1、11参数方程的概念对 应 学 生 用 书 P211参数方程的概念在平面直角坐标系中，曲线上任一点的坐标 x， y 都是某个变数 t( ， ，)的函数：Error! ，并且对于每一个 t 的允许值，方程组所确定的点( x， y)都在这条曲线上，那么方程组就叫这条曲线的参数方程，联系变数 x， y 的变数 t 叫做参变数，简称参数相对于参数方程而言，直接给出坐标间关系的方程叫做普通方程2参数的意义参数是联系变数 x， y 的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数参数方程表示的曲线上的点例 1 已知曲线 C 的参数方程为Error!( t 为参数)(1)判断点 A(1
2、,0)， B(5,4)， E(3,2)与曲线 C 的位置关系；(2)若点 F(10， a)在曲线 C 上，求实数 a 的值解 (1)把点 A(1,0)的坐标代入方程组，解得 t0，所以点 A(1,0)在曲线上把点B(5,4)的坐标代入方程组，解得 t2，所以点 B(5,4)也在曲线上把点 E(3,2)的坐标代入方程组，得到Error!即Error!故方程组无解，所以点 E 不在曲线上(2)因为点 F(10， a)在曲线 C 上，所以Error! 解得Error! 或Error! 所以 a6.参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是一致的1已知
3、点 M(2，2)在曲线 C：Error!( t 为参数)上，则其对应的参数 t 的值为_解析：由 t 2，解得 t1.1t答案：12已知某条曲线 C 的参数方程为Error!(其中 t 为参数， aR)点 M(5,4)在该曲线上，求常数 a.2解：点 M(5,4)在曲线 C 上，Error!解得Error! a 的值为 1.求曲线的参数方程例 2 如图， ABP 是等腰直角三角形， B 是直角，腰长为a，顶点 B， A 分别在 x 轴、 y 轴上滑动，求点 P 在第一象限的轨迹的参数方程思路点拨 解决此类问题关键是参数的选取本例中由于 A， B 的滑动而引起点 P 的运动，故可以 OB 的长为
4、参数，或以角为参数，此时不妨取 BP 与 x 轴正向夹角为参数来求解解 法一：设 P 点的坐标为( x， y)，过 P 点作 x 轴的垂线交 x 轴于 Q.如图所示，则Rt OABRt QBP.取 OB t， t 为参数(0 t a)| OA| ，| BQ| .点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为a2 t2 a2 t2Error!(0 t a)法二：设点 P 的坐标为( x， y)，过点 P 作 x 轴的垂线交 x 轴于点Q，如图所示取 QBP ， 为参数 ，则(0 2) ABO .在 Rt OAB 中，| OB| acos asin .在 2 ( 2 )Rt QBP 中，| BQ| acos
5、 ，| PQ| asin .点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为Error!( 为 参 数 ， 0 2)求曲线参数方程的主要步骤(1)画出轨迹草图，设 M(x， y)是轨迹上任意一点的坐标画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系(2)选择适当的参数参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标 x， y 与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是 x， y 的值可以由参数唯一确定例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数此外，离某一定点的“有向距离” 、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数(3)根据已知条件、图形的几何性质、问题的
6、物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略33设飞机以 v150 m/s 作水平匀速飞行，若在飞行高度 h490 m 处投弹，求炸弹离开飞机后的轨迹方程(设炸弹的初速度等于飞机的速度)( g9.8 m/s 2)解：如图， A 为投弹点，坐标为(0,490)， B 为目标记炸弹飞行的时间为 t，在 A 点t0，设 M(x， y)为飞行曲线上的任一点，它对应时刻 t，炸弹初速度v0150 m/s，用物理学知识，分别计算水平、竖直方向上的路程，得Error!(t 为参数 )，即Error! (t 为参数)，这是炸弹飞行曲线的参数方程一、选择题1下列方程可以作为 x 轴的参数方程的是(
7、)A.Error! B.Error!C.Error! D.Error!解析：选 D x 轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为 0.2当参数 变化时，由点 P(2cos ，3sin )所确定的曲线过点( )A(2,3) B(1,5)C. D(2,0)(0， 2)解析：选 D 当 2cos 2，即 cos 1 时，3sin 0，所以过点(2,0)3在方程Error!( 为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为( )A(2，7) B.(13， 23)C. D(1,0)(12， 12)解析：选 C 将点的坐标代入参数方程，若能求出 ，则点在曲线上，经检验，知 C满足条件4由方程 x2 y24 tx2 ty
8、3 t240( t 为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为( )A.Error! B.Error!C.Error! D.Error!解析：选 A 设( x， y)为所求轨迹上任一点由 x2 y24 tx2 ty3 t240，得(x2 t)2( y t)242 t2，Error!二、填空题45已知曲线Error!( 为参数，0 2)，下列各点 A(1,3)， B(2,2)， C(3,5)，其中在曲线上的点是_解析：将 A 点坐标代入方程得： 0 或 ，将 B， C 点坐标代入方程，方程无解，故A 点在曲线上答案： A(1,3)6若曲线Error!经过点 ，则 a_.(32， a)解析：将点 代
9、入曲线方程得 cos ， a2sin 2 .(32， a) 12 1 14 3答案： 37动点 M 作匀速直线运动，它在 x 轴和 y 轴方向的分速度分别为 9 和 12，运动开始时，点 M 位于 A(1,1)，则点 M 的参数方程为_解析：设 M(x， y)，则在 x 轴上的位移为 x19 t，在 y 轴上的位移为 y112 t.其参数方程为Error!答案：Error!三、解答题8.如图，已知定点 A(2,0)，点 Q 是圆 C： x2 y21 上的动点， AOQ 的平分线交 AQ于点 M，当 Q 在圆 C 上运动时，求点 M 的轨迹的参数方程解：设点 O 到 AQ 的距离为 d，则 |A
10、M| d |OA|OM|sin AOM，12 12|QM|d |OQ|OM|sin QOM，12 12又 AOM QOM，所以 2，所以 AQ .|AM|QM| |OA|OQ| AM 23设点 Q(cos ，sin )， M(x， y)，则( x2， y0) (cos 2，sin 0)，23即 x cos ， y sin ，23 23 23故点 M 的轨迹的参数方程为Error!( 为参数)9.某飞机进行投弹演习，已知飞机离地面高度为 H2 000 m，水平飞行速度为 v1100 m/s，如图所示(1)求飞机投弹 t s 后炸弹的水平位移和离地面的高度；(2)如果飞机追击一辆速度为 v220
11、m/s 同向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机5应在距离汽车的水平距离多远处投弹？( g10 m/s 2)解：(1)建立如图所示的平面直角坐标系，设炸弹投出机舱的时刻为 0 s，在时刻 t s时其坐标为 M(x， y)，易知炸弹在飞行时作平抛运动，依题意得Error!即Error!令 y2 0005 t20，得 t20，所以飞机投弹 t s 后炸弹的水平位移为 100t m，离地面的高度为 (2 0005 t2)m，其中 0 t20.(2)易知炸弹的水平方向运动和汽车的运动均为匀速直线运动以汽车为参考系，水平方向上 s 相对 v 相对 t，所以飞机应距离汽车投弹的水平距离为 s( v1 v2)t(10020)201 600 m.10试确定过 M(0,1)作椭圆 x2 1 的弦的中点的轨迹方程y24解：设过 M(0,1)的弦所在的直线方程为 y kx1，其与椭圆的交点为( x1， y1)和( x2， y2)设中点 P(x， y)，则有 x ， y .x1 x22 y1 y22由Error! 得( k24) x22 kx30， x1 x2 ， y1 y2 ， 2kk2 4 8k2 4Error! 就是以动弦斜率 k 为参数的动弦中点的轨迹方程6
