江苏省2019高考数学二轮复习专题七应用题第2讲解三角形、几何中的应用题学案.doc
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1、1第 2 讲 解三角形、几何中的应用题考情考向分析 和三角形有关的应用题,可以利用正弦定理、余弦定理解三角形,进而解决实际问题;和几何图形有关的应用题,可以利用平面几何知识或者建立平面直角坐标系转化成解析几何问题,利用直线或者曲线方程解决热点一 和解三角形有关的应用题例 1 如图所示,在某东西公交路线的南侧有一个临时停靠站台,为了方便乘客,打算在站台的一面东西方向的长方形墙体 ABHG 上用 AB5 m, BC1 m 的矩形角钢焊接成一个简易的遮阳棚(将 AB 放在墙上)当太阳光线与水平线的夹角 分别满足下列情况时,要使此时遮阳棚的遮阴面积最大,应将遮阳棚 ABCD 所在的平面与矩形 HEFG
2、 所在的路面所成的 设置为多大角度?(1) 90;(2) 80.解 (1)如图 1,当 90时,太阳光线垂直于地面,2遮阳棚只有与地面平行时,遮阴面积最大,故遮阳棚 ABCD 所在的平面与水平面所成角 0.(2)如图 2,在平面 CBHE 内,过点 C 作直线 IJ,与直线 HE 交于 I,与直线 HB 的延长线交于J,并使得 CIH80,由题意可知, CBH 90.在 Rt IHJ 中,tan 80 ,即 HI ,HJHI HB BJHI HB BJtan 80欲使得 HI 取到最大值,只需 HB BJ 取到最大值,而站台高 HB 为定长,故只需 BJ 取到最大值即可在 BCJ 中, BJC
3、10, BCJ 80,由正弦定理得, ,BJsin 80 BCsin BJC 1sin 10即 BJ ,sin 80sin 10故当 10时, BJ 取到最大值,此时 HI 也取到最大值,又 S 阴 GHHI5 HI,所以此时遮阳棚的遮阴面积最大思维升华 用正、余弦定理去解决具体设计问题时,应关注图形的特点,找出已知量及所求的量,转化为三角形的边角,再利用正弦、余弦定理构造方程或三角函数式求解跟踪演练 1 如图,某公园有三条观光大道 AB, BC, AC 围成直角三角形,其中直角边BC200 m,斜边 AB400 m现有甲、乙、丙三位小朋友分别在 AB, BC, AC 大道上嬉戏,所在位置分别
4、记为点 D, E, F.(1)若甲、乙都以每分钟 100 m 的速度从点 B 出发在各自的大道上奔走,到大道的另一端时即停,乙比甲晚 2 分钟出发,当乙出发 1 分钟后,求此时甲、乙两人之间的距离;3(2)设 CEF ,乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的 2 倍,且 DEF ,请将甲、乙 3之间的距离 y 表示为 的函数,并求甲、乙之间的最小距离解 (1)依题意得 BD300 m, BE100 m,在 ABC 中,cos B , B ,BCAB 12 3在 BDE 中,由余弦定理,得DE2 BD2 BE22 BDBEcos B300 2100 22300100 70 000,12 DE100
5、m,7答 甲、乙两人之间的距离为 100 m.7(2)由题意得 EF2 DE2 y, BDE CEF ,在 Rt CEF 中, CE EFcos CEF2 ycos ,在 BDE 中,由正弦定理得 ,BEsin BDE DEsin DBE即 ,200 2ycos sin ysin 60 y ,0 ,10033cos sin 503sin( 3) 2当 时, y 有最小值 50 . 6 3答 甲、乙之间的最小距离为 50 m.3热点二 和立体几何有关的应用题例 2 (2018淮安四市模拟)某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品,该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成,圆锥的侧面用于艺术装饰,如图
6、1.为了便于设计,可将该礼品看成是由圆 O 及其内接等腰三角形 ABC 绕底边 BC 上的高所在直线 AO 旋转 180而成,如图2.已知圆 O 的半径为 10 cm,设 BAO ,00,当 x 时, f( x)0),代入点 B 的坐标,得 p ,12所以抛物线的方程为 y2 x.因为 CD a,所以 AE EF a,则 DE2 a a2,所以 f(a) a(2 a a2) a3 a22 a,定义域为(0,1)(2)由(1)可知, f(a) a3 a22 a,则 f( a)3 a22 a2,令 f( a)0,得 a . 7 13当 0 a 时,7 13f( a)0, f(a)在 上单调递增;(
7、0,7 13 )当 a1 时,7 13f( a)0, f(a)在 上单调递减(7 13 , 1)所以当 a 时, f(a)取得极大值,也是最大值7 13答 当 a 时,矩形草坪 CDEF 的面积最大7 131(2016江苏)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部分的形状是正四棱锥 P-A1B1C1D1,下部分的形状是正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高 OO1是9正四棱锥的高 PO1的 4 倍(1)若 AB6 m, PO12 m,则仓库的容积是多少?(2)若正四棱锥的侧棱长为 6 m,则当 PO1为多少时,仓库的容积最大?解 (1) V 6226 2243
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