例学案新人教A版选修2_2.doc

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1、11.4 生活中的优化问题举例学习目标 1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题知识点 生活中的优化问题(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题(2)利用导数解决优化问题的实质是求函数最值(3)解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程1生活中常见到的收益最高，用料最省等问题就是数学中的最大、最小值问题( )2解决应用问题的关键是建立数学模型( )类型一 几何中的最值问题例 1 请你设计一个包装盒，如图所示， ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等

2、的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A， B， C， D 四个点重合于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒点 E， F 在边 AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设 AE FB x(cm)某厂商要求包装盒的容积 V(cm3)最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值2考点 利用导数求几何模型的最值问题题点 利用导数求几何体体积的最值问题解 V(x)( x)2(602 x)222 x2(602 x)2 x360 x2(00；当 2010 时， W xR(x)(102.7 x)98 2.7 x.1 0003x所以 WError!(2)当 00，当 x

3、(9,10)时， W10 时， W98 (1 0003x 2.7x)982 38，1 0003x 2.7x当且仅当 2.7 x，即 x 时， Wmax38，1 0003x 1009综上可得，当 x9 时， W 取得最大值 38.6.故当年产量为 9 千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6 万元命 题 角 度 2 用 料 、 费 用 最 少 问 题例 3 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为 256 万元；距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2 )x 万元假设桥墩等距离

4、分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因x素，记余下工程的费用为 y 万元(1)试写出 y 关于 x 的函数关系式；(2)当 m640 米时，需新建多少个桥墩才能使 y 最小？考点 利用导数求解生活中的最值问题题点 用料、费用最少问题解 (1)设需新建 n 个桥墩，则( n1) x m，即 n 1.mx6所以 y f(x)256 n( n1)(2 )xx256 (2 )x(mx 1) mx x m 2 m256.256mx x(2)由(1)知， f( x) m12x256mx2 12 (32512)m2x2令 f( x)0，得32512，所以 x64.当 00， f(x)在区间(64,640)上

5、为增函数，所以 f(x)在 x64 处取得最小值此时 n 1 19.mx 64064反思与感悟 (1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确 自 变 量 的 意 义 以 及 最 值 问 题 所 研 究 的 对 象 正 确 书 写 函 数 表 达 式 ， 准 确 求 导 ， 结 合 实 际 作答(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使 f( x)0 时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值跟踪训练 3 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用 20

6、 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系： C(x) (0 x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元设 f(x)为隔热层建造费k3x 5用与 20 年的能源消耗费用之和(1)求 k 的值及 f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值考点 利用导数求解生活中的最值问题题点 用料、费用最少问题解 (1)设隔热层厚度为 x cm，由题设，每年能源消耗费用为 C(x) ，k3x 5再由 C(0)8，得 k40，因此 C(x) ，403x 57而建造费用为 C1(x

7、)6 x.因此得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为f(x)20 C(x) C1(x)20 6 x403x 5 6 x(0 x10)8003x 5(2)f( x)6 .2 4003x 52令 f( x)0，即 6，2 4003x 52解得 x5， x (舍去)253当 00，故当 x5 时， f(x)取到最小值，对应的最小值为 f(5)65 70.80015 5答 当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小值为 70 万元.1炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第 x 小时，原油温度(单位：)为 f(x) x3 x28(0 x5)，那么原油温度的瞬时变化率的最

8、小值是( )13A8 B.203C1 D8考点 利用导数求解生活中的最值问题题点 利用导数求解生活中的其他最值问题答案 C解析 原油温度的瞬时变化率为 f( x) x22 x( x1) 21(0 x5)，所以当 x1 时，原油温度的瞬时变化率取得最小值1.2要做一个圆锥形漏斗，其母线长为 20 cm，要使其体积最大，则高应为( )A. cm B. cm1033 2033C. cm D. cm1633 33考点 利用导数求几何模型的最值问题题点 利用导数求几何体体积的最值问题8答案 B解析 设圆锥的高为 h cm,00，当 h 时， V0)，32 43x S (x34 V)令 S0，得 x ，可

9、判断当 x 时， S 取得最小值3x2 34V 34V2如果圆柱轴截面的周长 l 为定值，则体积的最大值为( )A. 3 B. 3(l6) (l3)C. 3 D. 3(l4) 14(l4)考点 利用导数求几何模型的最值问题题点 利用导数求几何体体积的最值问题答案 A解析 设圆柱的底面半径为 r，高为 h，体积为 V，则 4r2 h l， h .l 4r2 V r2h r22 r3 ，l2 (00，l611 r 是其唯一的极值点l6当 r 时， V 取得最大值，最大值为 3.l6 (l6)3某公司生产一种产品， 固定成本为 20 000 元，每生产一单位的产品，成本增加 100 元，若总收入 R

10、 与年产量 x 的关系是 R(x)Error!则当总利润 P(x)最大时，每年生产产品的单位数是( )A150 B200C250 D300考点 利用导数求解生活中的最值问题题点 利用导数求解最大利润问题答案 D解析 由题意得，总利润P(x)Error!当 0 x390 时，令 P( x)0，得 x300，又当 x390 时， P(x)70 090100 x 为减函数，所以当每年生产 300 单位的产品时，总利润最大，故选 D.4若方底无盖水箱的容积为 256，则最省材料时，它的高为( )A4 B6C4.5 D8考点 利用导数求解生活中的最值问题题点 用料、费用最少问题答案 A解析 设底面边长为

11、 x，高为 h，则 V(x) x2h256， h .256x2 S(x) x24 xh x24 x x2 ，256x2 4256x S( x)2 x .4256x2令 S( x)0，解得 x8，当 x8 时， S(x)取得最小值 h 4.256825某超市中秋前 30 天，月饼销售总量 f(t)与时间 t(00)已知贷款的利率为 0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去设存款利率为 x， x(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则 x 的取值为( )A0.016 2 B0.032 4C0.024 3 D0.048 6考点 利用导数求解生活中的最值问题题点 利用导数求解最大利润

12、问题答案 B解析 依题意，得存款量是 kx2，银行支付的利息是 kx3，获得的贷款利息是 0.048 6kx2，其中 x(0,0.048 6)所以银行的收益是 y0.048 6 kx2 kx3(00；当 0.032 40， f(x)是单调递增的，(0，233)当 x 时， f( x)0，该函数递增，所以当x80 时， y 取得最小值10某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买 x 吨，运费为 4 万元/次，一年的总存储费为 4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x_吨考点 利用导数求解生活中的最值问题题点 用料、费用最少问题答案 20解析 设该公司一年内总共购买 n 次货

13、物，则 n ，400x总运费与总存储费之和 f(x)4 n4 x 4 x，1 600x令 f( x)4 0，1 600x2解得 x20， x20(舍去)，x20 是函数 f(x)的最小值点，故当 x20 时， f(x)最小11某厂生产某种产品 x 件的总成本为 C(x)1 200 x3(万元)，已知产品单价的平方与275产品件数 x 成反比，生产 100 件这样的产品单价为 50 万元，则产量定为_件时总利润最大考点 利用导数求解生活中的最值问题题点 利用导数求解最大利润问题答案 2515解析 由题意知 502 ，解得 k2510 4.k100产品的单价 P .25104x 500x总利润 L

14、(x) x 1 200 x3500x 275500 1 200 x3，x275L( x)250 x x2，12 225令 L( x)0，得 x25，当 x25 时，总利润最大12.一个帐篷，它下部的形状是高为 1 m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3 m 的正六棱锥(如图所示)当帐篷的顶点 O 到底面中心 O1的距离为_ m 时，帐篷的体积最大考点 利用导数求几何模型的最值问题题点 利用导数求几何体体积的最值问题答案 2解析 设 OO1 x，则 10， V(x)为增函数；当 20，即 r0 得 20，得 52 0，即 0 x0， f(x)是增函数；(0，59)当 x 时， f( x)0， f(x)是减函数(59， 1)所以当 x 时， f(x)取极大值， f 20 000.59 (59)因为 f(x)在(0,1)内只有一个极大值，所以它是最大值所以当 x 时，本年度的年利润最大，最大利润为 20 000 万元59