上海市建平中学2019届高三数学上学期期中试题（含解析）.doc

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1、- 1 -上海市建平中学 2019 届高三数学上学期期中试题（含解析）一.填空题1.设函数 ，则 f（f（2） ）=_【答案】-1【解析】【分析】先计算 f(2)= ,然后将 代入解析式即可得结果.【详解】 ，f(2)=f（f（2） ）=f( )=cos( )=cos .故答案为：-1.【点睛】本题考查分段函数值的求法，注意需将自变量代入相应的解析式即可.2.在各项为实数的等比数列a n中，a 5+8a2=0，则公比 q 的值为_【答案】-2【解析】【分析】由等比数列的通项可得 a5=-8a2=a2 ，计算可得公比 q 的值.【详解】在等比数列a n中，a 5=-8a2， =q3=-8，q=-

2、2,即公比 q 的值为-2故答案为：-2【点睛】本题考查等比数列通项公式的应用.3.若 ，则 tan=_【答案】7【解析】- 2 -【分析】由向量的数量积坐标公式计算整理即可得到答案.【详解】由数量积公式得 = +2 ， =-2 + ，即 +2 =3（-2 + ） ，整理得 7 = ， 即 tan=7，故答案为：7.【点睛】本题考查向量数量积坐标公式的应用.4.设集合 A=x|x22x0，B=x|2 x1 1，则（ RA）B=_【答案】 （0，1【解析】【分析】解出集合 A、B，根据补集与交集的定义计算即可【详解】集合 A=x|x22x0=x|x0 或 x2，集合 B=x|2x1 1=x|x1

3、0=x|x1， RA=x|0x2，（ RA）B=x|0x1=（0，1故答案为：（0，1【点睛】本题考查集合的交集补集的运算.5.某校邀请 5 位同学的父母共 10 人中的 4 位来学校介绍经验，如果这 4 位来自 4 个不同的家庭，那么不同的邀请方案的种数是_【答案】80【解析】【分析】用分步计数原理从 5 个家庭中选 4 个家庭；从每个家庭中选出 1 个,然后相乘可得【详解】分步进行：第一步：从 5 个家庭中选出 4 个家庭，有 =5 种；第二步：从选出的 4 个家庭的每个家庭的父母亲中选出 1 位来，有 =16；根据分步计数原理得：不同的邀请方案的种数数：516=80- 3 -故答案为：8

4、0【点睛】本题主要考查分步计数原理的应用，属于简单题.有关计数原理的综合问题，往往是两个原理交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步” ，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.6.从原点 向圆 作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为_【答案】【解析】把圆的方程化为标准方程为 ，得到圆心 的坐标为 ，圆的半径 ，由圆切线的性质可知， ，且 ，则， ， 该圆夹在两条切线间的劣弧长 ，故答案为 .7.已知数列a n的前 n 项和 Sn满足：对于任意 m，nN *，都有 Sn+Sm

5、=Sn+m+2mn，若 a1=1，则 a2018=_【答案】4033【解析】【分析】根据题意，在 Sn+Sm=Sn+m+2mn 中，用特殊值法分析：令 m=1 可得：S n+S1=Sn+1+2n，变形可得Sn+1S n=12n，再令 n=2018 计算可得答案【详解】根据题意，在 Sn+Sm=Sn+m+2mn 中，令 m=1 可得：S n+S1=Sn+1+2n，- 4 -又由 a1=1，即 S1=a1=1，则有 Sn+1=Sn+1+2n，变形可得：S n+1S n=12n，则 a2018=S2018S 2017=122017=4033；故答案为：4033【点睛】本题考查数列的递推公式，注意特殊

6、值法分析数列的递推公式，属于中档题8.已知函数 的定义域为 ，当 时， ;当 时， ；当 时，则 _【答案】【解析】当 时， ，所以当 时， ，故 ；当 时， ，所以 ；当 时， ，所以 ，故故填 .9.已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在区间（，0上单调递增，若实数 a 满足f（log 2|a1|）f（2） ，则 a 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由题可得 f（x）在0，+）上为减函数，结合函数的奇偶性可将 f（log 2|a1|）f（2）转化为2log 2|a1|2，解不等式可得 a 的取值范围.【详解】已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在区间（，0上单调递增，则

7、f（x）在0，+）上为减函数，f（log 2|a1|）f（2）f（|log 2|a1|）f（2）|log2|a1|2 2log 2|a1|2，得 |a1|4，解得：3a 或 a5，即不等式的解集为（3， ）（ ，5） ；- 5 -故答案为（3， ）（ ，5） 【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性和单调性求解不等式问题，其中利用函数的基本性质，将不等式转化 f（|log 2|a1|）f（2）是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力.10.在锐角三角形 ABC 中，A、B、C 的对边分别为 a、b、c，a 2+b2=6abcosC，则=_【答案】4【解析】【分析】由题意利用余弦定理可得

8、 c2= （a 2+b2） ，再利用行列式的运算、同角三角函数的基本关系，正弦定理即可求得答案【详解】在锐角三角形 ABC 中，a 2+b2=6abcosC=6ab ，c 2= （a 2+b2） ，则 = + =tanC（ + ）= （ + ）= = = = =4，故答案为：4【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理、同角三角函数的基本关系，行列式的运算，属于中档题11.已知关于 x 的一元二次不等式 ax2+2x+b0 的解集为x|xc，则 （其中a+c0）的取值范围为_【答案】 （，66，+）【解析】【分析】- 6 -由条件利用二次函数的性质可得 ac=1，ab=1, 即 c=-b 将 转为

9、（ab）+ ，利用基本不等式求得它的范围【详解】因为一元二次不等式 ax2+2x+b0 的解集为x|xc，由二次函数图像的性质可得a0，二次函数的对称轴为 x= =c，=44ab=0，ac=1，ab=1，c= ，b= ，即 c=-b,则 = =（ab）+ ，当 ab0 时，由基本不等式求得（ab）+ 6，当 ab0 时，由基本不等式求得（ab） 6，即（ab）+ 6,故 （其中 a+c0）的取值范围为：（，66，+） ，故答案为：（，66，+） 【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，考查利用基本不等式求最值.12.若定义域均为 D 的三个函数 f（x） ，g（x） ，h（x）满足条件：对任意

10、 xD，点（x，g（x）与点（x，h（x）都关于点（x，f（x）对称，则称 h（x）是 g（x）关于f（x）的“对称函数” 已知 g（x）= ，f（x）=2x+b，h（x）是 g（x）关于 f（x）的“对称函数” ，且 h（x）g（x）恒成立，则实数 b 的取值范围是_【答案】 【解析】【分析】根据对称函数的定义，结合 h（x）g（x）恒成立，转化为点到直线的距离 d1，利用点到直线的距离公式进行求解即可【详解】xD，点（x，g（x） ） 与点（x，h（x） ）都关于点（x，f（x） ）对称，g（x）+h（x）=2f（x） ，h（x）g（x）恒成立，2f（x）=g（x）+h（x）g（x）+g（

11、x）=2g（x） ，即 f（x）g（x）恒成立，作出 g（x）和 f（x）的图象， - 7 -则 g（x）在直线 f（x）的下方或重合，则直线 f（x）的截距 b0，且原点到直线 y=2x+b 的距离 d1，d= b 或 （舍去）即实数 b 的取值范围是 ，+） ，故答案为： .【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，根据对称函数的定义转化为点到直线的距离关系，利用数形结合是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度二.选择题13.已知实数 x，y 满足 axa y（0a1） ，则下列关系式恒成立的是（ ）A. B. ln（x 21）ln（y 21）C. sin xsin y D. x 3y 3【答

12、案】D【解析】试题分析：由 得:若令 满足 但有:所以选项 A、B、C 均不正确，故选 D考点：函数的单调性14.已知点 A（2，0） 、B（3，0） ，动点 P（x，y）满足 ，则点 P 的轨迹是（ - 8 -）A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线【答案】D【解析】【分析】利用向量的数量积坐标公式计算化简可得点 P 的轨迹【详解】动点 P（x，y）满足 ，（2x，y）（3x，y）=x 2，（2x） （3x）+y 2=x2，解得 y2=x+6，点 P 的轨迹是抛物线故选：D【点睛】本题考查利用直接法求动点的轨迹问题.15.已知数列a n是公比为 q（q1）的等比数列，则数列：2 a

13、n；a n2； ；a nan+1；a n+an+1；等比数列的个数为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B【解析】【分析】利用等比数列的定义和通项公式逐项进行检验即可得出【详解】数列a n是公比为 q（q1）的等比数列，则 ，不是等比数列； =q2，故a n2是等比数列； 是公比为 的等比数列；a nan+1是公比为 q2的等比数列；a n+an+1不一定是等比数列，例如 an=（1） n，- 9 -综上等比数列的个数为 3故选：B【点睛】本题考查了等比数列的定义和通项公式的应用.16.设函数 f1（x）=x 2，f 2（x）=2（xx 2） ， ，i=0，1，2，99记Ik=

14、|fk（a 1）f k（a 0）|+|f k（a 2）f k（a 1）丨+|f k（a 99）f k（a 98）|，k=1，2，3，则（ ）A. I1I 2I 3 B. I2I 1I 3 C. I1I 3I 2 D. I3I 2I 1【答案】B【解析】【分析】根据 Ik=|fk（a 1）f k（a 0）|+|f k（a 2）f k（a 1）丨+|f k（a 99）f k（a 98）|，分别求出I1，I 2，I 3与 1 的关系，继而得到答案.【详解】由 ，故 = =1，由 ，故 = 1，故 I2I 1I 3，故选：B【点睛】本题主要考查了函数的性质，关键是求出这三个数与 1 的关系，属于难题三

15、.解答题17.如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，BCAD，ABBC，ADC=45，PA平面 ABCD，AB=AP=1，AD=3- 10 -（1）求异面直线 PB 与 CD 所成角的大小；（2）求点 D 到平面 PBC 的距离【答案】 （1） ； （2）见解析.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线 PB 与 CD 所成角大小（2）求出平面 PBC 的一个法向量，利用向量法的距离公式求点 D 到平面 PBC 的距离【详解】 （1）以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则 P（0，0，1）

16、 ，B（1，0，0） ，C（1，2，0）D（0，3，0） ， =（1，0，1） ， =（1，1，0） ，设异面直线 PB 与 CD 所成角为 ，则 cos= ,所以异面直线 PB 与 CD 所成角大小为 （2）设平面 PBC 的一个法向量为 =（x，y，z） ，=（1，0，1） ， =（0，2，0） ， =（1，1，0） ，则 ，取 x=1，得 =（1，0，1） ，点 D 到平面 PBC 的距离 d= - 11 -【点睛】本题主要考查了空间向量在求解角和距离中的应用，对于利用空间向量求解点到平面的距离的步骤通常为：求平面的法向量；求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离空

17、间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解求线线角的步骤：确定空间两条直线的方向向量；求两个向量夹角的余弦值；比较余弦值与 0 的大小，确定向量夹角的范围；确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时即为两直线的夹角，当向量夹角为钝角时两直线的夹角为向量夹角的补角18.设函数 ，其中 .已知 .（）求 ；（）将函数 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再将得到的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，求 在 上的最小值.【答案】(1) .(2) .【解析】试题分析：（）利用两角和与差的三角函数化简得到 由题设知 及 可得.（）由（）得从而 .根据 得到 ，进一步求

18、最小值.试题解析：（）因为 ，- 12 -所以由题设知 ，所以 ， .故 ， ，又 ，所以 .（）由（）得所以 .因为 ，所以 ，当 ，即 时， 取得最小值 .【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.19.某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路 l1、l 2，海岸边界 MPN 近似地看成一条曲线段为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道 AB，且直线 AB 与

19、曲线MPN 有且仅有一个公共点 P（即直线与曲线相切） ，如图所示若曲线段 MPN 是函数 图象的一段，点 M 到 l1、l 2的距离分别为 8 千米和 1 千米，点 N 到 l2的距离为 10 千米，以l1、l 2分别为 x、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系 xOy，设点 P 的横坐标为 p- 13 -（1）求曲线段 MPN 的函数关系式，并指出其定义域；（2）若某人从点 O 沿公路至点 P 观景，要使得沿折线 OAP 比沿折线 OBP 的路程更近，求p 的取值范围【答案】 （1）见解析； （2）见解析.【解析】【分析】（1）由题意得 M（1，8） ，则 a=8，即得曲线段的函数关系式，可

20、得其定义域；（2）由函数关系式设点 P 坐标，设直线 AB 方程，将直线方程与曲线方程联立求出 A，B 坐标，即可求出最短长度 p 的取值范围【详解】 （1）由题意得 M（1，8） ，则 a=8，故曲线段 MPN 的函数关系式为 ， 又得 ，所以定义域为 1，10 （2） ，设 AB:由 得 kpx2+（8kp 2）x8p=0，=（8kp 2） 2+32kp2=（kp 2+8） 2=0， kp 2+8=0， ，得直线 AB 方程为 ，得 ,B(2p,0)，故点 P 为 AB 线段的中点，由 即 p280,得 时，OAOB，所以，当 时，经点 A 至 P 路程最近- 14 -【点睛】本题考查利用

21、数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，确定函数关系是关键20.对于函数 ，定义 f1（x）=f（x） ，f n+1（x）=ff n（x）（nN *） ，已知偶函数g（x）的定义域为（，0）（0，+） ，g（1）=0，当 x0 且 x1 时，g（x）=f2018（x） （1）求 f2（x） ，f 3（x） ，f 4（x） ，f 2018（x） ；（2）求出函数 y=g（x）的解析式；（3）若存在实数 a、b（ab） ，使得函数 g（x）在a，b上的值域为mb，ma，求实数m 的取值范围【答案】 （1）见解析； （2）g（x）= ；（3） （ ，0）.【解析】【分析】（1）根据函数关系

22、代入计算进行求解即可；（2）由偶函数的定义，计算可得所求解析式；（3）根据函数奇偶性和单调性的性质，结合函数的值域关系进行求解即可【详解】 （1）因为函数定义 f1（x）=f（x） ，f n+1（x）=ff n（x）（nN *） ，f 1（x）= ，f2（x）=ff 1（x）= = ， （x0 且 x1） ，f3（x）=ff 2（x）= =x， （x0 且 x1） ，f4（x）=ff 3（x）= ， （x0 且 x1） ，故对任意的 nN ，有 f3n+i（x）=f i（x） （i=2，3，4） ，于是 f2018（x）=f 3672+2=f2（x）=1 ， （x0 且 x1） ；（2）当 x

23、0 且 x1 时，g（x）=f 2018（x）=1 ，又 g（1）=0，- 15 -由 g（x）为偶函数，当 x0 时，x0，g（x）=g（x）=1+ ，可得 g（x）= ；（3）由于 y=g（x）的定义域为（，0）（0，+） ，又 ab，mbma，可知 a 与 b 同号，且 m0，进而 g（x）在a，b递减，且 ab0，当 a，b（0，1）时，g（x）=1 为增函数，故 ，即 m= = ，得 a1=b1，即 a=b，与 ab 矛盾，此时 a，b 不存在；函数 y=g（x）的图象，如图所示由题意，有 ，故 a，b 是方程 1+ =mx 的两个不相等的负实数根，即方程 mx2x1=0 在（，0）

24、上有两个不相等的实根，于是 ，解得 m0综合上述，得实数 m 的取值范围为（ ，0） 【点睛】本题主要考查函数解析式的求解以及函数奇偶性的应用，考查分类讨论思想方法、运算和推理能力，属于中档题- 16 -21.对于无穷数列a n，记 T=x|x=aja i，ij，若数列a n满足：“存在 tT，使得只要 ama k=t（m，kN *，mk） ，必有 am+1a k+1=t”，则称数列具有性质 P（t） （1）若数列a n满足 ，判断数列a n是否具有性质 P（2）？是否具有性质 P（4）？说明理由；（2）求证：“T 是有限集”是“数列a n具有性质 P（0） ”的必要不充分条件；（3）已知b

25、n是各项均为正整数的数列，且b n既具有性质 P（2） ，又具有性质 P（5） ，求证：存在正整数 N，使得 aN，a N+1，a N+2，a N+K，是等差数列【答案】 （1）见解析； （2）见解析； （3）见解析.【解析】【分析】（1）由 ，可得 a2a 1=2，但 a3a 2=12，数列a n不具有性质 P（2） ；同理可判断数列a n具有性质 P（4） ；（2）举例“周期数列 1，1，2，2，1，1，2，2，T=1，0，1是有限集，利用新定义可证数列a n不具有性质 P（0） ，即不充分性成立；再证明其必要性即可；（3）依题意，数列b n是各项为正整数的数列，且b n既具有性质 P（2

26、） ，又具有性质P（5） ，可证得存在整数 N，使得 bN，b N+1，b N+2，b N+k，是等差数列【详解】 （1） ，a2a 1=2，但 a3a 2=12，数列a n不具有性质 P（2） ；同理可得，数列a n具有性质 P（4） （2）证明：（不充分性）对于周期数列 1，1，2，2，1，1，2，2，T=1，0，1是有限集，但是由于 a2a 1=0，a 3a 2=1，所以不具有性质 P（0） ；（必要性）因为数列a n具有性质 P（0） ，所以一定存在一组最小的且 mk，满足 ama k=0，即 am=ak由性质 P（0）的含义可得 am+1=ak+1，a m+2=ak+2，a 2mk1

27、 =am1 ，a 2mk =am，所以数列a n中，从第 k 项开始的各项呈现周期性规律：a k，a k+1，a m1 为一个周期中的各项，所以数列a n中最多有 m1 个不同的项，- 17 -所以 T 最多有 个元素，即 T 是有限集；（3）证明：因为数列b n具有性质 P（2） ，数列b n具有性质 P（5） ，所以存在 M、N，使得 bM+pb M=2，b N+qb N=5，其中 p，q 分别是满足上述关系式的最小的正整数，由性质 P（2） ，P（5）的含义可得，b M+p+kb M+k=2，b N+q+kb N+k=5，若 MN，则取 k=NM，可得 bN+pb N=2；若 MN，则取

28、 k=MN，可得 bM+qb M=5记 M=maxM，N，则对于 bM，有 bM+pb M=2，b M+qb M=5，显然 pq，由性质 P（2） ，P（5）的含义可得，b M+p+kb M+k=2，b N+q+kb N+k=5，所以 bM+qpb M=（b M+qpb M+（q1）p ）+（b M+（q1）p b M+（q2）p ）+（b M+pb M）=2qb M+qpb M=（b M+pqb M+（p1）q ）+（b M+（p1）q b M+（p2）q ）+（b M+qb M）=5p所以 bM+qp=bM+2q=bM+5p所以 2q=5p，又 p，q 是满足 bM+pb M=2，b M+

29、qb M=5 的最小的正整数，所以 q=5，p=2，b M+2b M=2，b M+5b M=5，所以，b M+2+kb M+k=2，b M+5+kb M+k=5，所以，b M+2k=bM+2（k1） +2=bM+2k，b M+5k=bM+5（k1） +5=bM+5k，取 N=M+5，若 k 是偶数，则 bN+k=bN+k；若 k 是奇数，则 bN+k=bN+5+（k5） =bN+5+（k5）=b N+5+（k5）=b N+k，所以，b N+k=bN+k，所以 bN，b N+1，b N+2，b N+k，是公差为 1 的等差数列【点睛】本题考查数列递推式的应用，考查充分、必要条件的判定，考查推理与论证能力，属于难题- 18 -