）学案新人教A版选修2_2.doc

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1、113.3 函数的最大(小)值与导数(二)学习目标 1.理解极值与最值的关系，并能利用其求参数的范围.2.能利用导数解决一些简单的恒成立问题知识点 用导数求函数 f(x)最值的基本方法(1)求导函数：求函数 f(x)的导函数 f( x)；(2)求极值嫌疑点：即 f( x)不存在的点和 f( x)0 的点；(3)列 表 ： 依 极 值 嫌 疑 点 将 函 数 的 定 义 域 分 成 若 干 个 子 区 间 ， 列 出 f (x)与 f(x)随 x 变 化 的 一览 表；(4)求极值：依(3)的表中所反应的相关信息，求出 f(x)的极值点和极值；(5)求区间端点的函数值；(6)求最值：比较极值嫌疑

2、点和区间端点的函数值后，得出函数 f(x)在其定义域内的最大值和最小值.类型一 由极值与最值关系求参数范围例 1 若函数 f(x)3 x x3在区间( a212， a)上有最小值，则实数 a 的取值范围是( )A(1， ) B(1,4)11C(1,2 D(1,2)2考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 最值存在性问题答案 C解析 由 f( x)33 x20，得 x1.当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：x (，1) 1 (1,1) 1 (1，)f( x) 0 0 f(x) 2 2 由此得 a2120，即6 b0，0f(2)2 c，解得 c2.故实数 c 的取值范围为(

3、，1)(2，)引申探究 若本例中条件不变， “把(2)中对 x1,2，不等式 f(x)c ，12 32所以 f(1) c 为最小值32因为存在 x1,2，不等式 f(x)f(1) c ，即 2c22 c30，32解得 cR.故实数 c 的取值范围为 R.反思与感悟 分离参数求解不等式恒成立问题的步骤4跟踪训练 2 (1)已知函数 f(x)2 xln x， g(x) x2 ax3 对一切 x(0，)， f(x) g(x)恒成立，则 a 的取值范围是_考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 利用导数求恒成立中参数的取值范围答案 (，4解析 由 2xln x x2 ax3，得 a2ln x x .

4、3x设 h(x)2ln x x(x0)3x则 h( x) ，x 3x 1x2当 x(0,1)时， h( x)0， h(x)单调递增 h(x)min h(1)4. a4.(2)设 L 为曲线 C： y 在点(1,0)处的切线ln xx求 L 的方程；证明：除切点(1,0)之外，曲线 C 在直线 L 的下方考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 恒成立中的证明问题解 设 f(x) ，ln xx则 f( x) ，1 ln xx2所以 f(1)1，所以 L 的方程为 y x1.证明 设 g(x) x1 f(x)，除切点外，曲线 C 在直线 L 的下方等价于 x0 且x1， g(x)0.5g(x)满足

5、 g(1)0，且 g( x)1 f( x) .x2 1 ln xx2当 01 时， x210，ln x0，所以 g( x)0，故 g(x)在(1，)上单调递增；所以， x0 且 x1， g(x)g(1)0.所以除切点外，曲线 C 在直线 L 的下方.1函数 f(x) xe x， x0,4的最大值是( )A0 B. C. D.1e 4e4 2e2考点 利用导数求函数的最值题点 利用导数求不含参数函数的最值答案 B解析 f( x)e x xe xe x(1 x)，当 0 x1 时， f( x)0， f(x)单调递增，当 1 x4 时， f( x)0， f(x)单调递减，当 x1 时， f(x)ma

6、x f(1) .故选 B.1e2函数 f(x) xln x 的最小值为( )Ae 2 BeCe 1 D103考点 利用导数求函数的最值题点 利用导数求不含参数函数的最值答案 C解析 f(x) xln x，定义域是(0，)， f( x)1ln x，令 f( x)0，解得 x ，1e6令 f( x)0 恒成立，则实数 a 的取值范围是( )A(1，) B(，1)C1，) D(，1考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 利用导数求恒成立中参数的取值范围答案 A解析 f( x)e x1，令 f( x)0，解得 x0，令 f( x)0 恒成立，则 1 a0，解得 a1，故选 A.4已知函数 f(x)

7、x33 x22， x1， x2是区间1,1上任意两个值， M| f(x1) f(x2)|恒成立，则 M 的最小值是_考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 利用导数求恒成立中参数的取值范围答案 4解析 f( x)3 x26 x3 x(x2)，当1 x0， f(x)单调递增，当 00)在 x1 处取得极值3 c，其中 a， b， c 为常数7(1)试确定 a， b 的值；(2)讨论函数 f(x)的单调区间；(3)若对任意 x0，不等式 f(x)2 c2恒成立，求实数 c 的取值范围考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 利用导数求恒成立中参数的取值范围解 (1)由 f(x)在 x1 处取得极

8、值3 c 知 f(1) b c3 c，得 b3.又 f( x)4 ax3ln x ax4 4 bx31x x3(4aln x a4 b)，由 f(1)0，得 a4 b0， a4 b12.(2)由(1)知 f( x)48 x3ln x(x0)令 f( x)0，得 x1.当 01 时， f( x)0， f(x)为增函数因此， f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，)(3)由(2)知 f(1)3 c 既是极小值，也是(0，)内的最小值，要使 f(x)2 c2(x0)恒成立，只需3 c2 c2，即 2c2 c30.从而(2 c3)( c1)0，解得 c 或 c1.32故实数 c 的取

9、值范围为(，1 .32， )1若函数在开区间内存在最值，则极值点必落在已知区间内2已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解；若不能分离，则构造函数，利用函数的性质求最值.一、选择题1已知函数 f(x) x3 px2 qx 的图象与 x 轴切于(1,0)点，则 f(x)在1,1上的最大值、最小值分别为( )A0，4 B. ，4427C. ，0 D2,04278考点 利用导数求函数的最值题点 利用导数求不含参数函数的最值答案 B解析 由题意得Error!即Error! 得Error!则 f(x) x32 x2 x， f( x)3 x2

10、4 x1，令 f( x)0 得 x1 或 x ，13由 f ， f(1)4， f(1)0，(13) 427 f(x)max ， f(x)min4.4272已知 a， b 为正实数，函数 f(x) ax3 bx2 在0,1上的最大值为 4，则 f(x)在1,0上的最小值为( )A0 B.32C2 D2考点 利用导数求函数的最值题点 利用导数求含参数函数的最值答案 A解析 因为 a， b 为正实数，所以 f(x) ax3 bx2 是增函数，函数 f(x) ax3 bx2 在0,1上的最大值 f(1) a b24， a b2.在1,0上的最小值为 f(1)( a b)20.3若关于 x 的不等式 x

11、33 x3 a0 恒成立，其中2 x3，则实数 a 的最大值为( )A1 B1C5 D21考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围答案 D解析 若关于 x 的不等式 x33 x3 a0 恒成立，则 a x33 x3 在2,3上恒成立，令 f(x) x33 x3， x2,3，则 f( x)3 x233( x1)( x1)，令 f( x)0，解得11 或 x0 恒成立，则实数 m 的取值范围是( )A. B.( ，e 12 ) (e 12 ， )C(，e1) D(e1，)考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围答案 A解析

12、 当 x(0,3)时，关于 x 的不等式 ex x2 mx0 恒成立，即为 2m10， f(x)单调递增可得 f(x)在 x1 处取得最小值 e，即有 2m10 时， f(x)f(3)1，又 f(x) x33 x21 在 a，)上的最大值为 1， a 的取值范围为3,06关于函数 f(x)(2 x x2)ex的命题： f(x)0 的解集是 x|00，所以 f(x)0，即需 2x x20 解得 x|01 时， f( x)0；当10，对一切实数 x 恒成立，令 h(x)e x x a，则 h(x)min0， h( x)e x1，令 h( x)0 得 x0，当 x0 时， h( x)0，则 h(x)

13、在(0，)上单调递增，当 x0 时， h(x)取得极小值，即最小值为 h(0)1 a，1 a0，即 a1.10已知函数 f(x) ax33 x1，且对任意 x(0,1， f(x)0 恒成立，则实数 a 的取值范围是_考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围12答案 4，)解析 当 x(0,1时，不等式 ax33 x10 可化为 a .3x 1x3设 g(x) ， x(0,1，3x 1x3则 g( x) .3x3 3x 13x2x6 6(x 12)x4令 g( x)0，得 x .12当 x 变化时， g( x)， g(x)的变化情况如下表：x (0， 12)

14、 12 (12， 1g( x) 0 g(x) 极大值 因此 g(x)的最大值等于极大值 g 4，则实数 a 的取值范围是4，)(12)11已知函数 f(x) axln x， g(x)e x ax，其中 a 为正实数，若 f(x)在(1，)上无最小值，且 g(x)在(1，)上是单调递增函数，则实数 a 的取值范围为_考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 最值存在性问题答案 1，e解析 f(x) axln x(x0)， f( x) a ，1x ax 1x若 f(x)在(1，)上无最小值，则 f(x)在(1，)上单调， f( x)0 在(1，)上恒成立，或 f( x)0 在(1，)上恒成立， a

15、 或 a ，而函数 y 在(1，)上单调递减，1x 1x 1x当 x1 时，函数 y 取得最大值 1， a1 或 a0，而 a 为正实数，故 a1，又 g(x)e x ax， g( x)e x a，函数 g(x)e x ax 在区间(1，)上单调递增， g( x)e x a0 在区间(1，)上恒成立，13 a(e x)min在区间(1，)上恒成立而 exe， ae.综合， a1，e三、解答题12已知函数 f(x) x3 ax2 bx c(a， b， cR)(1)若函数 f(x)在 x1 和 x3 处取得极值，试求 a， b 的值；(2)在(1)的条件下，当 x2,6时， f(x)54；当 c0

16、，函数 f(x)单调递增；在(1,2)上，有 f( x)0，函数 f(x)单调递增；在(1,2)上，有 f( x)1，则 01，1ea1.综上所述， a 的取值范围是 a .1e2四、探究与拓展14设直线 x t 与函数 f(x) x2， g(x)ln x 的图象分别交于点 M， N，则当| MN|达到最小时 t 的值为( )A1 B. C. D.12 52 22考点 利用导数求函数的最值题点 利用导数求不含参数函数的最值答案 D解析 由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出| MN| y t2ln t(t0)15y2 t .1t 2t2 1t 2(t 22)(t 22)t当 0 时， y0，

17、可知 y 在 上单调递增22 (22， )故当 t 时，| MN|有极小值也是最小值2215已知函数 f(x)ln x a(1 x)(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 f(x)有最大值，且最大值大于 2a2 时，求 a 的取值范围考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 已知最值求参数解 (1) f(x)的定义域为(0，)， f( x) a.1x若 a0，则 f( x)0，所以 f(x)在(0，)上单调递增若 a0，则当 x 时， f( x)0；(0，1a)当 x 时， f( x)0 时， f(x)在 上单调递增，(0，1a)在 上单调递减(1a， )(2)由(1)知，当 a0 时， f(x)在(0，)上无最大值；当 a0 时， f(x)在 x 处取得极大值且为最大值，最大值为 f ln a ln 1a (1a) (1a) (1 1a)a a1.16因此 f 2a2 等价于 ln a a11 时， g(a)0.因此， a 的取值范围是(0,1)