版选修2_1.doc
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1、124.2 抛物线的几何性质对 应 学 生 用 书 P33太阳能是最清洁的能源,太阳能灶是日常生活中应用太阳能的典型例子太阳能灶接受面是抛物线的一部分绕其对称轴旋转一周形成的曲面它的原理是太阳光线(平行光束)射到抛物镜面上,经镜面反射后,反射光线都经过抛物线的焦点,这就是太阳能灶把光能转化为热能的理论依据问题 1:抛物线有几个焦点?提示:一个问题 2:抛物线有点像双曲线的一支,抛物线有渐近线吗?提示:没有问题 3:抛物线的顶点与椭圆、双曲线有什么不同? 提示:椭圆有四个顶点,双曲线有二个顶点,抛物线只有一个顶点抛物线的简单几何性质标准方程y22 px(p0)y22 px(p0)x22 py(p
2、0)x22 py(p0)图像范围 x0, yR x0, yR xR, y0 xR, y0对称轴 x 轴 y 轴顶点 原点性 质开口方向向右 向左 向上 向下抛物线的性质特点:(1)抛物线只有一个焦点,一个顶点,一条对称轴,一条准线,无对称中心,因此,抛物线又称为无心圆锥曲线(2)抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线2(3)抛物线的离心率定义为抛物线上的点到焦点的距离和该点到准线的距离的比,所以抛物线的离心率是确定的,为 1.(4)抛物线的焦点在对称轴上,准线垂直于对称轴,焦点到准线的距离为 p,它是一个不变量,不随抛物线位置的变化而变化,焦点与准线分别在顶点的两侧,且
3、它们到顶点的距离相等,均为 .p2对 应 学 生 用 书 P33求抛物线的标准方程与几何性质例 1 求适合下列条件的抛物线的标准方程:(1)顶点在原点,准线是 y4;(2)顶点在原点,通过点( ,6),且以坐标轴为轴3思路点拨 可先根据条件确定抛物线的焦点位置,从而设出抛物线的标准方程,再利用待定系数法求出标准方程精解详析 (1)顶点在原点,准线是 y4 的抛物线的标准方程可设为x22 py(p0)因为准线是 y4,所以 p8.因此,所求抛物线的标准方程是 x216 y.(2)若 x 轴是抛物线的轴,则设抛物线的标准方程为 y22 px,因为点( ,6)在抛3物线上,所以(6) 22 p ,解
4、得 2p12 ,故所求抛物线的标准方程为 y212 x.3 3 3若 y 轴是抛物线的轴,同理可得抛物线的标准方程为 x2 y.12一点通 利用待定系数法求抛物线的标准方程,往往与抛物线的几何性质相联系,这就要求对抛物线的标准方程的四种形式及其对应的性质的比较、辨析、应用做到熟练,特别是开口方向、焦点坐标、准线方程等1已知双曲线方程是 1,求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及x28 y29抛物线的准线方程解:双曲线 1 的右顶点坐标是(2 ,0),x28 y29 2 2 ,且抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上p2 23所求抛物线的标准方程为 y28 x,准线方程为2x2 .22抛物线的顶
5、点在原点,对称轴重合于椭圆 9x24 y236 的短轴所在的直线,抛物线焦点到顶点的距离为 3,求抛物线的方程及抛物线的准线方程解:椭圆的方程可化为 1,x24 y29其短轴在 x 轴上,抛物线的对称轴为 x 轴,设抛物线的方程为 y22 px 或 y22 px(p0)抛物线的焦点到顶点的距离为 3,即 3, p6,p2抛物线的标准方程为 y212 x 或 y212 x,其准线方程分别为 x3 和 x3.抛物线几何性质的应用例 2 已知抛物线的焦点 F 在 x 轴上,直线 l 过 F 且垂直于 x 轴, l 与抛物线交于A、 B 两点, O 为坐标原点,若 AOB 的面积为 4,求此抛物线的标
6、准方程思路点拨 设出抛物线的方程,表示出 AOB 的面积,利用面积列方程求解精解详析 由题意,设抛物线方程为 y22 mx(m0),焦点 F( ,0),直线m2l: x ,m2 A、 B 两点坐标为( , m)、( , m)m2 m2 AB2| m|. AOB 的面积为 4, | |2|m|4,12 m2 m2 ,抛物线方程为 y24 x.2 2一点通 抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用,但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含条件例 2 的关键是根据对称性求出线段| AB|的长,进而通过面积求出 m.3抛物线 y24 x 的焦点为 F,点 P 为抛物线上的动点,点 M 为其准
7、线上的动点,当 FPM 为等边三角形时,其面积为_解析:据题意知, FPM 为等边三角形, PF PM FM, PM抛物线的准线设 P4,则 M(1, m),等边三角形边长为 1 ,又由 F(1,0), PM FM,得 1 (m24, m) m24 m24,得 m2 ,等边三角形的边长为 4,其面积为 4 .(1 1)2 m2 3 3答案:4 34(江西高考)抛物线 x22 py(p0)的焦点为 F,其准线与双曲线 1 相交于x23 y23A, B 两点,若 ABF 为等边三角形,则 p_.解析:由 x22 py(p0)得焦点 F ,准线 l 为 y ,所以可求得抛物线的准线(0,p2) p2
8、与双曲线 1 的交点 A , B ,所以 AB ,x23 y23 ( 12 p22 , p2) (12 p22 , p2) 12 p2则 AF AB ,所以 sin ,即 ,解得 p6.12 p2pAF 3 p12 p2 32答案:65已知 A、 B 是抛物线 y22 px(p0)上两点, O 为坐标原点,若 OA OB,且 ABO 的垂心恰是此抛物线的焦点 F,求直线 AB 的方程解: ABO 是等腰三角形, A、 B 关于 x 轴对称, AB 垂直于 x 轴设直线 AB 方程为 x a,则 y22 pa.可设 A(a, ), B(a, )2pa 2pa而焦点 F 为 (p2, 0) kFA
9、 , kOB .2paa p2 2paa kFAkOB1, 1.2pa( r(2pa)(a p2)a a p.52 AB 的方程为 x p.52抛物线中的最值问题例 3 求抛物线 y24 x 上到焦点 F 的距离与到点 A(3,2)的距离之和最小的点的坐标,并求出这个最小值5思路点拨 可以设抛物线上的点为 P,要求 PA PF 的最小值,可利用抛物线定义,把 PF 转化为 P 到准线的距离求解精解详析 设 P是抛物线 y24 x 上的任意一点,如图,过 P作抛物线的准线 l的垂线,垂足为 D,连结 P F,由抛物线定义可知 P F P D. P A P F P A P D.过 A 作准线 l
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