（通用版）2019版高考数学二轮复习第一部分第二层级重点增分专题八空间位置关系的判断与证明讲义理（普通生，含解析）.doc

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1、1重点增分专题八 空间位置关系的判断与证明全国卷 3 年考情分析年份 全国卷 全国卷 全国卷直线与平面所成的角、正方体的截面T 12求异面直线所成的角T 92018面面垂直的证明T 18(1) 线面垂直的证明T 20(1)面面垂直的证明T 19(1)求异面直线所成的角T 10圆锥、空间线线角的求解T 162017 面面垂直的证明T 18(1)线面平行的证明T 19(1)面面垂直的证明T 19(1)求异面直线所成的角T 11空间中线、面位置关系的判定与性质T 142016面面垂直的证明T 18(1)翻折问题、线面垂直的证明T 19(1)线面平行的证明T 19(1)(1)高考对此部分的命题较为稳定

2、，一般为“一小一大”或“一大” ，即一道选择题(或填空题)和一道解答题或只考一道解答题(2)选择题一般在第 911 题的位置，填空题一般在第 14 题的位置，多考查线面位置关系的判断，难度较小(3)解答题多出现在第 18 或 19 题的第一问的位置，考查空间中平行或垂直关系的证明，难度中等空间点、线、面的位置关系 考 点 一保 分 考 点 练 后 讲 评大稳定 常 规 角 度 考 双 基1. 已知 是一个平面， m， n 是两条直线， A 是一个点，若判 定 直 线 间 的 位 置 关 系 m ， n ，且 A m， A ，则 m， n 的位置关系不可能是( )A垂直 B相交C异面 D平行解析

3、：选 D 因为 是一个平面， m， n 是两条直线，A 是一个点， m ， n ，且 A m， A ，所以 n 在平面 内， m 与平面 相交，且 A 是 m 和平面 相交的点，所以 m 和 n 异面或相交，一定不平行22. 已知直线 m， l，平面 ， ，且 m ， l ，给出下列命题：命 题 真 假 的 判 定 若 ，则 m l；若 ，则 m l；若 m l，则 ；若 m l，则 .其中正确的命题是( )A BC D解析：选 A 对于，若 ， m ，则 m ，又 l ，所以 m l，故正确，排除 B.对于，若 m l， m ，则 l ，又 l ，所以 .故正确故选 A.3. 如图，在正方形

4、 ABCD 中， E， F 分别是 BC， CD 的中点，线 面 垂 直 、 面 面 垂 直 的 判 定 G 是 EF 的中点，现在沿 AE， AF 及 EF 把这个正方形折成一个空间图形，使 B， C， D 三点重合，重合后的点记为 H，那么，在这个空间图形中必有( )A AG平面 EFH B AH平面 EFHC HF平面 AEF D HG平面 AEF解析：选 B 根据折叠前、后 AH HE， AH HF 不变，得 AH平面 EFH，B 正确；过 A 只有一条直线与平面 EFH 垂直，A 不正确； AG EF， EF GH， AG GH G， EF平面 HAG，又 EF平面 AEF，平面HA

5、G AEF，过 H 作直线垂直于平面 AEF，一定在平面 HAG 内，C 不正确；由条件证不出 HG平面 AEF，D 不正确故选 B.4. (2018全国卷)在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E 为棱 CC1的求 异 面 直 线 所 成 的 角 中点，则异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为( )A. B.22 32C. D.52 72解析：选 C 如图，连接 BE，因为 AB CD，所以 AE 与 CD 所成的角为 EAB.在 Rt ABE 中，设 AB2，则 BE ，则 tan 5 EAB ，所以异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为 .BEAB 52 52解题方略 判断与空

6、间位置关系有关命题真假的 3 种方法3(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定(3)借助于反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断小创新 变 换 角 度 考 迁 移1. 设 l， m， n 为三条不同的直线，其中 m， n 在平面 内，则与 充 要 条 件 的 交 汇 “l ”是“ l m 且 l n”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 A 当 l 时，

7、 l 垂直于 内的任意一条直线，由于 m， n ，故“ l m且 l n”成立，反之，因为缺少 m， n 相交的条件，故不一定能推出“ l ”，故选 A.2. 某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如下检查项目线 面 位 置 中 的 创 新 项目：折叠状态下(如图 1)，检查四条桌腿长相等；项目：打开过程中(如图 2)，检查 OM ON O M O N；项目：打开过程中(如图 2)，检查 OK OL O K O L；项目：打开后(如图 3)，检查123490 ；项目：打开后(如图 3)，检查 AB CD A B C D.在检查项目的组合中，可以判断“桌子打开之后桌面与地面平行”的是( )A BC D

8、解析：选 B A 选项，项目和项目可推出项目，若 MON M O N，则 MN 较低， M N较高，所以不平行，错误；B 选项，因为123490 ，所以平面ABCD平面 A B C D，因为 AB A B，所以 AA平行于地面，由知，O1O1 AA平面 MNN M，所以桌面平行于地面，故正确；C 选项，由得，OM ON， O1A AA， O1 A AA， AB A B，所以 AA BB，但 O1A 与 O1 A是否相等不确定，所以不确定 O1O1与 BB是否平行，又 O1O1 MN，所以不确定 BB与4MN 是否平行，故错误；D 选项， OK OL O K O L，所以 AA BB，但不确定

9、OM与 ON， O M， O N的关系，所以无法判断 MN 与地面的关系，故错误综上，选 B.3. (2018全国卷)在长方体 ABCDA1B1C1D1中， AB BC2， AC1线 面 角 与 体 积 交 汇 与平面 BB1C1C 所成的角为 30，则该长方体的体积为( )A8 B6 2C8 D82 3解析：选 C 如图，连接 AC1， BC1， AC. AB平面 BB1C1C， AC1B 为直线 AC1与平面 BB1C1C 所成的角， AC1B30 .又AB BC2，在 Rt ABC1中， AC1 4.在 Rt ACC1中， CC12sin 30 2 ，AC21 AC2 42 22 22

10、2 V 长方体 ABBCCC1222 8 .2 24. (2018全国卷)已知圆锥的顶点为 S，母线 SA， SB 所成角的线 面 角 与 面 积 交 汇 余弦值为 ， SA 与圆锥底面所成角为 45，若 SAB 的面积为 5 ，则该圆锥的侧面积为78 15_解析：如图， SA 与底面成 45角， SAO 为等腰直角三角形设 OA r，则 SO r， SA SB r.2在 SAB 中，cos ASB ，78sin ASB ，158 S SAB SASBsin ASB12 ( r)2 5 ，12 2 158 15解得 r2 ，10 SA r4 ，即母线长 l4 ，2 5 5 S 圆锥侧 rl2

11、4 40 .10 5 2答案：40 2空间平行、垂直关系的证明 考 点 二增 分 考 点 深 度 精 研析母题 高 考 年 年 “神 ”相 似5典例 如图，在四棱锥 PABCD 中，AB CD， AB AD， CD2 AB，平面 PAD底面 ABCD， PA AD， E 和F 分别是 CD 和 PC 的中点，求证：(1)PA底面 ABCD；(2)BE平面 PAD；(3)平面 BEF平面 PCD.证明 (1)平面 PAD底面 ABCD，且 PA 垂直于这两个平面的交线 AD， PA平面 PAD， PA底面 ABCD.(2) AB CD， CD2 AB， E 为 CD 的中点， AB DE，且 A

12、B DE.四边形 ABED 为平行四边形 BE AD.又 BE平面 PAD， AD平面 PAD， BE平面 PAD.(3) AB AD，且四边形 ABED 为平行四边形 BE CD， AD CD，由(1)知 PA底面 ABCD. PA CD. PA AD A， PA平面 PAD， AD平面 PAD， CD平面 PAD，又 PD平面 PAD， CD PD. E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点， PD EF， CD EF.又 BE CD 且 EF BE E， CD平面 BEF.又 CD平面 PCD，平面 BEF平面 PCD.练子题 高 考 年 年 “形 ”不 同1在本例条件下，证明平面 B

13、EF平面 ABCD.证明：如图，连接 AE， AC，设 AC BE O，连接 FO.6 AB CD， CD2 AB，且 E 为 CD 的中点， AB 綊 CE.四边形 ABCE 为平行四边形 O 为 AC 的中点，则 FO 綊 PA，12又 PA平面 ABCD， FO平面 ABCD.又 FO平面 BEF，平面 BEF平面 ABCD.2在本例条件下，若 AB BC，求证 BE平面 PAC.证明：如图，连接 AE， AC，设 AC BE O. AB CD， CD2 AB，且 E 为 CD 的中点 AB 綊 CE.又 AB BC，四边形 ABCE 为菱形， BE AC.又 PA平面 ABCD， BE

14、平面 ABCD， PA BE.又 PA AC A， PA平面 PAC， AC平面 PAC， BE平面 PAC.解题方略1直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理： a ， b ， a ba .(2)线面平行的性质定理： a ， a ， ba b.(3)面面平行的判定定理： a ， b ， a b P， a ， b .(4)面面平行的性质定理： ， a， ba b.2直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理： m ， n ， m n P， l m， l nl .(2)线面垂直的性质定理： a ， b a b.(3)面面垂直的判定定理： a ， a .(4)面面垂直的性质定

15、理： ， l， a ， a la .多练强化1.(2019 届高三郑州模拟)如图，四边形 ABCD 与四边形ADEF 均为平行四边形， M， N， G 分别是 AB， AD， EF 的中点求证：(1) BE平面 DMF；(2)平面 BDE平面 MNG.7证明：(1)如图，连接 AE，则 AE 必过 DF 与 GN 的交点 O，连接 MO，则 MO 为 ABE 的中位线，所以 BE MO，又 BE平面 DMF， MO平面 DMF，所以 BE平面 DMF.(2)因为 N， G 分别为平行四边形 ADEF 的边 AD， EF 的中点，所以 DE GN，又 DE平面 MNG， GN平面 MNG，所以

16、DE平面 MNG.又 M 为 AB 的中点， N 为 AD 的中点，所以 MN 为 ABD 的中位线，所以 BD MN，又 BD平面 MNG， MN平面 MNG，所以 BD平面 MNG，又 DE 与 BD 为平面 BDE 内的两条相交直线，所以平面 BDE平面 MNG.2.如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAB平面ABCD， AD BC， PA AB， CD AD， BC CD AD.12(1)求证： PA CD.(2)求证：平面 PBD平面 PAB.证明：(1)因为平面 PAB平面 ABCD，平面 PAB平面 ABCD AB，又因为 PA AB，所以 PA平面 ABCD，又 CD平面

17、ABCD，所以 PA CD.(2)取 AD 的中点为 E，连接 BE，由已知得， BC ED，且 BC ED，所以四边形 BCDE 是平行四边形，又 CD AD， BC CD，所以四边形 BCDE 是正方形，连接 CE，所以 BD CE.又因为 BC AE， BC AE，所以四边形 ABCE 是平行四边形，所以 CE AB，则 BD AB.由(1)知 PA平面 ABCD，所以 PA BD，8又因为 PA AB A，所以 BD平面 PAB，因为 BD平面 PBD，所以平面 PBD平面 PAB.平面图形中的折叠问题 考 点 三增 分 考 点 讲 练 冲 关典例 (2019 届高三湖北五校联考)如图

18、，在直角梯形 ABCD 中， ADC90 ，AB CD， AD CD AB2， E 为 AC 的中点，将 ACD 沿 AC 折起，使折起后的平面 ACD 与平12面 ABC 垂直，如图.在图所示的几何体 DABC 中(1)求证： BC平面 ACD；(2)点 F 在棱 CD 上，且满足 AD平面 BEF，求几何体 FBCE 的体积解 (1)证明： AC 2 ，AD2 CD2 2 BAC ACD45 ， AB4，在 ABC 中， BC2 AC2 AB22 ACABcos 458， AB2 AC2 BC216， AC BC，平面 ACD平面 ABC，平面 ACD平面 ABC AC， BC平面 ABC

19、， BC平面 ACD.(2) AD平面 BEF， AD平面 ACD，平面 ACD平面 BEF EF， AD EF， E 为 AC 的中点， EF 为 ACD 的中位线，由(1)知， VFBCE VBCEF S CEFBC，13S CEF S ACD 22 ，14 14 12 12 VFBCE 2 .13 12 2 23解题方略 平面图形折叠问题的求解方法(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折9叠前的图形多练

20、强化如图，在矩形 ABCD 中， AB3， BC4， E， F 分别在线段 BC， AD 上， EF AB，将矩形 ABEF 沿 EF 折起，记折起后的矩形为 MNEF，且平面 MNEF平面 ECDF，如图.(1)求证： NC平面 MFD；(2)若 EC3，求证： ND FC；(3)求四面体 NEFD 体积的最大值解：(1)证明：四边形 MNEF 和四边形 EFDC 都是矩形， MN EF， EF CD， MN EF CD， MN 綊 CD.四边形 MNCD 是平行四边形， NC MD. NC平面 MFD， MD平面 MFD， NC平面 MFD.(2)证明：连接 ED，平面 MNEF平面 EC

21、DF，且 NE EF，平面 MNEF平面ECDF EF， NE平面 MNEF， NE平面 ECDF. FC平面 ECDF， FC NE. EC CD，四边形 ECDF 为正方形， FC ED.又 ED NE E， ED， NE平面 NED， FC平面 NED. ND平面 NED， ND FC.(3)设 NE x，则 FD EC4 x，其中 0x4，由(2)得 NE平面 FEC，四面体 NEFD 的体积为 VNEFD S EFDNE x(4 x)13 12 V 四面体 NEFD 22，12x 4 x2 10当且仅当 x4 x，即 x2 时，四面体 NEFD 的体积最大，最大值为 2.逻辑推理转化

22、思想在平行、垂直证明中的应用典例 如图，在三棱锥 ABCD 中， AB AD， BC BD，平面ABD平面 BCD，点 E， F(E 与 A， D 不重合)分别在棱 AD， BD 上，且 EF AD.求证：(1) EF平面 ABC；(2)AD AC.证明 (1)在平面 ABD 内，因为 AB AD， EF AD，所以 EF AB，又因为 EF平面 ABC， AB平面 ABC，所以 EF平面 ABC.(2)因为平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCD BD， BC平面 BCD， BC BD，所以 BC平面 ABD.因为 AD平面 ABD，所以 BC AD.又 AB AD， BC AB

23、B， AB平面 ABC，BC平面 ABC，所以 AD平面 ABC.又因为 AC平面 ABC，所以 AD AC.素养通路本题(1)证明线面平行的思路是转化为证明线线平行，即证明 EF 与平面 ABC 内的一条直线平行，从而得到 EF平面 ABC；(2)证明线线垂直可转化为证明线面垂直，由平面ABD平面 BCD，根据面面垂直的性质定理得 BC平面 ABD，则可证明 AD平面 ABC，再根据线面垂直的性质，得到 AD AC.考查了逻辑推理这一核心素养专 题 过 关 检 测 一、选择题1已知 E， F， G， H 是空间四点，命题甲： E， F， G， H 四点不共面，命题乙：直线 EF和 GH 不相

24、交，则甲是乙成立的( )A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 B 若 E， F， G， H 四点不共面，则直线 EF 和 GH 肯定不相交，但直线 EF 和GH 不相交， E， F， G， H 四点可以共面，例如 EF GH，故甲是乙成立的充分不必要条件112关于直线 a， b 及平面 ， ，下列命题中正确的是( )A若 a ， b，则 a bB若 ， m ，则 m C若 a ， a ，则 D若 a ， b a，则 b 解析：选 C A 是错误的，因为 a 不一定在平面 内，所以 a， b 有可能是异面直线；B 是错误的，若 ， m ，则 m 与 可能平

25、行，可能相交，也可能线在面内，故 B错误；C 是正确的，由直线与平面垂直的判断定理能得到 C 正确；D 是错误的，直线与平面垂直，需直线与平面中的两条相交直线垂直3已知空间两条不同的直线 m， n 和两个不同的平面 ， ，则下列命题中正确的是( )A若 m ， n ， ，则 m nB若 m ， n ， ，则 m nC若 m ， n ， ，则 m nD若 m ， n ， ，则 m n解析：选 D 若 m ， n ， ，则 m 与 n 平行或异面，即 A 错误；若m ， n ， ，则 m 与 n 相交或平行或异面，即 B 错误；若m ， n ， ，则 m 与 n 相交、平行或异面，即 C 错误，故

26、选 D.4.如图，在三棱锥 PABC 中，不能证明 AP BC 的条件是( )A AP PB， AP PCB AP PB， BC PBC平面 BPC平面 APC， BC PCD AP平面 PBC解析：选 B A 中，因为 AP PB， AP PC， PB PC P，所以 AP平面 PBC.又 BC平面 PBC，所以 AP BC，故 A 正确；C 中，因为平面 BPC平面 APC，平面 BPC平面APC PC， BC PC，所以 BC平面 APC.又 AP平面 APC，所以 AP BC，故 C 正确；D 中，由 A 知 D 正确；B 中条件不能判断出 AP BC，故选 B.5如图，以等腰直角三角

27、形 ABC 的斜边 BC 上的高 AD 为折痕，把 ABD 和 ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论： BD AC； BAC 是等边三角形；12三棱锥 DABC 是正三棱锥；平面 ADC平面 ABC.其中正确的结论是( )A BC D解析：选 B 由题意知， BD平面 ADC，故 BD AC，正确； AD 为等腰直角三角形ABC 的斜边 BC 上的高，平面 ABD平面 ACD，所以 AB AC BC， BAC 是等边三角形，正确；易知 DA DB DC，结合知正确；由知不正确故选 B.6(2018全国卷)已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此

28、正方体所得截面面积的最大值为( )A. B.334 233C. D.324 32解析：选 A 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，平面 AB1D1与棱 A1A， A1B1， A1D1所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与A1A， A1B1， A1D1平行，故正方体 ABCDA1B1C1D1的每条棱所在直线与平面 AB1D1所成的角都相等如图所示，取棱AB， BB1， B1C1， C1D1， D1D， DA 的中点 E， F， G， H， M， N，则正六边形 EFGHMN 所在平面与平面 AB1D1平行且面积最大，此截面面积为 S 正六边形 EFGHMN6 sin 60 .12

29、22 22 334故选 A.二、填空题7(2018天津六校联考)设 a， b 为不重合的两条直线， ， 为不重合的两个平面，给出下列命题：若 a 且 b ，则 a b；若 a 且 a ，则 ；若 ，则一定存在平面 ，使得 ， ；若 ，则一定存在直线 l，使得 l ， l .其中真命题的序号是_解析：中 a 与 b 也可能相交或异面，故不正确垂直于同一直线的两平面平行，正确中存在 ，使得 与 ， 都垂直，正确13中只需直线 l 且 l 就可以，正确答案：8若 P 为矩形 ABCD 所在平面外一点，矩形对角线的交点为 O， M 为 PB 的中点，给出以下四个命题： OM平面 PCD； OM平面 P

30、BC； OM平面 PDA； OM平面 PBA.其中正确的个数是_解析：由已知可得 OM PD， OM平面 PCD 且 OM平面 PAD.故正确的只有.答案：9.如图， ACB90 ， DA平面 ABC， AE DB 交 DB 于 E， AF DC 交DC 于 F，且 AD AB2，则三棱锥 DAEF 体积的最大值为_解析：因为 DA平面 ABC，所以 DA BC，又 BC AC， DA AC A，所以 BC平面 ADC，所以 BC AF.又 AF CD， BC CD C，所以 AF平面 DCB，所以 AF EF， AF DB.又 DB AE， AE AF A，所以 DB平面AEF，所以 DE

31、为三棱锥 DAEF 的高因为 AE 为等腰直角三角形 ABD 斜边上的高，所以AE ，设 AF a， FE b，则 AEF 的面积 S ab (当且仅当212 12 a2 b22 12 22 12a b1 时等号成立)，所以( VDAEF)max .13 12 2 26答案：26三、解答题10.(2018长春质检)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面ABCD 为菱形， PA平面 ABCD， E 为 PD 的中点(1)证明： PB平面 ACE；(2)设 PA1， AD ， PC PD，求三棱锥 PACE 的体积3解：(1)证明：连接 BD 交 AC 于点 O，连接 OE.在 PBD 中， PE

32、DE，BO DO，所以 PB OE.又 OE平面 ACE， PB平面 ACE，所以 PB平面 ACE.(2)由题意得 AC AD，所以 VPACE VPACD VPABCD12 14 SABCDPA14 13 2 ( )21 .14 13 34 3 381411.如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AB AC AA13， BC2， D 是 BC 的中点， F 是 CC1上一点(1)当 CF2 时，证明： B1F平面 ADF；(2)若 FD B1D，求三棱锥 B1ADF 的体积解：(1)证明：因为 AB AC， D 是 BC 的中点，所以 AD BC.在直三棱柱 ABCA1B1C1中，因为

33、BB1底面 ABC， AD底面 ABC，所以 AD B1B.因为 BC B1B B，所以 AD平面 B1BCC1.因为 B1F平面 B1BCC1，所以 AD B1F.在矩形 B1BCC1中，因为 C1F CD1， B1C1 CF2，所以 Rt DCFRt FC1B1，所以 CFD C1B1F，所以 B1FD90 ，所以 B1F FD.因为 AD FD D，所以 B1F平面 ADF.(2)由(1)知 AD平面 B1DF， CD1， AD2 ，2在 Rt B1BD 中， BD CD1， BB13，所以 B1D .BD2 BB21 10因为 FD B1D，所以 Rt CDFRt BB1D，所以 ，即

34、 DF ，DFB1D CDBB1 13 10 103所以 VB1ADF VAB1DF S B1DFAD 2 .13 13 12 103 10 2 102912(2018石家庄摸底)如图，在多面体 ABCDPE 中，四边形ABCD 和 CDPE 都是直角梯形， AB DC， PE DC， AD DC， PD平面ABCD， AB PD DA2 PE， CD3 PE， F 是 CE 的中点(1)求证： BF平面 ADP；(2)已知 O 是 BD 的中点，求证： BD平面 AOF.证明：(1)取 PD 的中点为 G，连接 FG， AG， F 是 CE 的中点， FG 是梯形 CDPE 的中位线， CD3 PE， FG2 PE， FG CD， CD AB， AB2 PE，15 AB FG， AB FG，即四边形 ABFG 是平行四边形， BF AG，又 BF平面 ADP， AG平面 ADP， BF平面 ADP.(2)延长 AO 交 CD 于 M，连接 BM， FM， BA AD， CD DA， AB AD， O 为 BD 的中点，四边形 ABMD 是正方形，则 BD AM， MD2 PE. MD 綊 FG.四边形 DMFG 为平行四边形 FM PD， PD平面 ABCD， FM平面 ABCD， FM BD， AM FM M， BD平面 AMF，即 BD平面 AOF.