)n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 64，则 n=_. 解析： 令二项式中的 a=b=1 得到

3、展开式中的各项系数的和 4n 又各项二项式系数的和为 2n 据题意得 4 642nn，解得 n=6. 答案： 6 6.甲、乙两人从 5门不同的选修课中各选修 2门，则甲、乙所选的课程中恰有 1门相同的选法有 _种 . 解析： 根据题意，采用间接法： 由题意可得，所有两人各选修 2门的种数 2255100CC， 两人所选两门都相同的有为 25 10C 种，都不同的种数为 225330CC， 故只恰好有 1门相同的选法有 100-10-30=60种 . 答案： 60 7.若圆锥的侧面展开图是半径为 2cm，圆心角为 270的扇形，则这个圆锥的体积为 _cm3. 解析： 设此圆锥的底面半径为 r，由

4、题意，得： 3222r， 解得 32r. 故圆锥的高 97442h ， 圆锥的体积 231 3 738V r h c m. 答案： 378 . 8.若数列 an的所有项都是正数，且 212 3na a a n n (n N*)，则1221l i m 2 3 1nnaaann ()=_. 解析： 212 3na a a n n (n N*)， n=1时，1 4a ，解得 a1=16. n 2时，且 21 2 1 ( 1 ) 3 ( 1 )na a a n n ，可得： 22nan， an=4(n+1)2.4 ( 1)1na nn . 1222( 2 1 )41 2l i m ( ) l i m

5、22 3 1nnnnnaaan n n . 答案 ： 2. 9.如图，在 ABC中， B=45， D是 BC边上的一点， AD=5， AC=7， DC=3，则 AB的长为 _. 解析： 在 ADC中， AD=5， AC=7， DC=3， 由余弦定理得 2 2 2 1c o s22A D D C A CA D C A D D C ， ADC=120， ADB=60 在 ABD中， AD=5， B=45， ADB=60， 由正弦定理得s i n s i nA B A DA D B B ， 562AB答案： 56210.有以下命题： 若函数 f(x)既是奇函数又是偶函数，则 f(x)的值域为 0；

6、若函数 f(x)是偶函数，则 f(|x|)=f(x)； 若函数 f(x)在其定义域内不是单调函数，则 f(x)不存在反函数； 若函数 f(x)存在反函数 f-1(x)，且 f-1(x)与 f(x)不完全相同，则 f(x)与 f-1(x)图象的公共点必在直线 y=x上； 其中真命题的序号是 _.(写出所有真命题的序号 ) 解析： 若函数 f(x)既是奇函数又是偶函数，则 f(x)=0，为常数函数，所以 f(x)的值域是0， 所以正确 . 若函数为偶函数，则 f(-x)=f(x)，所以 f(|x|)=f(x)成立，所以正确 . 因为函数 1()fxx在定义域上不单调，但函数 f(x)存在反函数，所

7、以错误 . 原函数图象与其反函数图象的交点关于直线 y=x对称，但不一定在直线 y=x 上， 比如函数 1yx 与其反函数 y=x2-1(x 0)的交点坐标有 (-1， 0)， (0， 1)， 显然交点不在直线 y=x 上，所以错误 . 答案： . 11.设向量 OA=(1， -2)， OB =(a， -1)， OC =(-b， 0)，其中 O为坐标原点， a 0， b 0，若 A、 B、 C三点共线，则 12ab的最小值为 _. 解析： 向量 OA=(1， -2)， OB =(a， -1)， OC =(-b， 0)，其中 O为坐标原点， a 0， b 0， 1()1A B O B O A a

8、 ， 1()2A C O C O A b ， A、 B、 C三点共线， AB AC ， 1112ab， 解得 2a+b=1， 1 2 1 2 4 42 2 2 4 2 8b a b aaba b a b a b a b ，当且仅当 a=14， b=12，取等号， 故 12ab的最小值为 8. 答案： 8 12.如图，已知正三棱柱 ABC-A1B1C1的底面边长为 2cm，高为 5cm，一质点自 A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 A1点的最短路线的长为 _cm. 解析： 将正三棱柱 ABC-A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示， 在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连

9、线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值 . 由已知求得矩形的长等于 6 2=12，宽等于 5，由勾股定理 221 2 5 1 3d . 答案： 13 二、选择题 (共 4小题，每小题 5分，满分 20分 ) 13.“ x 2”是“ x2 4”的 ( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 解析： 由 x2 4，解得： -2 x 2， 故 x 2是 x2 4的必要不充分条件 . 答案： B. 14.若无穷等差数列 an的首项 a1 0，公差 d 0， an的前 n项和为 Sn，则以下结论中一定正确的是 ( ) A.Sn单调递增 B.Sn单调递减

10、 C.Sn有最小值 D.Sn有最大值 解析： 21112 2 2nnn ddS n a d n a n ， 2d 0， Sn有最小值 . 答案： C. 15.给出下列命题： (1)存在实数使 3s in c o s2 . (2)直线2x 是函数 y=sinx图象的一条对称轴 . (3)y=cos(cosx)(x R)的值域是 cos1， 1. (4)若，都是第一象限角，且，则 tan tan . 其中正确命题的题号为 ( ) A.(1)(2) B.(2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4) 解析： (1) 3s i n c o s 2 s (4 )in 2 ， (1)错误； (2) y=

11、sinx图象的对称轴方程为2 ()x k k Z ， k=-1，2x ， (2)正确； (3)根据余弦函数的性质可得 y=cos(cosx)的最大值为 ymax=cos0=1， ymin=cos(cos1)，其值域是 cos1， 1， (3)正确； (4)不妨令 94，3，满足，都是第一象限角，且，但 tan tan，(4)错误 . 答案： B. 16.如果对一切实数 x、 y，不等式2 9c o s s i n4y x a x y 恒成立，则实数 a 的取值范围是( ) A.(-， 43 B.3， + ) C. 2 2 2 2 ， D.-3， 3 解析： 实数 x、 y，不等式2 9c o

12、s s i n4y x a x y 恒成立 29 s i n 1 s i n4y a x xy 恒成立， 令 9()4yfy y， 则 asinx+1-sin2x f(y)min， 当 y 0时， 99( ) 2 344yyfyyy (当且仅当 y=6 时取“ =” )， f(y)min=3； 当 y 0时， 99( ) 2 ( ) ( ) 344yyfyyy (当且仅当 y=-6时取“ =” )， f(y)max=-3，f(y)min不存在； 综上所述， f(y)min=3. 所以， asinx+1-sin2x 3，即 asinx-sin2x 2恒成立 . 若 sinx 0， 2s ins

13、inax x恒成立，令 sinx=t，则 0 t 1，再令 2()g t tt(0 t 1)，则 a g(t)min. 由于22( ) 1 0gt t ， 所以， 2()g t tt在区间 (0， 1上单调递减， 因此， g(t)min=g(1)=3， 所以 a 3； 若 sinx 0，则 2s ins inax x恒成立，同理可得 a -3； 若 sinx=0， 0 2恒成立，故 a R； 综合， -3 a 3. 答案： D. 三、解答题 (共 5小题，满分 76分 ) 17.如图，已知 AB平面 BCD， BC CD， AD 与平面 BCD 所成的角为 30，且 AB=BC=2； (1)求

14、三棱锥 A-BCD的体积； (2)设 M为 BD的中点，求异面直线 AD 与 CM所成角的大小 (结果用反三角函数值表示 ). 解析： (1)由 AB平面 BCD，得 CD平面 ABC，由此能求出三棱锥 A-BCD的体积 . (2)以 C为原点， CD为 x轴， CB为 y轴，过 C作平面 BCD的垂线为 z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线 AD与 CM 所成角的大小 . 答案： (1)如图，因为 AB平面 BCD， 所以 AB CD，又 BC CD，所以 CD平面 ABC， 因为 AB平面 BCD， AD与平面 BCD所成的角为 30，故 ADB=30， 由 AB=BC=2，得 A

15、D=4， 22AC ， 1 6 4 2 3BD ， 2 22 3 2 2 2CD ， 则 1 1 1 4 22 2 2 23 6 6 3A B C D B C DV S A B B C C D A B . (2)以 C为原点， CD为 x轴， CB 为 y轴，过 C作平面 BCD的垂线为 z轴， 建立空间直角坐标系， 则 A(0， 2， 2)， D(22， 0， 0)， C(0， 0， 0)， B(0， 2， 0)， M( 2 ， 1， 0)， ( 2 2 2 2 )AD ， ， ( 2 1 0 )CM ， ， ， 设异面直线 AD与 CM所成角为， 则 23c o s643A D C MA

16、D C M . 3a rc c o s 6 . 异面直线 AD与 CM所成角的大小为 3arccos6. 18.在 ABC中， a， b， c分别是角 A， B， C的对边，且 28 s i n 2 c o s 2 72BC A . (I)求角 A的大小； (II)若 a= 3 ， b+c=3，求 b和 c的值 . 解析： (I)在 ABC中有 B+C= -A，由条件可得： 41-cos(B+C)-4cos2A+2=7，解方程求得cosA 的值，即可得到 A的值 . (II)由余弦定理 2 2 2 1c o s22b c aA bc 及 a= 3 ， b+c=3，解方程组求得 b 和 c的值

17、. 答案： (I)在 ABC中有 B+C= -A，由条件可得： 41-cos(B+C)-4cos2A+2=7， 又 cos(B+C)=-cosA， 4cos2A-4cosA+1=0. 解得 cosA 12，又 A (0， )，3A . (II)由 cosA 12知 2 2 2 122b c abc ，即 (b+c)2-a2 3bc. 又 a 3 ， b+c 3，代入得 bc 2. 由 312 2b c bb c c 或 21bc. 19.某地要建造一个边长为 2(单位： km)的正方形市民休闲公园 OABC，将其中的区域 ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点 D的坐标为 (1，

18、2)，曲线 OD 是函数 y=ax2图象的一部分，对边 OA上一点 M在区域 OABD内作一次函数 y=kx+b(k 0)的图象，与线段DB交于点 N(点 N不与点 D重合 )，且线段 MN 与曲线 OD 有且只有一个公共点 P，四边形 MABN为绿化风景区： (1)求证： 28kb； (2)设点 P的横坐标为 t，用 t表示 M、 N两点坐标；将四边形 MABN的面积 S表示成关于 t的函数 S=S(t)，并求 S的最大值 . 解析： (1)根据函数 y=ax2过点 D，求出解析式 y=2x2； 由22y kx byx 消去 y，利用 =0证明结论成立； (2)写出点 P的坐标 (t， 2t

19、2)，代入直线 MN的方程，用 t表示出直线方程， 利用直线方程求出 M、 N的坐标； 将四边形 MABN的面积 S表示成关于 t的函数 S(t)， 利用基本不等式即可求出 S的最大值 . 答案： (1)证明：函数 y=ax2过点 D(1， 2)， 代入计算得 a=2， y=2x2； 由22y kx byx ，消去 y得 2x2-kx-b=0， 由线段 MN与曲线 OD有且只有一个公共点 P， 得 =(-k)2-4 2 b=0， 解得 28kb； (2)解：设点 P的横坐标为 t，则 0 t 1， 点 P(t， 2t2)； 直线 MN的方程为 y=kx+b， 即 28ky kx过点 P， 2

20、228kkt t， 解得 k=4t； y=4tx-2t2 令 y=0，解得 x=2t， M(2t， 0)； 令 y=2，解得 122tx t， N( 122t t， 2)； 将四边形 MABN的面积 S表示成关于 t的函数为 1 1 12 2 2 ( ) 4 ( )22 2 2 2ttS S t ttt （ ） ，其中 0 t 1； 由 112222tttt ，当且仅当 12t t，即 22t时“ =”成立， 所以 4 2 2S ；即 S的最大值是 4 2 2 . 20.已知函数 ( ) 9 2 3 3xxf x a ： (1)若 a=1， x 0， 1时，求 f(x)的值域； (2)当 x

21、-1， 1时，求 f(x)的最小值 h(a)； (3)是否存在实数 m、 n，同时满足下列条件： n m 3；当 h(a)的定义域为 m， n时，其值域为 m2， n2，若存在，求出 m、 n的值，若不存在，请说明理由 . 解析： (1)设 t=3x，则 (t)=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2， (t)的对称轴为 t=a，当 a=1时，即可求出 f(x)的值域； (2)由函数 (t)的对称轴为 t=a，分类讨论当 a 13时，当 13 a 3时，当 a 3时，求出最小值，则 h(a)的表达式可求； (3)假设满足题意的 m， n存在，函数 h(a)在 (3， + )上是减函数，求出

22、h(a)的定义域，值域，然后列出不等式组，求解与已知矛盾，即可得到结论 . 答案： (1)函数 ( ) 9 2 3 3xxf x a ， 设 t=3x， t 1， 3， 则 (t)=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2，对称轴为 t=a. 当 a=1时， (t)=(t-1)2+2 在 1， 3递增， (t) (1)， (3)， 函数 f(x)的值域是： 2， 6； ( )函数 (t)的对称轴为 t=a， 当 x -1， 1时， t 13， 3， 当 a 13时，m i n 1 2 8 2()3 9 3ay h a （ ）； 当 13 a 3时， ymin=h(a)= (a)=3-a2； 当

23、 a 3时， ymin=h(a)= (3)=12-6a. 故22 8 2 19 3 31( ) 3 331 2 6 3aah a a aaa ， ， ； ( )假设满足题意的 m， n存在， n m 3， h(a)=12-6a， 函数 h(a)在 (3， + )上是减函数 . 又 h(a)的定义域为 m， n，值域为 m2， n2， 则 221 2 61 2 6mnnm， 两式相减得 6(n-m)=(n-m) (m+n)， 又 n m 3， m-n 0， m+n=6，与 n m 3矛盾 . 满足题意的 m， n不存在 . 21.已知无穷数列 an的各项都是正数，其前 n项和为 Sn，且满足：

24、a1=a， rSn=anan+1-1，其中a 1，常数 r N； (1)求证： an+2-an是一个定值； (2)若数列 an是一个周期数列 (存在正整数 T，使得对任意 n N*，都有 an+T=an成立，则称an为周期数列， T为它的一个周期，求该数列的最小周期； (3)若数列 an是各项均为有理数的等差数列， cn=2 3n-1(n N*)，问：数列 cn中的所有项是否都是数列 an中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例 . 解析： (1)由 rSn=anan+1-1，利用迭代法得： ran+1=an+1(an+2-an)，由此能够证明 an+2-an为定值 . (2)当 n=1时

25、， ra=aa2-1，故2 1 raa a，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项，再由 r 0和 r=0两种情况进行讨论，能够求出该数列的周期 . (3)因为数列 an是一个有理等差数列，所以 12a a r ra ，化简 2a2-ar-2=0，解得a是有理数，由此入手进行合理猜想，能够求出 Sn. 答案： (1)证明： rSn=anan+1-1， rSn+1=an+1an+2-1， -，得： ran+1=an+1(an+2-an)， an 0， an+2-an=r. (2)解：当 n=1时， ra=aa2-1，2 1 raa a， 根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项： a， r+1a，

26、 a+r， 2r+1a， a+2r， 3r+1a， . 当 r 0时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列， r=0时，数列写出数列的前几项： a， 1a， a， 1a， . 所以当 a 0且 a 1时，该数列的周期是 2， (3)解：因为数列 an是一个有理等差数列， a+a+r=2(r+1a)， 化简 2a2-ar-2=0， 2 164rra 是有理数 . 设 2 16r =k，是一个完全平方数， 则 r2+16=k2， r， k均是非负整数 r=0时， a=1， an=1， Sn=n. r 0时 (k-r)(k+r)=16=2 8=4 4可以分解成 8组， 其中只有 35rk，符合要求， 此时 a=2， 312n na ， 354nnnS ， 123nnc (n N*)， an=1 时，不符合，舍去 . 312n na 时，若 1 3123 2n k ，则： 3k=4 3n-1-1， n=2时，113k ，不是整数， 因此数列 cn中的所有项不都是数列 an中的项 .