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1、1习题课 离散型随机变量的均值学习目标 1.进一步熟练掌握均值公式及性质.2.能利用随机变量的均值解决实际生活中的有关问题类型一 放回与不放回问题的均值例 1 在 10 件产品中有 2 件次品，连续抽 3 次，每次抽 1 件，求：(1)不放回抽样时，抽取次品数 的均值；(2)放回抽样时，抽取次品数 的均值考点 二项分布的计算及应用题点 二项分布与超几何分布的识别解 (1)方法一 P( 0) ；C38C310 715P( 1) ；C12C28C310 715P( 2) .C2C18C310 115随机变量 的分布列为 0 1 2P 715 715 115E( )0 1 2 .715 715 11

2、5 352方法二 由题意知 P( k) (k0,1,2)，Ck2C3 k8C310随机变量 服从超几何分布， n3， M2， N10， E( ) .nMN 3210 35(2)由题意知 1 次取到次品的概率为 ，210 15随机变量 服从二项分布 B ，(3，15) E( )3 .15 35反思与感悟 不放回抽样服从超几何分布，放回抽样服从二项分布，求均值可利用公式代入计算跟踪训练 1 甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有 m 个球，乙袋中共有 2m 个球，从甲袋中摸出 1 个球为红球的概率为 ，从乙袋中摸出 1 个球为红球的概率为25P2.(1)若 m10，求甲袋中红球的个

3、数；(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出 1 个红球的概率是 ，求 P2的值；13(3)设 P2 ，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出 1 个球，并且从甲袋中摸 115次，从乙袋中摸 2 次设 表示摸出红球的总次数，求 的分布列和均值考点 常见的几种均值题点 相互独立事件的均值解 (1)设甲袋中红球的个数为 x，依题意得 x10 4.25(2)由已知，得 ，解得 P2 .25m 2mP23m 13 310(3) 的所有可能取值为 0,1,2,3.P( 0) ，35 45 45 48125P( 1) C ，25 45 45 35 12 15 45 561253P( 2) C 2

4、 ，25 12 15 45 35 (15) 19125P( 3) 2 .25 (15) 2125所以 的分布列为 0 1 2 3P 48125 56125 19125 2125所以 E( )0 1 2 3 .48125 56125 19125 2125 45类型二 与排列、组合有关的分布列的均值例 2 如图所示，从 A1(1,0,0)， A2(2，0,0)， B1(0,1,0)， B2(0,2,0)， C1 (0，0,1)，C2(0,0,2)这 6 个点中随机选取 3 个点，将这 3 个点及原点 O 两两相连构成一个“立体” ，记该“立体”的体积为随机变量 V(如果选取的 3 个点与原点在同一

5、个平面内，此时“立体”的体积 V0)(1)求 V0 的概率；(2)求均值 E(V)考点 常见的几种均值题点 与排列、组合有关的随机变量的均值解 (1)从 6 个点中随机选取 3 个点总共有 C 20(种)取法，选取的 3 个点与原点在同一个36平面内的取法有 C C 12(种)，1334因此 V0 的概率为 P(V0) .1220 35(2)V 的所有可能取值为 0，16132343则 P(V0) ， P ，35 (V 16) C3C36 120P ，(V13) C23C36 320P ，(V23) C23C36 320P .(V43) C3C36 1204因此 V 的分布列为V 0 16 1

6、3 23 43P 35 120 320 320 120所以 E(V)0 .35 16 120 13 320 23 320 43 120 940反思与感悟 解此类题的关键是搞清离散型随机变量 X 取每个值时所对应的随机事件，然后利用排列、组合知识求出 X 取每个值时的概率，利用均值的公式便可得到跟踪训练 2 某位同学记住了 10 个数学公式中的 m(m10)个，从这 10 个公式中随机抽取 3个，若他记住 2 个的概率为 .12(1)求 m 的值；(2)分别求他记住的数学公式的个数 X 与没记住的数学公式的个数 Y 的均值 E(X)与 E(Y)，比较 E(X)与 E(Y)的关系，并加以说明考点

7、超几何分布的均值题点 超几何分布的均值解 (1) P(X2) ，C2mC 110 mC310 12即 m(m1)(10 m)120，且 m2.所以 m 的值为 6.(2)由原问题知， E(X)0 1 2 3 ，130 310 12 16 95没记住的数学公式有 1064 个，故 Y 的可能取值为 0,1，2,3.P(Y0) ，C04C36C310 16P(Y1) ，C14C26C310 12P(Y2) ，C24C16C310 310P(Y3) ，C34C06C310 130所以 Y 的分布列为Y 0 1 2 3P 16 12 310 1305E(Y)0 1 2 3 ，16 12 310 130

8、 65由 E(X) ， E(Y) 得出95 65 E(X)E(Y)说明记住公式个数的均值大于没记住公式个数的均值 E(X) E(Y)3.说明记住和没记住的均值之和等于随机抽取公式的个数类型三 与互斥、独立事件有关的分布列的均值例 3 某学生需依次进行身体体能和外语两个项目的训练及考核每个项目只有一次补考机会，补考不及格者不能进入下一个项目的训练(即淘汰)，若该学生身体体能考核合格的概率是 ，外语考核合格的概率是 ，假设每一次考核是否合格互不影响12 23假设该生不放弃每一次考核的机会用 表示其参加补考的次数，求随机变量 的均值考点 常见的几种均值题点 相互独立事件的均值解 的可能取值为 0,1

9、,2.设该学生第一次，第二次身体体能考核合格分别为事件 A1， A2，第一次，第二次外语考核合格分别为事件 B1， B2，则 P( 0) P(A1B1) ，12 23 13P( 2) P( 1A2 1 B2) P( 1A2 1 2)A B A B B .(112) 12 (1 23) 23 (1 12) 12 (1 23) (1 23) 112根据分布列的性质，可知 P( 1)1 P( 0) P( 2) .712所以 的分布列为 0 1 2P 13 712 112E( )0 1 2 .13 712 112 34反思与感悟 若随机变量取某一值的概率较为复杂或不好求时，可以利用分布列的性质求其概率

10、跟踪训练 3 甲、乙两人进行围棋比赛，每局比赛甲胜的概率为 ，乙胜的概率为 ，没有和13 23棋，采用五局三胜制，规定某人先胜三局则比赛结束，求比赛局数 X 的均值考点 常见的几种均值6题点 相互独立事件的均值解 由题意，得 X 的所有可能取值是 3,4,5.则 P(X3)C 3C 3 ，3 (13) 3 (23) 13P(X4)C 2 C 2 ，23 (13) 23 13 23 (23) 13 23 1027P(X5)C 2 2 C 2 2 .24 (13) (23) 13 24 (23) (13) 23 827所以 X 的分布列为X 3 4 5P 13 1027 827E(X)3 4 5

11、.13 1027 827 10727类型四 均值问题的实际应用例 4 某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数， n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数(1)求 X 的分布列；(2)若要

12、求 P(X n)0.5，确定 n 的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的均值为决策依据，在 n19 与 n20 之中选其一，应选用哪个？考点 离散型随机变量的均值的性质题点 均值在实际中的应用解 (1)由柱状图并以频率代替概率可得，1 台机器在三年内需更换的易损零件数为78,9,10,11 的概率分别为 0.2，0.4,0.2,0.2，且 X 的可能取值为 16,17,18,19,20,21,22，从而P(X16)0.20.20.04；P(X17)20.20.40.16；P(X18)20.20.20.40.40.24；P(X19)20.20.220.40.20.24；P(X20)20.20.

13、40.20.20.2；P(X21)20.20.20.08；P(X22)0.20.20.04.所以 X 的分布列为X 16 17 18 19 20 21 22P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04(2)由(1)知 P(X18)0.44， P(X19)0.68，故 n 的最小值为 19.(3)记 Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)当 n19 时，E(Y)192000.68(19200500)0.2(192002500)0.08(192003500)0.044 040.当 n20 时，E(Y)202000.88(20200500)0.08(20

14、2002500)0.044 080.可知当 n19 时所需费用的均值小于当 n20 时所需费用的均值，故应选 n19.反思与感悟 解答概率模型的三个步骤(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值(3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论跟踪训练 4 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数 的分布列为 1 2 3 4 5P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1商场经销一件该商品，采用 1 期付款，其利润为 200 元；分 2 期或 3 期付款，其利润为 250元；分 4 期或 5 期付款，其

15、利润为 300 元 表示经销一件该商品的利润(1)求事件 A“购买该商品的 3 位顾客中，至少有 1 位采用 1 期付款”的概率 P(A)；(2)求 的分布列及均值 E( )考点 离散型随机变量的均值的性质8题点 均值在实际中的应用解 (1)由 A 表示事件“购买该商品的 3 位顾客中至少有 1 位采用 1 期付款”知， 表示事件A“购买该商品的 3 位顾客中无人采用 1 期付款” P( )(10.4) 30.216，AP(A)1 P( )10.2160.784.A(2) 的可能取值为 200,250,300.P( 200) P( 1)0.4，P( 250) P( 2) P( 3)0.20.2

16、0.4，P( 300) P( 4) P( 5)0.10.10.2，因此 的分布列为 200 250 300P 0.4 0.4 0.2E( )2000.42500.43000.2240(元)1若随机变量 X 的分布列如下表所示，则 E(X)等于( )X 0 1 2 3 4 5P 2x 3x 7x 2x 3x xA. B. C. D.118 19 209 259考点 离散型随机变量的均值的概念与计算题点 离散型随机变量均值的计算答案 C解析 因为 2x3 x7 x2 x3 x x18 x1，所以 x ，因此 E(X)11802 x13 x27 x32 x43 x5 x40 x40 .118 209

17、2某一供电网络有 n 个用电单位，每个单位在一天中用电的机会是 p，则供电网络中一天平均用电的单位个数是( )A np(1 p) B npC n D p(1 p)考点 二项分布、两点分布的均值题点 二项分布的均值9答案 B解析 用电单位 X B(n， p)， E(X) np.3口袋中有编号分别为 1,2,3 的三个大小和形状相同的小球，从中任取 2 个，则取出的球的最大编号 X 的均值为( )A. B. C2 D.13 23 83考点 超几何分布的均值题点 超几何分布的均值答案 D解析 X 可能取值为 2,3.P(X2) ， P(X3) .所以 E(X)1C23 13 C12C23 23 2

18、3 2 .故选 D.13 23 23 834某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的 40%.在一次考试中，男、女生平均分数是75,80，则这次考试该年级学生平均分数为_考点 离散型随机变量的均值的概念与计算题点 离散型随机变量均值的计算答案 78解析 平均成绩为 75 8078.40100 601005某银行规定，一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的 6 个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝试若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定(1)求当天小

19、王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为 X，求 X 的分布列和均值考点 常见的几种均值题点 相互独立事件的均值解 (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为 A，则 P(A) .56 45 34 12(2)依题意，得 X 所有可能的取值是 1,2,3，又 P(X1) ， P(X2) ， P(X3)16 56 15 16 1 .所以 X 的分布列为56 45 23X 1 2 310P 16 16 23所以 E(X)1 2 3 .16 16 23 521实际问题中的均值问题均值在实际中有着广泛的应用，如体育比赛的安排和成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的

20、预测，投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计2概率模型的解答步骤(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值(3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论一、选择题1已知 X B ， Y B ，且 E(X)15，则 E(Y)等于( )(n，12) (n， 13)A5 B10 C15 D20考点 二项分布、两点分布的均值题点 二项分布的均值答案 B解析 E(X) n15， n30， E(Y)30 10.12 132甲、乙两台自动车床生产同种标准的零件， X 表示甲车床生产 1 000 件产品中的次品数，Y

21、表示乙车床生产 1 000 件产品中的次品数，经过一段时间的考察， X， Y 的分布列分别是：X 0 1 2 3P 0.7 0.1 0.1 0.1Y 0 1 2 3P 0.5 0.3 0.2 0据此判定( )A甲比乙质量好 B乙比甲质量好C甲与乙质量一样 D无法判定11考点 离散型随机变量的均值的性质题点 均值在实际中的应用答案 A解析 E(X)00.710.120.130.10.6， E(Y)00.510.320.2300.7.显然 E(X)E(Y)，由均值的意义知，甲的质量比乙的质量好3一射手向靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为 0.6，现有 4 颗子弹，射击完成后剩余子弹的数目

22、 X 的均值为( )A2.44 B3.376 C2.376 D2.4考点 常见的几种均值题点 独立重复事件的均值答案 C解析 X 的可能取值为 3,2,1,0， P(X3)0.6， P(X2)0.40.60.24， P(X1)0.4 20.60.096， P(X0)0.4 30.064，所以 E(X)30.620.2410.0962.376.4抛掷两枚骰子，至少有一个 4 点或 5 点出现时，就说这次试验成功，在 10 次试验中，成功次数 X 的均值是( )A. B. C. D.103 559 809 509考点 二项分布、两点分布的均值题点 二项分布的均值答案 D解析 成功的概率为 1 ，4

23、436 59所以 X B ，所以 E(X)10 .(10，59) 59 5095有 10 件产品，其中 3 件是次品，从中任取 2 件，用 X 表示取到次品的个数，则 E(X)等于( )A. B.35 815C. D11415考点 超几何分布的均值题点 超几何分布的均值答案 A12解析 由题意知 X0,1,2，则P(X0) ，C27C210 715P(X1) ，C17C13C210 715P(X2) ，C23C210 115故 E(X)0 1 2 .715 715 115 915 356某城市有甲，乙，丙 3 个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6，且此人是否游览

24、哪个景点互不影响，设 表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值，则 E( )等于( )A1.48 B0.76C0.24 D1考点 离散型随机变量的均值的性质题点 均值在实际中的应用答案 A解析 的分布列为 1 3P 0.76 0.24E( )10.7630.241.48.7签盒中有编号为 1,2,3,4,5,6 的 6 支签，从中任意取 3 支签，设 X 为这 3 支签中号码最大的一个，则 X 的均值为( )A5 B5.25C5.8 D4.6考点 常见的几种均值题点 与排列、组合有关的均值答案 B解析 由题意可知， X 可以取 3,4,5,6，P(X3) ， P(X4)

25、，1C36 120 C23C36 320P(X5) ， P(X6) .C24C36 620 C25C36 12由均值的定义可求得 E(X)5.25.二、填空题138邮局邮寄普通信件的收费标准是：20 克以内收费 1.2 元，达到 20 克不足 40 克收费 2.4元，达到 40 克不足 60 克收费 3.6 元假设邮局每天收到的这三类信件的数量比例为811，那么一天内该邮局收寄的此类普通信件的均价是_元考点 离散型随机变量的均值的性质题点 均值在实际中的应用答案 1.56解析 设收寄信件的价格为 X，则 X 的分布列为X 1.2 2.4 3.6P 0.8 0.1 0.1E(X)1.20.82.

26、40.13.60.11.56，即一天内该邮局收寄的此类普通信件的均价为 1.56 元9某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为上海世博会志愿者，若用随机变量 表示选出的志愿者中女生的人数，则均值 E( )_.(结果用最简分数表示)考点 超几何分布的均值题点 超几何分布的均值答案 47解析 由题意知 的所有可能取值为 0,1,2，因此 P( 0) ， P( 1) ，C25C27 1021 C15C12C27 1021P( 2) ，C2C27 121 E( )0 1 2 .1021 1021 121 4710已知卖水果的某个体户，在不下雨的日子可赚 100 元，在雨天则要损失 10

27、元若该地区每年下雨的日子约有 130 天，则该个体户每天获利的均值是_(1 年按 365 天计算)考点 离散型随机变量的均值的性质题点 均值在实际中的应用答案 61解析 设该个体户每天的获利是随机变量 X，则 X 可能的取值为 100，10，其中P(X10) ， P(X100) ，所以 E(X)100 (10) 61.130365 235365 235365 13036511某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件 E 发生，则该公司要赔偿 a 元，设一年内事件 E 发生的概率为 p，为使公司收益的均值等于 a 的 10%，那么公司应要求投保人14交的保险金为_元考点 离散型随机变量的均

28、值的性质题点 均值在实际中的应用答案 (0.1 p)a解析 设要求投保人交 x 元，公司的收益额为随机变量 ，则 P( x)1 p， P( x a) p， E( ) x(1 p)( x a)p x ap， x ap0.1 a，解得 x(0.1 p)a.三、解答题12某大学志愿者协会有 6 名男同学，4 名女同学在这 10 名同学中，3 名同学来自数学学院，其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的 7 个学院，现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)(1)求选出的 3 名同学来自互不相同的学院的概率；(2)设 X 为选出的 3 名同学

29、中女同学的人数，求随机变量 X 的分布列和均值考点 超几何分布的均值题点 超几何分布的均值解 (1)设“选出的 3 名同学来自互不相同的学院”为事件 A，则 P(A) .C13C27 C03C37C310 4960所以，选出的 3 名同学来自互不相同的学院的概率为 .4960(2)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3.P(X k) (k0,1,2,3)Ck4C3 k6C310所以，随机变量 X 的分布列是X 0 1 2 3P 16 12 310 130E(X)0 1 2 3 .16 12 310 130 6513某小组共 10 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为 1,2

30、,3 的人数分别为 3,3,4.现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会(1)设 A 为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4”，求事件 A 发生的概率；(2)设 X 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 X 的分布列和均值考点 常见的几种均值题点 与排列、组合有关的随机变量的均值15解 (1)由已知事件 A：选 2 人参加义工活动，次数之和为 4，则 P(A) .C13C14 C23C210 13(2)随机变量 X 可能的取值为 0,1,2，P(X0) ，C23 C23 C24C210 415P(X1) ，C13C13 C13C14C210 715

31、P(X2) .C13C14C210 415则 X 的分布列为X 0 1 2P 415 715 415所以 E(X)0 1 2 1.415 715 415四、探究与拓展14甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得 1 分，负者得 0 分，比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时停止设甲在每局中获胜的概率为 ，乙在每局中获胜的概率为 ，23 13且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数 的均值 E( )_.考点 常见的几种均值题点 相互独立事件的均值答案 26681解析 依题意知， 的所有可能取值为 2,4,6，设每两局比赛为一轮，则第一轮结束时比赛停止的概率为 2 2 .(23) (13

32、) 59若第一轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在第一轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有 P( 2) ， P( 4) ， P( 6)59 49 59 2081 2 ，故 E( )2 4 6 .(49) 1681 59 2081 1681 2668115本着健康低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分，每小时收费 2 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算)有甲，乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)设甲，乙不超过两小时还车的概率分别为 ，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分

33、别为 ，；1412 121416两人租车时间都不会超过四小时(1)求甲，乙两人所付的租车费用相同的概率；(2)设甲，乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ，求 的分布列及均值 E( )考点 常见的几种均值题点 相互独立事件的均值解 (1)由题意，得甲，乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为 ， .14 14记甲，乙两人所付的租车费用相同为事件 A，则P(A) .14 12 12 14 14 14 516故甲，乙两人所付的租车费用相同的概率为 .516(2) 可能的取值有 0,2,4,6,8.P( 0) ，14 12 18P( 2) ，14 14 12 12 516P( 4) ，14 14 12 14 12 14 516P( 6) ，12 14 14 14 316P( 8) .14 14 116甲，乙两人所付的租车费用之和 的分布列为 0 2 4 6 8P 18 516 516 316 116 E( )0 2 4 6 8 .18 516 516 316 116 72