重庆市第一中学2019届高三数学12月月考试题文（含解析）.doc

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1、- 1 -2018 年重庆一中高 2019 级高三上期 12 月月考数 学 试 题 卷（文科）第卷（选择题，共 60 分）一、选择题.（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解出集合 A 和集合 B，取交集即可.【详解】由 A 中不等式得： x10，解得：x1，即 A（1，+） ；由 B 中 y ln（ x21） ，得到 x210，即 x1 或 x1 B（，1）（1，+）则 A B（1，+） 故选：D【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2.若 且

2、，则下列不等式中一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用不等式的性质逐个检验即可得到答案.【详解】A, a b 且 cR，当 c 小于等于 0 时不等式不成立，故错误；B,a， b， cR，且 a b，可得 a b0，当 c=0 时不等式不成立，故错误；,C,举反例，a=2,b=-1 满足 ab,但不满足 ，故错误；D,将不等式化简即可得到 ab,成立，- 2 -故选：D.【点睛】本题主要考查不等式的性质以及排除法的应用，属于简单题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则

3、可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略. 常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等3.已知数列 1， ， ， ， ，则 是它的（ ）A. 第 62 项 B. 第 63 项 C. 第 64 项 D. 第 68 项【答案】B【解析】【分析】分析可得该数列的通项公式为 ，解方程 即可得答案【详解】数列 1， ， ， ， ，则该数列的通项公式为 an ，若 ，即 2n1125 ，解可得 n63，则 是这个数列的第 63 项；故选：B【点睛】本题考查数列的概念及数列通项的概念，属基础题.4.鞋柜里有 4 双不同的鞋，从中随机取出一只左脚的，一只右脚的，恰好成双的概率为

4、（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出基本事件总数 n，恰好成双包含的基本事件个数 m，由概率公式即可得到答案【详解】鞋柜里有 4 双不同的鞋，从中取出一只左脚的，一只右脚的，基本事件总数 n 16，恰好成双包含的基本事件个数 m 4，恰好成双的概率为 p - 3 -故选： A【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5.已知双曲线 的离心率为 ，则 的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】，故 ，即 ，故渐近线方程为 .【考点定位】本题考查双曲线的基本性质，考查学生的化归与转化能力.6.已知实数 满足约

5、束条件 ，则 的最大值为（ ）A. 4 B. 3 C. D. 【答案】B【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【详解】由约束条件 作出可行域如图，联立 ，解得 A（1，1） ，化目标函数 z2 x+y 为 y2 x+z，由图可知，当直线 y2 x+z 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大， z 有最大值为 3故选： B- 4 -【点睛】本题考查二元一次不等式组与平面区域问题、函数的最值及其几何意义，线性规划中的最值问题主要涉及三个类型：1.分式形式：与斜率有关的最值问题：表示定点 P 与可行域内的

6、动点 M(x,y)连线的斜率.2. 一次形式 z=ax+by:与直线的截距有关的最值问题, 特别注意斜率范围及截距符号.7.下列说法中错误的是（ ）A. 先把高二年级的 2000 名学生编号为 1 到 2000，再从编号为 1 到 50 的 50 名学生中随机抽取 1 名学生，其编号为 ，然后抽取编号为 ， ， 的学生，这样的抽样方法是系统抽样法；B. 独立性检验中， 越大，则越有把握说两个变量有关；C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数 的值越接近于 1；D. 若一组数据 1、 a、3 的平均数是 2，则该组数据的方差是 .【答案】C【解析】【分析】对选项逐个进行分析，排除即可得到

7、答案.【详解】对于 A，根据个体数目较多，且没有明显的差异，抽取样本间隔相等，知这种抽样方法是系统抽样法， A 正确；对应 B,独立性检验中， 越大，应该是说明两个变量有关系的可能性大，即有足够的把握说明两个变量有关， B 正确；对于 C，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数| r|的值越接近于 1， C 错误；对于 D，一组数据 1、 a、3 的平均数是 2， a2；- 5 -该组数据的方差是 s2 （12） 2+（22） 2+（32） 2 ， D 正确故选：C.【点睛】本题利用命题真假的判断考查了概率与统计的应用问题，是基础题8.已知不共线的两个向量A. B. 2 C. D. 4【答案

8、】B【解析】向量 ，两边平方得到 化简得到联立两式得到 。故答案为：B。9.已知一个几何体的三视图如下图所示，则此几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由三视图可知该几何体下部为圆柱，上部为圆锥，由面积公式即可得到答案.【详解】由三视图可知，该几何体下部为圆柱，上部为圆锥，圆柱底面圆的半径为 a,高为2a,圆锥的高为 a,圆锥的母线长为 ，所以表面积为 ，故选：D【点睛】本题考查三视图的还原，考查圆锥，圆柱的表面积公式的应用，属于基础题.- 6 -10.从区间 中任取一个值 ，则函数 是增函数的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由函

9、数为增函数得到 a 的取值范围，然后利用几何概型的概率公式计算直接得到答案.【详解】函数 为递增函数， 即解得 1 ,又 a 从区间 中任取一个值 由概率公式可得故选：A.【点睛】本题主要考查长度型几何概型，考查函数单调性的性质，以及分段函数的单调性，同时考查了计算能力.11.函数 的图像在点 处的切线斜率的最小值是（ ）A. 2 B. C. 3 D. 4【答案】C【解析】【分析】求出原函数的导函数，得到函数在 x b 时的导数值，利用基本不等式求最值得答案【详解】由 ，得 f（ x） +2x b， f（ b） +b（ b2） f（ b） +b 在 b2 时单调递增，f（ b） +b当且仅当

10、b2 时上式取“” ，切线斜率的最小值是 3故选：C.- 7 -【点睛】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用基本不等式求最值，是基础题12.已知椭圆 上一点 关于原点的对称点为点 ， 为其右焦点，若 ，设 ，且 ，则该椭圆离心率 的取值范围为 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题设条件结合椭圆的对称性推导出| AF|+|BF|2 a，| AB|2 c，设 ABF，则能推导出2csin+2 ccos2 a，由此能求出结果【详解】椭圆 焦点在 x 轴上，椭圆上点 A 关于原点的对称点为点 B， F 为其右焦点，设左焦点为 F1，连接 AF， AF1，

11、BF， BF1，四边形 AFBF1为长方形根据椭圆的定义：| AF|+|AF1|2 a， ABF，则： AF1F，2 a2 ccos+2 csin椭圆的离心率 e ， ， ，则： sin（+ ）1， ，椭圆离心率 e 的取值范围： ，故选：A- 8 -【点睛】本题考查椭圆的定义，三角函数关系式的恒等变换，利用定义域求三角函数的值域，离心率公式的应用，属于中档题型第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题.（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填写在答题卡相应位置上）13.已知 且 ，则 _【答案】【解析】【分析】根据诱导公式得到 ，结合角的范围得到 ，再利用诱导公式和同角三角

12、函数关系式计算即可得到答案.【详解】 = , ,又 ，得 ，故答案为： .【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数关系式的应用，属于基础题.14.等比数列 各项均为正数， ，则 _【答案】20【解析】由 ，得所以 - 9 -15.在区间 上随机取两个数 ，记 为事件“ ”的概率，则 _【答案】【解析】【分析】由题意可得总的基本事件为（ x， y）|0 x1，0 y1，事件 P 包含的基本事件为（ x， y）|0 x1，0 y1， x+y ，数形结合利用面积比可得概率【详解】由题意可得总的基本事件为（ x， y）|0 x1，0 y1，事件 P 包含的基本事件为（ x， y）|0 x1，0 y1，

13、x+y ，它们所对应的区域分别为图中的正方形和阴影三角形，故所求概率 P ，故答案为： 【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关键是计算事件的总面积以及所求事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.16.已知定义在 R 的函数 对任意的 x 满足 ，当 ， 函数，若函数 在 上有 6 个零点，则实数 a 的取值范围是_【答案】-

14、 10 -【解析】【分析】函数 h（ x） f（ x） g（ x）在6，+）上有 6 个零点，即函数 f（ x）与 g（ x）的图像有 6 个交点，分别做出 y f（ x）与 y g（ x）的图象，由此求得 a 的取值范围【详解】对任意的 x 满足 f（ x+1） f（ x） ， f（ x+2） f（ x+1） f（ x） ，函数f（ x）是以 2 为最小正周期的函数，画函数 f（ x） 、 g（ x）在 图象，由图象可知：在 y 轴的左侧有 2 个交点，只要在右侧有 4 个交点即可则 即有 ，故 7 a9 或 a 故答案为： 【点睛】本题考查函数图象的运用，涉及函数的周期性，对数函数的图象等

15、知识点，关键是作出函数的图象，由此分析两个函数图象交点的个数三、解答题.（共 70 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17.已知函数 (1)求函数 的最小正周期和单调递减区间；(2)在 ABC 中， A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 ，求 ABC面积 .【答案】 （1）最小正周期为 ，递减区间为 ；（2） .【解析】【分析】(1)利用二倍角公式和辅助角公式将函数 f(x)进行化简，然后利用正弦函数图像的性质可得周期和单调区间；（2）由 f(C)=1,得角 C，由正弦定理得 b=2a,然后利用余弦定理可得 a 和b 的值，代入面积公式即可得到答案.【详解】 =2sin

16、(2x+ ) - 11 -(1) 最小正周期为 , 因为所以 ,所以函数的单递减区间为（2）因为 ，所以 所以 ， 又因为 sinB=2sinA，所以 b=2a 由，可得 a=1,b=2 .【点睛】本题考查二倍角和辅助角公式的应用，考查正弦函数图像的性质，考查正余弦定理及三角形面积公式的应用，属于常考题型.18.如图， AB 为圆 O 的直径，点 E、 F 在圆 O 上， ，矩形 ABCD 所在平面和圆 O 所在的平面互相垂直，已知 ， .（1）求证：平面 平面 ； （2）设几何体 、 的体积分别为 、 ，求 .【答案】 （1）详见解析；（2） .【解析】【分析】(1)利用面面垂直的性质定理得

17、到 平面 ，再利用线面垂直的判定定理得到 平面 ，由面面垂直的判定定理即可得到证明;（2）利用棱锥体积公式计算求比值即可.【详解】 （1）如图,矩形 中， ，平面 平面 ，平面 平面，- 12 - 平面 ， 平面 ， .又 为圆 的直径， ， ， 、 平面 ， 平面 ， 平面 ，平面 平面 .另解：也可证明 平面 . （2）几何体 是四棱锥、 是三棱锥，过点 作 ，交 于 .平面平面 ， 平面 .则 ， 【点睛】本题考查面面垂直的判定定理和性质定理的应用，考查棱锥体积公式的应用，属基础题.19.某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过 100 元的人员中

18、随机抽取了 100 名，并绘制右图所示频率分布直方图，已知中间三组的人数可构成等差数列.（1）求 的值；（2）分析人员对抽取对象每周的消费金额 y 与年龄 x 进一步分析，发现他们线性相关，得到回归方程 .已知 100 名使用者的平均年龄为 38 岁，试判断一名年龄为 22 岁的年轻人每周的平均消费金额为多少.（同一组数据用该区间的中点值代替）- 13 -【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】(1)利用频率和为 1 得到 m 和 n 的等量关系，再结合等差数列即可得到 m 和 n 的值；（2）利用频率分布直方图的平均数公式计算即可得到答案.【详解】解：（1）由频率分布直方图可知， ，由

19、中间三组的人数成等差数列可知 ，可解得 （2）调查对象的周平均消费为， 由题意 ， .【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，主要考查频率和为 1 和平均数公式的应用,属于基础题.20.已知抛物线 在第一象限内的点 到焦点 F 的距离为 （1）求抛物线 的方程；（2）若直线 与抛物线 C 相交于 A， B 两点，与圆 相交于 D， E 两点， O 为坐标原点， ，试问：是否存在实数 a，使得| DE|的长为定值？若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由【答案】 （1） ；（2） 时， 为定长 .【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义，到焦点距离等于到准线距离即可求得结果;（2）设直线 AB

20、的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，求得 m 的值，利用圆的弦长公式，求得|DE|,即可得到答案.- 14 -【详解】 （1）点 ， ，解得 ，故抛物线 的方程为： （2）设直线 的方程为 ，代入抛物线方程可得 ，设 ，则 ， ， 由 得： ，整理得 ， 将代入解得 ，直线 圆心到直线 的距离 ， 显然当 时， ， 的长为定值【点睛】本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及向量的坐标运算，考查圆的弦长公式的应用，考查计算能力，属于中档题21.已知函数 ， .（1）求函数 在区间1,2上的最大值；（2）设 在(0,2)内恰有两个极值点，求实数 m 的取值

21、范围.【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）对函数求导，判断函数单调性，由单调性即可得到函数的最值；（2）先求出 f（ x） ，由题意知： mx24 x+m0 在（0，2）有两个变号零点，即 在（0，2）有两个变号零点，构造函数，利用导数求出最值即可【详解】 （1） ， p（ x） ex ， p（ x） ex+ 0 恒成立所以 p（ x） ex 在1,2单调递增， - 15 - p（1） e30， ， x0（1，2） ，使 p（ x0）0，当 x1， x0时， p（ x）0， p（ x）单调递减；当 x x0，2时， p（ x）0， p（ x）单调递增又 ， e+2 p（ x）在

22、1，2上的最大值为 p（2） e23 ln2+2（2） ， ，由题意知： =0 在(0,2) 有两个变号零点，即 在(0,2)有两个变号零点 令 ， ，令 则 x=1，且 时， ，g(x)单调递增； 时， g(x)单调递减， 又 g(0)=0,g(1)=2,g(2)= ，【点睛】本题考查利用导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题注意：请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分22.已知曲线 C 在平面直角坐标系 xOy 下的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求曲线 C 的普通方程及

23、极坐标方程；（2）直线 l 的极坐标方程是 射线 OT： 与曲线 C 交于点 A，与直线l 交于点 B，求 的值.【答案】 （1） ， ；（2）12.【解析】【分析】- 16 -(1)首先将参数方程转化为普通方程，然后将直角坐标转化为极坐标方程即可；(2)首先求得交点的极坐标，然后结合极坐标的几何意义求解 的值即可.【详解】 （1）因为曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，消去参数 得曲线 的普通方程为 ，又 ， ，曲线 的极坐标方程为 . （2）由 ，故射线 与曲线 的交点 的极坐标为 ；由 ，故射线 与直线 的交点 的极坐标为 ，. =12.【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的转化

24、，参数方程与普通方程的互化等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23.已知函数 (1)解不等式 ；(2)已知 ，若关于 x 的不等式 恒成立，求实数 a 的取值范围【答案】 （1） ；（2） .【解析】- 17 -【分析】（1）由不等式的性质零点分段求解不等式的解集即可；（2）由绝对值三角不等式的性质可得 的最大值是 ，由均值不等式的性质可知的最小值为 .则 ，求解绝对值不等式即可确定实数 的取值范围.【详解】解：（1）不等式 等价于 ，即 或或 . 解得 或 或 ，所以不等式的解集为 .（2）因为 ，所以 的最大值是 ，又 ，于是 ， 的最小值为 .要使 的恒成立，则 ，解此不等式得 .所以实数 的取值范围是 .