2018_2019学年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系章末检测试题新人教A版必修2.doc

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1、1第二章 检测试题(时间:120 分钟 满分:150 分)【选题明细表】 知识点、方法 题号点线面位置关系 1,2线面垂直、平行的判定 3,6,8,9,13,14,17空间角 4,5,7,10,15综合问题 11,12,16,18,19,20,21一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.下列说法不正确的是( D )(A)空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形(B)同一平面的两条垂线一定共面(C)过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一平面内(D)过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直解析:当直线与平面垂直时,过这条直线与已知平面垂

2、直的平面有无数个,所以 D 错误,故选D.2.设 a,b 是两条直线, 是两个平面,若 a,a,=b,则 内与 b 相交的直线与 a 的位置关系是( C )(A)平行 (B)相交(C)异面 (D)平行或异面解析:因为 a,a,=b,所以 ab.又因为 a 与 无公共点,所以 内与 b 相交的直线与 a 异面.故选 C.3.已知 m 和 n 是两条不同的直线, 和 是两个不重合的平面,下面给出的条件中一定能推出 m 的是( C )(A) 且 m (B) 且 m(C)mn 且 n (D)mn 且 解析:由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理,可知 C 正确.4.将正方形 ABCD 沿对角线 A

3、C 折起成直二面角,则直线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为( B )(A)30 (B)45 (C)60 (D)90解析:如图,当平面 BAC平面 DAC 时,取 AC 的中点 E,则 DE平面 ABC,故直线 BD 和平面 ABC 所成的角为DBE,tanDBE= =1.所以DBE=45.5.如图,长方体 ABCD A1B1C1D1中,AA 1=AB=2,AD=1,E,F,G 分别是 DD1,AB,CC1的中点,则异面直线 A1E 与 GF 所成角为( D )2(A)30 (B)45(C)60 (D)90解析:连接 EG,B1G,B1F,则 A1EB 1G,故B 1GF 为异面直线 A

4、1E 与 GF 所成的角.由AA1=AB=2,AD=1 可得 B1G= ,GF= ,B1F= ,所以 B1F2=B1G2+GF2,所以B 1GF=90,即异面直线 A1E 与 GF 所成的角为 90.故选 D.6.下列命题正确的是( C )(A)若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行(B)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行(C)若一条直线和两个相交平面都平行,则这条直线与这两个平面的交线平行(D)若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行解析:对于 A,两条直线的位置关系不能确定,故错;对于 B,两个平面不一定平行,故错;对于C,设平面 =a,l,l

5、,由线面平行的性质定理,在平面 内存在直线 bl,在平面 内存在直线 cl,所以由平行公理知 bc,从而由线面平行的判定定理可证明 b,进而由线面平行的性质定理证明得 ba,从而 la,故正确;对于 D,这两个平面平行或相交,故错.7.从空间一点 P 向二面角 l 的两个面作垂线 PE,PF,E,F 为垂足,若EPF=60,则二面角的平面角的大小为( C )(A)60 (B)120(C)60或 120 (D)不确定解析:若点 P 在二面角内,则二面角的平面角为 120,若点 P 在二面角外,则二面角的平面角为 60.8.如图,在四面体 D ABC 中,若 AB=CB,AD=CD,E 是 AC

6、的中点,则下列正确的是( C )(A)平面 ABC平面 ABD(B)平面 ABD平面 BDC(C)平面 ABC平面 BDE,且平面 ADC平面 BDE(D)平面 ABC平面 ADC,且平面 ADC平面 BDE解析:因为 AB=CB,且 E 是 AC 的中点,所以 BEAC,同理有 DEAC,于是 AC平面 BDE.因为AC 在平面 ABC 内,所以平面 ABC平面 BDE.又由于 AC平面 ACD,所以平面 ACD平面 BDE,故选 C.39.如图,在正方形 ABCD 中,E,F 分别是 BC,CD 的中点,沿 AE,AF,EF 把正方形折成一个四面体,使B,C,D 三点重合,重合后的点记为

7、P,P 点在AEF 内的射影为 O,则下列说法正确的是( A )(A)O 是AEF 的垂心 (B)O 是AEF 的内心(C)O 是AEF 的外心 (D)O 是AEF 的重心解析:如图,由题意可知 PA,PE,PF 两两垂直,所以 PA平面 PEF,从而 PAEF,而 PO平面AEF,则 POEF,因为 POPA=P,所以 EF平面 PAO,所以 EFAO,同理可知 AEFO,AFEO,所以 O 为AEF 的垂心.故选 A.10.正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为 12,底面对角线的长为 2 ,则侧面与底面所成的二面角为( C )(A)30 (B)45 (C)60 (D)90

8、解析:如图,在正四棱锥 S ABCD 中,SO底面 ABCD,E 是 BC 边中点,则SEO 即为侧面与底面所成的二面角的平面角.由题易得 SO=3,OE= ,tanSEO= ,所以SEO=60,故选 C.11.有下列命题:若直线 l 平行于平面 内的无数条直线,则直线 l;若直线 a 在平面 外,则 a;若直线 ab,b,则 a;若直线 ab,b,则 a 平行于平面 内的无数条直线.其中真命题的个数是( A )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:命题l 可以在平面 内,不正确;命题直线 a 与平面 可以是相交关系,不正确;命题a 可以在平面 内,不正确;命题正确.12.如图,已知六棱

9、锥 P ABCDEF 的底面是正六边形,PA平面 ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是( D )4(A)PBAD(B)平面 PAB平面 PBC(C)直线 BC平面 PAE(D)直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45解析:A,B,C 显然错误.因为 PA平面 ABC,所以ADP 是直线 PD 与平面 ABC 所成的角.因为 ABCDEF 是正六边形,所以 AD=2AB.因为 tanADP= = =1,所以直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45.故选 D.二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13.已知平面 ,P 且 P,过点 P 的直线 m 与 , 分别交

10、于 A,C,过点 P 的直线n 与 , 分别交于 B,D,且 PA=6,AC=9,PD=8,则 BD 的长为 . 解析:如图 1,因为 ACBD=P,所以经过直线 AC 与 BD 可确定平面 PCD.因为 ,平面 PCD=AB,平面 PCD=CD,所以 ABCD.所以 = ,即 = ,所以 BD= .如图 2,同理可证 ABCD.所以 = ,即 = ,所以 BD=24.综上所述,BD= 或 24.5答案: 或 2414.如图,在四面体 A BCD 中,BC=CD,ADBD,E,F 分别为 AB,BD 的中点,则 BD 与平面 CEF 的位置关系是 . 解析:因为 E,F 分别为 AB,BD 的

11、中点,所以 EFAD.又 ADBD,所以 EFBD.又 BC=CD,F 为 BD 的中点,所以 CFBD,又 EFCF=F,所以 BD平面 CEF.答案:垂直15.ABC 是边长为 6 的等边三角形,P 为空间一点,PA=PB=PC,P 到平面 ABC 距离为 ,则 PA 与平面 ABC 所成角的正弦值为 . 解析:过 P 作底面 ABC 的垂线,垂足为 O,连接 AO 并延长交 BC 于 E,因为 P 为边长为 6 的正三角形 ABC 所在平面外一点且 PA=PB=PC,P 到平面 ABC 距离为 ,所以 O 是三角形 ABC 的中心,且PAO 就是 PA 与平面 ABC 所成的角,因为 A

12、O= AE=2 .且 PA= = ,所以 sinPAO= = = ;即 PA 与平面 ABC 所成角的正弦值为 .答案:16.如图,点 P 在正方体 ABCD A1B1C1D1的面对角线 BC1上运动,则下列四个命题:6三棱锥 A D1PC 的体积不变;A 1P平面 ACD1;DPBC 1;平面 PDB1平面 ACD1.其中正确的命题的序号是 . 解析:如图,对于,容易证明 AD1BC 1,从而 BC1平面 AD1C,故 BC1上任意一点到平面 AD1C的距离均相等,所以以 P 为顶点,平面 AD1C 为底面的三棱锥的体积不变,即三棱锥 A D1PC 的体积不变,正确;对于,连接 A1B,A1

13、C1,容易证明 A1C1AC, 由知,AD 1BC 1,所以平面 BA1C1平面 ACD1,从而由线面平行的定义可得,正确;对于由于 DC平面 BCC1B1,所以 DCBC 1,若 DPBC 1,则 BC1平面 DCP,BC1PC,则 P 为中点,与 P 为动点矛盾,错误;对于,连接 DB1,由 DB1AC 且 DB1AD 1,可得 DB1平面 ACD1,从而由面面垂直的判定知正确.答案:三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分)17.(本小题满分 14 分)如图,在矩形 ABCD 中,AB=2AD,E 为 AB 的中点,N 为 BC 的中点,沿 DE 将ADE 折起.(1)若平面 ADE

14、平面 BCDE,求证:AB=AC;(2)若 AB=AC,求证:平面 ADE平面 BCDE.证明:(1)取 DE 的中点 M,连接 AM,因为在翻折前,四边形 ABCD 为矩形,AB=2AD,E 为 AB 的中点,所以翻折后 AD=AE,则 AMDE,又平面 ADE平面 BCDE,所以 AM平面 BCDE,所以 AMBC,又 N 为 BC 的中点,所以 MNBC,因为 AMMN=M,所以 BC平面 AMN,所以 BCAN,7又 N 为 BC 的中点,所以 AB=AC.(2)由(1)设 M 是 DE 中点,因为 N 为 BC 的中点,所以 MNDC,又 BCDC,所以 MNBC,又 AB=AC,所

15、以 BCAN,又 MNAN=N,所以 BC平面 AMN,所以 BCAM,由(1)知 AMDE,又 DE 与 BC 不平行,所以 AM平面 BCDE,又 AM平面 ADE,所以平面 ADE平面 BCDE.18.(本小题满分 14 分)如图,在四棱锥 P ABCD 中,PA平面 ABCD,底面 ABCD 为直角梯形,ABAD,ABCD,CD=AD=2AB=2AP.(1)求证:平面 PCD平面 PAD;(2)在侧棱 PC 上是否存在点 E,使得 BE平面 PAD,若存在,确定点 E 位置;若不存在,说明理由.(1)证明:因为 PA平面 ABCD,所以 PACD. 又因为 ABAD,ABCD,所以 C

16、DAD. 由可得 CD平面 PAD.又 CD平面 PCD,所以平面 PCD平面 PAD.(2)解:当点 E 是 PC 的中点时,BE平面 PAD.证明如下:设 PD 的中点为 F,连接 EF,AF,易得 EF 是PCD 的中位线,所以 EFCD,EF= CD.由题设可得 ABCD,AB= CD,所以 EFAB,EF=AB,所以四边形 ABEF 为平行四边形,所以 BEAF.又 BE平面 PAD,AF平面 PAD,所以 BE平面 PAD.19.(本小题满分 14 分)正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2,E,F,G 分别为 AB,BB 1,B1C1 的中点.(1)求证:A 1DFG;(

17、2)求二面角 A 1 DE A 的正切值.(1)证明:如图,连接 B1C,BC1,在正方体 ABCD A1B1C1D1中,因为 F,G 分别为 BB1,B1C1的中点,8所以 FGBC 1,又因为 A1DB 1C,B1CBC 1,所以 A1DFG.(2)解:过 A 作 AHED 于 H,连接 A1H,因为在正方体 ABCD A1B1C1D1中,A 1A底面 ABCD,所以 A1AED,因为 AHED,A 1AAH=A,所以 ED平面 A1AH,所以 EDA 1H,所以AHA 1是二面角 A DE A1的平面角,因为正方体的棱长为 2,E 为 AB 的中点,所以 AE=1,AD=2,所以在 Rt

18、EAD 中,AH= = = ,所以在 RtA 1AH 中,tanAHA 1= = = .所以二面角 A1 DE A 的正切值为 .20.(本小题满分 14 分)如图所示,正四棱锥 P ABCD 中,O 为底面正方形的中心,侧棱 PA 与底面 ABCD 所成的角的正切值为 .(1)求侧面 PAD 与底面 ABCD 所成的二面角的大小;(2)若 E 是 PB 的中点,求异面直线 PD 与 AE 所成角的正切值;(3)问在棱 AD 上是否存在一点 F,使 EF侧面 PBC,若存在,试确定点 F 的位置;若不存在,说明理由.解:(1)取 AD 中点 M,连接 MO,PM,依条件可知 ADMO,ADPO

19、,则PMO 为所求二面角 P AD O 的平面角.因为 PO平面 ABCD,所以PAO 为侧棱 PA 与底面 ABCD 所成的角.9所以 tanPAO= .设 AB=a,AO= a,所以 PO=AOtanPAO= a,tanPMO= = .所以PMO=60.(2)连接 AE,OE,因为 OEPD,所以OEA 为异面直线 PD 与 AE 所成的角.因为 AOBD,AOPO,所以 AO平面 PBD.又 OE平面 PBD,所以 AOOE.因为 OE= PD= = a,所以 tanAEO= = .(3)延长 MO 交 BC 于 N,取 PN 中点 G,连 EG,MG.因为 BCMN,BCPN,所以 B

20、C平面 PMN.所以平面 PMN平面 PBC.又 PM=PN,PMN=60,所以PMN 为正三角形.所以 MGPN.又平面 PMN平面 PBC=PN,所以 MG平面 PBC.取 AM 中点 F,因为 EGMF,所以 MF= MA=EG,所以 EFMG.所以 EF平面 PBC.点 F 为 AD 的四等分点.21.(本小题满分 14 分)如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 CDEF 是正方形,ABCD,CD=2AB,G 为 DE 的中点.10(1)求证:BG平面 ADF;(2)若 CD=2,ABBD,BD=BE,DBE=90,求三棱锥 A BDF 的体积.(1)证明:设 CE 与 DF 的交

21、点为 H,则点 H 为 CE 的中点,连接 HG,AH.在CDE 中,G 为 DE 的中点,H 为 CE 的中点,所以 HGCD,且 CD=2HG.又因为 ABCD,CD=2AB,所以 ABHG,且 AB=HG,所以四边形 AHGB 是平行四边形,所以 BGAH.因为 AH平面 ADF,BG平面 ADF,所以 BG平面 ADF.(2)解:因为 ABBD,BDBE,AB,BE平面 AFEB,ABBE=B,所以 BD平面 AFEB.在正方形 CDEF 中,CDDE,ABCD,所以 ABDE.又因为 ABBD,BD,BE平面 BDE,BDBE=B,所以 AB平面 BDE,所以 ABBE.在 RtBDE 中,DBE=90,BD=BE,DE=CD=2,所以 BD=BE= .因为 CD=2AB,CD=2,所以 AB=1,所以三棱锥 A BDF 的体积= = SABF DB= ABBEDB= 1 = .