版选修1_1.doc
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1、122.2 双曲线的简单几何性质预习课本 P4953,思考并完成以下问题 1双曲线有哪些几何性质?2双曲线的顶点、实轴、虚轴分别是什么?3双曲线的渐近线、等轴双曲线的定义分别是什么?新 知 初 探 1双曲线的几何性质标准方程 1x2a2 y2b2(a0, b0) 1y2a2 x2b2(a0, b0)图形焦点 F1( c,0), F2(c,0) F1(0, c), F2(0, c)性质焦距 |F1F2|2 c范围 x a 或 x a, y R y a 或 y a, x R对称性对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点 A1( a,0), A2(a,0) A1(0, a), A2(0, a)性质轴 实轴
2、:线段 A1A2,长: ;2a2虚轴:线段 B1B2,长: ;2b半实轴长: ,半虚轴长:a b离心率 e (1,)ca渐近线 y xba y xab2等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线,它的渐近线是 y x,离心率为 e .2点睛 对双曲线的简单几何性质的几点认识(1)双曲线的焦点决定双曲线的位置;(2)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小,离心率越大,双曲线的开口越大,反之亦然小 试 身 手 1判断下列命题是否正确(正确的打“” ,错误的打“”)(1)双曲线 1 的焦点在 y 轴上( )x22 y24(2)双曲线的离心率越大,双曲线的开口越开阔( )(3)以 y2 x 为
3、渐近线的双曲线有 2 条( )答案:(1) (2) (3)2双曲线 y21 的顶点坐标是( )x216A(4,0),(0,1) B(4,0),(4,0)C(0,1),(0,1) D(4,0),(0,1)答案:B3中心在原点,实轴长为 10,虚轴长为 6 的双曲线的标准方程是( )A. 1x225 y29B. 1 或 1x225 y29 y225 x29C. 1x2100 y236D. 1 或 1x2100 y236 y2100 x236答案:B34(2017全国卷)双曲线 1( a0)的一条渐近线方程为 y x,则x2a2 y29 35a_.答案:5双曲线的几何性质典例 求双曲线 9y24 x
4、236 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程解 双曲线的方程化为标准形式是 1,x29 y24 a29, b24, a3, b2, c .13又双曲线的焦点在 x 轴上,顶点坐标为(3,0),(3,0),焦点坐标为( ,0),( ,0),13 13实轴长 2a6,虚轴长 2b4,离心率 e ,渐近线方程为 y x.ca 133 23由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键;(2)由标准方程确定焦点位置,确定 a, b 的值;(3)由 c2 a2 b2求出 c 值,从而写出双曲线的几何性质注意 求性质时一定要注意焦点的位置 活学活用1
5、已知双曲线 1 与 1,下列说法正确的是( )x29 y216 y216 x29A两个双曲线有公共顶点B两个双曲线有公共焦点C两个双曲线有公共渐近线D两个双曲线的离心率相等解析:选 C 双曲线 1 的焦点和顶点都在 x 轴上,而双曲线 1 的焦点x29 y216 y216 x29和顶点都在 y 轴上,因此可排除选项 A、B;双曲线 1 的离心率 e1 ,x29 y216 9 169 534而双曲线 1 的离心率 e2 ,因此可排除选项 D;易得 C 正确y216 x29 16 916 542(2017北京高考)若双曲线 x2 1 的离心率为 ,则实数 m_.y2m 3解析:由双曲线的标准方程可
6、知 a21, b2 m,所以 e ,解得 m2.1 b2a2 1 m 3答案:2由双曲线的几何性质求标准方程典例 (1)(2017天津高考)已知双曲线 1( a0, b0)的左焦点为 F,离心x2a2 y2b2率为 .若经过 F 和 P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( )2A. 1 B. 1x24 y24 x28 y28C. 1 D. 1x24 y28 x28 y24(2)过点(2,2)且与 y21 有相同渐近线的双曲线的标准方程为_x22解析 (1)由 e 知,双曲线为等轴双曲线,2则其渐近线方程为 y x,故由 P(0,4),知左焦点 F 的坐标为(4,0)
7、,所以 c4,则 a2 b2 8.c22故双曲线的方程为 1.x28 y28(2)法一:当焦点在 x 轴上时,由于 .ba 22故可设方程为 1,x22b2 y2b2代入点(2,2)得 b22(舍去);当焦点在 y 轴上时,可知 ,ab 22故可设方程为 1,y2a2 x22a2代入点(2,2)得 a22.5所以所求双曲线方程为 1.y22 x24法二:因为所求双曲线与已知双曲线 y21 有相同的渐近线,故可设双曲线方程x22为 y2 ( 0),x22代入点(2,2)得 2,所以所求双曲线的方程为 y22,x22即 1.y22 x24答案 (1)B (2) 1y22 x24求双曲线的标准方程的
8、方法与技巧(1)一般情况下,求双曲线的标准方程关键是确定 a, b 的值和焦点所在的坐标轴,若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标,则焦点所在的坐标轴易得再结合 c2 a2 b2及 e列关于 a, b 的方程(组),解方程(组)可得标准方程ca(2)如果已知双曲线的渐近线方程为 y x,那么此双曲线方程可设为ba ( 0) x2a2 y2b2活学活用求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)虚轴长为 12,离心率为 ;54(2)焦点在 x 轴上,离心率为 ,且过点(5,3);2(3)顶点间距离为 6,渐近线方程为 y x.32解:(1)设双曲线的标准方程为 1 或 1( a0, b0)x2a2 y2b
9、2 y2a2 x2b2由题意知 2b12, 且 c2 a2 b2,ca 54 b6, c10, a8,双曲线的标准方程为 1 或 1.x264 y236 y264 x236(2) e , c a, b2 c2 a2 a2.ca 2 26又焦点在 x 轴上,设双曲线的标准方程为 1( a0)x2a2 y2a2把点(5,3)代入方程,解得 a216.双曲线的标准方程为 1.x216 y216(3)设以 y x 为渐近线的双曲线方程为32 ( 0),x24 y29当 0 时, a24 ,2 a2 6 .494当 0, b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,x2a2 y2b2交 C 于点 P.若点
10、 P 的横坐标为 2a,则 C 的离心率为_解析 如图所示,不妨设与渐近线平行的直线 l 的斜率为 ,又ba直线 l 过右焦点 F(c,0),则直线 l 的方程为 y (x c)因为点 P 的ba横坐标为 2a,代入双曲线方程得 1,化简得 y b 或 y4a2a2 y2b2 3b(点 P 在 x 轴下方,故舍去 ),故点 P 的坐标为(2 a, b),代入直线方程得3 3 b (2a c),化简可得离心率 e 2 .3ba ca 3答案 2 3求双曲线离心率的两种方法(1)直接法:若已知 a, c 可直接利用 e 求解,若已知 a, b,可利用 e 求ca 1 (ba)2解(2)方程法:若无
11、法求出 a, b, c 的具体值,但根据条件可确定 a, b, c 之间的关系,可通过 b2 c2 a2,将关系式转化为关于 a, c 的齐次方程,借助于 e ,转化为关于 eca7的 n 次方程求解 活学活用1如果双曲线 1 右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异x2a2 y2b2点,则双曲线离心率的取值范围是_解析:如图,因为 AO AF, F(c,0),所以 xA ,因为 A 在右支上且不在顶点处,所以 a,所以 e 2.c2 c2 ca答案:(2,)2设 F1, F2是双曲线 C: 1( a0, b0)的两个焦点, P 是 C 上一点,若x2a2 y2b2|PF1| PF
12、2|6 a,且 PF1F2的最小内角为 30,则 C 的离心率为_解析:不妨设| PF1|PF2|,则| PF1| PF2|2 a,又| PF1| PF2|6 a,得|PF1|4 a,| PF2|2 a,| F1F2|2 c,则在 PF1F2中, PF1F230,由余弦定理得(2 a)2(4 a)2(2 c)22(4 a)(2c)cos 30,整理得( e )20,所以 e .3 3答案: 3层级一 学业水平达标1双曲线 2x2 y28 的实轴长是( )A2 B2 2C4 D4 2解析:选 C 双曲线方程可变形为 1,所以 a24, a2,从而 2a4,故选 C.x24 y282已知双曲线的实
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