2019年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.4圆锥曲线的应用讲义（含解析）湘教版选修2_1.doc

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1、12.4 圆锥曲线的应用椭圆、双曲线的应用我国发射的第一颗人造卫星的运行轨道是以地球为中心(简称“地心”) F2为一个焦点的椭圆已知它的近地点 A(离地面最近的点)距地面 439 km，远地点 B(离地面最远的点)距地面 2 384 km， AB 是椭圆的长轴，地球半径约为 6 371 km 如图所示，以直线 AB 为 x 轴，线段 AB 的中垂线为 y 轴，建立直角坐标系 xOy， AB 与地球交于 C， D 两点求卫星运行的轨道方程(结果精确到 1 km)自主解答 设椭圆方程为 1( a b0)x2a2 y2b2由题意知|AC|439，| BD|2 384，| F2C| F2D|6 371

2、.a c| OA| OF2| F2A|4396 3716 810，a c| OB| OF2| F2B|2 3846 3718 755，解得 a7 782.5， c972.5，所以 b 7 722.a2 c2 a c a c因此，卫星运行的轨道方程是 1.x27 7832 y27 7222(1)有关椭圆的轨迹问题，应注意如下结论的直接应用：“椭圆上到一焦点的距离最大和最小的点，恰是椭圆长轴的两个端点” (2)解决实际应用题的一般思路是：首先根据题意画出几何图形，并建立合适的平面直角坐标系；然后设出待求椭圆、双曲线的标准方程，找出题中已知的量和隐含的关系式，求解方程1.某工程要挖一个横截面为半圆的

3、柱形隧道，挖出的土只能沿道路 AP， BP 运到 P 处，如图所示， PA100 m， PB150 m， APB60，试说明怎样运土才能最省工解：以 AB 所在直线为 x 轴， AB 的垂直平分线为 y 轴建立如图所示的直角坐标系设2M 是分界线上的点，则有| MA| PA| MB| PB|，于是有|MA| MB| PB| PA|15010050.这说明这条分界线是以 A， B 为焦点的双曲线的右支，在 APB 中，由余弦定理得：| AB|2| AP|2| PB|22| AP|PB|cos 6017 500，从而 a25， c2 4 375， b2 c2 a23 750，所以所求分界线方程为：

4、|AB|24 1( x25)，于是运土时，将此双曲线左侧的土沿 AP 运到 P 点，右侧的土沿x2625 y23 750BP 运到 P 点最省工抛物线的应用一辆卡车高 3 m，宽 1.6 m，欲通过截面为抛物线型的隧道，已知拱口宽 AB恰好是拱高的 4 倍，若拱口宽为 a m，求能使卡车通过的 a 的最小整数值自主解答 以拱顶为原点，拱高所在直线为 y 轴，建立直角坐标系，如图所示，设抛物线方程为 x22 py(p0)，则点 B 的坐标为 ，(a2， a4)由点 B 在抛物线上，得 22 p ，所以 p ，(a2) ( a4) a2所以抛物线方程为 x2 ay.将点(0.8， y0)代入抛物线

5、方程，得 y0 .0.64a欲使卡车通过隧道，应有 | y0| 3.a4 a4 0.64a解得 a12.21，或 a0.21(舍去) a 取整数， a 的最小值为 13.在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用2.某河上有座抛物线形拱桥，当水面距拱顶 5 m 时，水面宽为 8 m，一木船宽 4 m，高 2 m，载货后木船露在水面上的部分高为 m，则水面上涨到与拱顶相距34多少时，木船开始不能通航？解：以拱桥拱顶为坐标原点，拱高所在直线为 y 轴，建立如图所示的坐标系，

6、设抛物线方程为 x22 py(p0)由题意知，点3A(4，5)在抛物线 x22 py(p0)上，162 p(5)，2 p .165抛物线方程为 x2 y(4 x4)165设水面上涨，船面两侧与抛物线拱桥接触于 B， B时，船开始不能通航，设 B(2， y)，由 22 y，得 y ，165 54水面与抛物线拱顶相距|y| 2(m)故水面上涨到与抛物线拱顶相距 2 m 时，船开始不能通航34解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路已知椭圆 1( ab0)与 x 轴的交点为 A1， A2， P 是椭圆上任一点， F 是它的一个x2a2 y2b2焦点，证明：以线段 PF 为直径的圆与

7、以线段 A1A2为直径的圆相切巧思 判断两圆的位置关系，即判断两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系若 M为 PF 的中点，则圆心距为| OM|.妙解 由椭圆方程 1( ab0)知，x2a2 y2b2以线段 A1A2为直径的圆为 x2 y2 a2.设 F1是椭圆的另外一个焦点，点 M 是线段 PF 的中点，则| MO| |PF1| (2a| PF|) a |PF|.12 12 12即以线段 A1A2为直径的圆(圆心为 O)与以线段 PF 为直径的圆(圆心为 M)的圆心距等于两圆的半径之差，于是两圆相切1若方程 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 a 的取值范围是( )x2a2 y2a 6A(3

8、，)B(，2)C(，2)(3，)D(3，)(6，2)4解析：要满足方程 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆需有Error!解得63.答案：D2已知双曲线 1( a0， b0)的两条渐近线与抛物线 y22 px(p0)的准线x2a2 y2b2分别交于 A， B 两点， O 为坐标原点若双曲线的离心率为 2， AOB 的面积为 ，则 p( )3A1 B.32C2 D3解析：因为双曲线的离心率 e 2，所以 b a，所以双曲线的渐近线方程为ca 3y x x，与抛物线的准线 x 相交于 A ， B ，所以 AOBba 3 p2 ( p2， 32p) ( p2， 32p)的面积为 p ，又 p0，所以 p

9、2.12 p2 3 3答案：C3过双曲线的一个焦点 F2作垂直于实轴的弦 PQ， F1是另一焦点，若 PF1Q ，则 2双曲线的离心率 e 等于( )A. 1 B.2 2C. 1 D. 22 2解析： PF1F2是等腰直角三角形，|PF2| F1F2|2 c，| PF1|2 c，| PF1| PF2|2 a,2 c2 c2 a， e 2 2ca 12 1 21.答案：C4焦点在 x 轴上的椭圆，焦距| F1F2|8，离心率为 ，椭圆上的点 M 到焦点 F1的距离45为 2， N 为 MF1的中点，则| ON|(O 为坐标原点)的值为_解析：| F1F2|2 c8， e ， a5，ca 45|

10、MF1| MF2|2 a10，| MF1|2，| MF2|8.又 O， N 分别为 F1F2， MF1的中点， ON 是 F1F2M 的中位线，| ON| |MF2|4.12答案：455设 F1， F2是双曲线 1( a0， b0)的左、右焦点，若双曲线上存在点 A，使x2a2 y2b2 F1AF290，且 AF13 AF2，则该双曲线的离心率为_解析：由 AF13 AF2，设 AF2 m， AF13 m(m0)，则2a AF1 AF22 m,2c m，AF21 AF2 10离心率 e .2c2a 102答案：1026某抛物线形拱桥跨度是 20 米，拱桥高度是 4 米，在建桥时，每 4 米需用

11、一根支柱支撑，求其中最长支柱的长解：建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为 x22 py(p0)，由题意知，点 P(10，4)在抛物线上，1002 p(4)，2 p25，即抛物线方程为 x225 y.每 4 米需用一根支柱支撑，支柱横坐标分别为6，2,2,6.由图知， AB 是最长的支柱之一，点 B 的坐标为(2， yB)，代入 x225 y，得 yB ，425 AB4 3.84，即最长支柱的长为 3.84 米425一、选择题1若直线 kx y10( kR)与椭圆 1 恒有公共点，则 m 的取值范围是( )x25 y2mA(0,1) B(0,5)C1,5)(5，) D1，)解析：直线 kx

12、y10 恒过点(0,1)，由题意知，该点在椭圆内或椭圆上，故有Error! 解得 m1 且 m5，故选 C.答案：C2若点 A 的坐标为(3,2)， F 是抛物线 y22 x 的焦点，点 M 在抛物线上移动时，使|MF| MA|取得最小值的 M 的坐标为( )6A(0,0) B.(12， 1)C(1， ) D(2,2)2解析：设 M(x0， y0)，则| MF|可以看作是点 M 到准线的距离，当点 M 移动到和点 A 的纵坐标相等时，| MF| MA|取得最小值，即 y02，代入 y22 x，得 x02，即 M(2,2)答案：D3椭圆 1 的焦点为 F1， F2， P 为椭圆上的一点，已知 0

13、，则x225 y29 PF1 PF2 F1PF2的面积为( )A9 B12C10 D8解析： 0， PF1 PF2.PF1 PF2 | PF1|2| PF2|2| F1F2|2且| PF1| PF2|2 a.又 a5， b3， c4.Error! 2，得 2|PF1|PF2|10 264，| PF1|PF2|18. F1PF2的面积为S |PF1|PF2|9.12答案：A4已知双曲线的两个焦点 F1( ，0)， F2( ，0)， M 是此双曲线的一点，10 10且 0，| | |2，则该双曲线的方程是( )MF1 MF2 MF1 MF2 A. y21 B x2 1x29 y29C. 1 D.

14、1x23 y27 x27 y23解析：由已知 MF1 MF2，| MF1|2| MF2|2| F1F2|2，(| MF1| MF2|)22| MF1|MF2| F1F2|2，即(| MF1| MF2|)2(2 )2436.10| MF1| MF2|6， a3， c ， b1，10双曲线方程是 y21.x297答案：A二、填空题5若曲线 1 表示双曲线，则 k 的取值范围是_x24 k y21 k解析：由题意知(4 k)(1 k)0， k1 或 k0 时， 1， 25， 20；x2 y2 4 4当 0)上的一点 M(1， m)(m0)到其焦点的距离为 5，双曲线 y21 的左顶点为 A，若双曲线

15、的一条渐近线与直线 AM 平行，则实数 a 的值为x2a_解析：由题意，得 1 5， p8， m4， M(1,4)，又 A( ，0)，直线 AMp2 a的斜率为 kAM ， ， a .4 01 a 1a a 13 198答案：19三、解答题9.连霍高速公路的某隧道，其横断面由抛物线的一段与矩形三边组成，尺寸如图所示一辆卡车在空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽 3 米，卡车与箱共高 4.5 米，此时，卡车能否通过此隧道，请说明理由解：以此隧道的横断面的抛物线拱顶为原点，拱高所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示设抛物线的标准方程为 x22 py(p0)，依题意知点 A(3，3)在抛

16、物线上，3 22 p(3)，解得 p ，32抛物线的标准方程为 x23 y.又集装箱宽 3 米，当 x1.5 时， y0.75，即离隧道中心线 1.5 米处，隧道面离地面的距离为 50.754.25 米，而箱顶离地面的高度为 4.5 米，故此时卡车不能通过此隧道10.一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分过对称轴的截口 BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点 F1上，片门位于另一个焦点 F2上由椭圆一个焦点 F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点 F2.已知 BC F1F2， F1B2.8 cm， F1F24.5 cm.试建立适当的坐标系，求截口 BAC 所在椭圆的方程(精确到 0.1 cm)解：建立如图所示的直角坐标系，设所求椭圆方程为 1( ab0)x2a2 y2b2在 Rt BF1F2中， F2B .F1B2 F1F2 2.82 4.52由椭圆的定义，知 F1B F2B2 a，所以 a (F1B F2B) (2.8 )12 12 2.82 4.524.1， b 3.4，a2 c2 4.12 2.252所以，所求的椭圆方程为 1.x24.12 y23.429