版选修4_4.doc
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1、11参数方程的概念对 应 学 生 用 书 P211参数方程的概念在平面直角坐标系中,曲线上任一点的坐标 x, y 都是某个变数 t( , ,)的函数:Error! ,并且对于每一个 t 的允许值,方程组所确定的点( x, y)都在这条曲线上,那么方程组就叫这条曲线的参数方程,联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数,简称参数相对于参数方程而言,直接给出坐标间关系的方程叫做普通方程2参数的意义参数是联系变数 x, y 的桥梁,可以是有物理意义或几何意义的变数,也可以是没有明显实际意义的变数参数方程表示的曲线上的点例 1 已知曲线 C 的参数方程为Error!( t 为参数)(1)判断点 A(1
2、,0), B(5,4), E(3,2)与曲线 C 的位置关系;(2)若点 F(10, a)在曲线 C 上,求实数 a 的值解 (1)把点 A(1,0)的坐标代入方程组,解得 t0,所以点 A(1,0)在曲线上把点B(5,4)的坐标代入方程组,解得 t2,所以点 B(5,4)也在曲线上把点 E(3,2)的坐标代入方程组,得到Error!即Error!故方程组无解,所以点 E 不在曲线上(2)因为点 F(10, a)在曲线 C 上,所以Error! 解得Error! 或Error! 所以 a6.参数方程是曲线方程的另一种表达形式,点与曲线位置关系的判断,与平面直角坐标方程下的判断方法是一致的1已知
3、点 M(2,2)在曲线 C:Error!( t 为参数)上,则其对应的参数 t 的值为_解析:由 t 2,解得 t1.1t答案:12已知某条曲线 C 的参数方程为Error!(其中 t 为参数, aR)点 M(5,4)在该曲线上,求常数 a.2解:点 M(5,4)在曲线 C 上,Error!解得Error! a 的值为 1.求曲线的参数方程例 2 如图, ABP 是等腰直角三角形, B 是直角,腰长为a,顶点 B, A 分别在 x 轴、 y 轴上滑动,求点 P 在第一象限的轨迹的参数方程思路点拨 解决此类问题关键是参数的选取本例中由于 A, B 的滑动而引起点 P 的运动,故可以 OB 的长为
4、参数,或以角为参数,此时不妨取 BP 与 x 轴正向夹角为参数来求解解 法一:设 P 点的坐标为( x, y),过 P 点作 x 轴的垂线交 x 轴于 Q.如图所示,则Rt OABRt QBP.取 OB t, t 为参数(0 t a)| OA| ,| BQ| .点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为a2 t2 a2 t2Error!(0 t a)法二:设点 P 的坐标为( x, y),过点 P 作 x 轴的垂线交 x 轴于点Q,如图所示取 QBP , 为参数 ,则(0 2) ABO .在 Rt OAB 中,| OB| acos asin .在 2 ( 2 )Rt QBP 中,| BQ| acos
5、 ,| PQ| asin .点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为Error!( 为 参 数 , 0 2)求曲线参数方程的主要步骤(1)画出轨迹草图,设 M(x, y)是轨迹上任意一点的坐标画图时要注意根据几何条件选择点的位置,以利于发现变量之间的关系(2)选择适当的参数参数的选择要考虑以下两点:一是曲线上每一点的坐标 x, y 与参数的关系比较明显,容易列出方程;二是 x, y 的值可以由参数唯一确定例如,在研究运动问题时,通常选时间为参数;在研究旋转问题时,通常选旋转角为参数此外,离某一定点的“有向距离” 、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数(3)根据已知条件、图形的几何性质、问题的
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