2020版高考数学大一轮复习第4章三角函数、解三角形第2讲三角函数的图象与性质课件理.pptx

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1、第二讲 三角函数的图像与性质,第四章：三角函数、解三角形,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,命题规律,聚焦核心素养,考点1 三角函数的图象与性质,考点2 y=Asin(x+)的图象及应用,考法1 三角函数的图象变换,考法2 由三角函数的图象求解析式式,考法3 三角函数的单调性,考法4 三角函数的奇偶性、周期性、对称性,考法5 三角函数图象与性质的综合应用,B考法帮题型全突破,C方法帮素养大提升,方法 化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,考法6 三角函数模型的应用,易错 求三角函数的单调区间时不会与角的范围结合,考情精解读,命题规

2、律 聚焦核心素养,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,命题规律,1.命题分析预测 本讲是高考考查的重点,主要考查:(1)三角函数的图象变换;(2)三角函数的性质及应用;(3)三角函数图象与性质的综合应用,有时也与三角恒等变换综合考查,多以选择题和填空题的形式呈现,难度中等偏下,分值5分. 2.学科核心素养 本讲通过三角函数的图象及性质考查考生的直观想象和数学运算素养,及化归思想和整体代换思想的应用.,聚焦核心素养,A考点帮知识全通关,考点1 三角函数的图象与性质 考点2 y=Asin(x+)的图象及应用,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图 在正弦

3、函数y=sin x,x0,2的图象上,起关键作用的五个点是(0,0),( 2 ,1),(,0),( 3 2 ,-1),(2,0). 在余弦函数y=cosx,x0,2的图象上,起关键作用的五个点是 (0,1),( 2 ,0),(,-1),( 3 2 ,0),(2,1). 五点法作图有三步:列表、描点、连线(注意光滑).,考点1 三角函数的图象与性质（重点）,2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,注意 (1)y=tan x无单调递减区间;(2)y=tan x在整个定义域内不单调.,考点2 y=Asin(x+)的图象及应用（重点）,1.三角函数的图象变换 函数y

4、=sin x的图象通过变换得到y=Asin(x+)(A0,0,0)的图象的两种方法:,注意 若变换前后的两个函数名不同,要先化为同名函数再求解.,辨析比较 图象的两种变换方法的区别与联系,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,2.函数y=Asin(x+)(A0,0)的物理意义,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,注意 要求一个函数的初相,应先将函数解析式化成f(x)=Asin(x+)的形式(其中A0,0).,B考法帮题型全突破,考法1 三角函数的图象变换 考法2 由三角函数的图象求解析式 考法3 三角函数的单调性 考法4 三角函数的奇偶性、周期性、对称性

5、 考法5 三角函数图象与性质的综合应用 考法6 三角函数模型的应用,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,考法1 三角函数的图象变换,示例1 (1)要得到函数y=sin(5x- 4 )的图象,只需将函数y=cos 5x的图象 A.向左平移 3 20 个单位 B.向右平移 3 20 个单位 C.向左平移 3 4 个单位 D.向右平移 3 4 个单位 (2)如图所示的是函数f(x)=sin(x+)(0,00)个单位长度后,所得到的图象关于直线x= 5 12 对称,则m的最 小值为 A. 7 6 B. 6 C. 8 D. 7 24,思维导引 (1)利用诱导公式以及图象变换规律列方程求解;(2)可以先

6、根据函数图象确定函数f(x)的解析式中的参数值,然后按照图象变换规律求出变换之后的函数图象对应的解析式,最后根据所得函数图象的对称轴求出m的最小值.也可以根据已知函数图象直接求出函数f(x)图象的对称轴,根据变换规律确定变换后所得函数图象的对称轴,由已知条件确定m的最小值. 解析(1)函数y=cos 5x=sin(5x+ 2 )=sin 5(x+ 10 ), (将变换前后的两个函数名化为同名) y=sin(5x- 4 )=sin 5(x- 20 ),设平移个单位,则 10 +=- 20 , (方程思想),理科数学 第四章：三角函数、解三角形,解得=- 3 20 ,故把函数y=cos 5x的图象

7、向右平移 3 20 个单位,可得函数y=sin(5x- 4 )的图象.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,(2)解法一 (直接法)由函数f(x)=sin(x+)(0,0 2 )的图象, 可得周期T= 2 = 5 6 -(- 6 )=,所以=2. 又点(- 6 ,0)在函数f(x)的图象上,所以sin2(- 6 )+=0,所以- 3 =k(kZ), 所以= 3 +k(kZ), 又0 2 ,所以k=0,= 3 . 故函数f(x)的解析式为 f(x)=sin(2x+ 3 ).(由图定式),理科数学 第四章：三角函数、解三角形,把f(x)=sin(2x+ 3 )的图象上各点的横坐标缩小为原来的一半

8、(纵坐标不变),再向右平移m(m0)个单位长度后,得到g(x)=sin(4x-4m+ 3 )的图象,(依据变换规律求解析式) 因为所得图象关于直线x= 5 12 对称, 所以4 5 12 -4m+ 3 = 2 +k(kZ),解得m= 3 8 - 1 4 k,kZ,(性质定m) 所以由m0,可得当k=1时,m取得最小值,且最小值为 8 .(范围定最值),理科数学 第四章：三角函数、解三角形,解法二 (特征值法)由函数图象可知P(- 6 ,0)和Q( 5 6 ,0)是函数f(x)图象的两个 对称中心,得线段PQ的中点M( 3 ,0)也是函数f(x)图象的对称中心.显然,函数f(x) 的周期T= 5

9、 6 -(- 6 )=.(定周期) 显然PM的中点( 12 ,0)在函数f(x)图象的一条对称轴上,即直线x= 12 是该函数图 象的一条对称轴.(由相邻对称中心定对称轴) 所以该函数图象的对称轴的方程为x= 12 +k 2 (kZ).(结合周期性定对称轴的 方程),理科数学 第四章：三角函数、解三角形,根据题意,将f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的一半,再向右平移m个单位 长度后,所得函数图象的对称轴的方程为x= 1 2 ( 12 +k 2 )+m= 24 + 4 +m(kZ), (根据图象变换规律求变换后所得函数图象的对称轴方程) 令 24 + 4 +m= 5 12 (kZ),解得m=

10、 3 8 - 4 (kZ).(列方程求值) 因为m0,所以当k=1时,m取得最小值,最小值为 3 8 - 4 = 8 . 答案 （1）B （2）C,点评 对于函数图象的平移方向类问题的求解,注意“正向左,负向右”的前提是把x的系数提取出来,如由y=sin(-x)变为y=sin(-x-1),不能简单地依据“负向右”得出平移方向是向右,正确的描述应该是向左平移一个单位长度.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,方法总结 解决三角函数的图象变换问题的基本方法 处理三角函数图象变换问题时,要先弄清哪一个是原始函数(图象),哪一个是最终函数(图象),若变换前后的两个函数不同名,应先把变换前后的两个函数

11、化为同名函数,再解决问题.主要有以下几种方法: 1.常规法 常规法主要有两种:先平移后伸缩;先伸缩后平移.值得注意的是,对于三角函数图象的平移变换问题,其平移变换规则是“左加、右减”,并且在变换过程中只变换自变量x,如果x的系数不是1,那么需把x的系数提取后再确定平移的单位和方向.,2.方程思想法 可以把变换前后的两个函数变为同名函数,且x的系数变为一致,通过列方程求解,如y=sin 2x变为y=sin(2x+ 3 ),可设平移个单位长度,则2(x+)=2x+ 3 = 6 ,即向左平移 6 个单位长度,若0,则向右平移|个单位长度.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,3.数形结合法 平移变

12、换的实质就是点的坐标的变换,横坐标的平移变换对应着图象的左右平移,纵坐标的平移变换对应着图象的上下平移.一般可选定变换前后的两个函数f(x),g(x)的图象与x轴的交点(如图象上升时与x轴的交点),其分别为(x1,0),(x2,0)(f(x1)=0,g(x2)=0),则由x2-x1的值可判断出左右平移的情况,由g(x)max-f(x)max的值可判断出上下平移的情况,由三角函数最小正周期的变化可判断出伸缩变换的情况.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,拓展变式1 2019山东师大附中二模若将函数f(x)= 1 2 sin(2x+ 3 )图象上的每一 个

13、点都向左平移 3 个单位长度,得到g(x)的图象,则函数g(x)的单调递增区间 为() A.k+ 4 ,k+ 3 4 (kZ) B.k- 4 ,k+ 4 (kZ) C.k- 2 3 ,k- 6 (kZ) D.k- 12 ,k+ 5 12 (kZ),理科数学 第四章：三角函数、解三角形,1.D y=sin x在- 2 +2k, 2 +2k,kZ内是增函数,但在第一、第四象限内 不一定是增函数,故A错误;y=tan x在(- 2 +k, 2 +k),kZ内是增函数,但在 其定义域内不是增函数,故B错误;对于y=ksin x+1,xR,因为k的正负不确定, 所以y的最大值不确定,故C错误.选D.,考

14、法2 由三角函数的图象求解析式,示例2 2018陕西咸阳三模已知函数f(x)=Asin(x+)(A0,0, ),其部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为A.f(x)=2 3 sin( 8 x+ 4 ) B.f(x)=2 3 sin( 8 x+ 3 4 ) C.f(x)=2 3 sin( 8 x- 4 ) D.f(x)=2 3 sin( 8 x- 3 4 ),思维导引,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,解析由图象可得,函数的最大值为2 3 ,最小值为-2 3 ,故A=2 3 .(最值定A) 由函数图象可得,两个相邻对称中心分别为(-2,0),(6,0), 所以函数的周期T=26-(-2)

15、=16,(对称中心定周期) 所以= 2 = 2 16 = 8 .(周期定) 所以f(x)=2 3 sin( 8 x+).,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,解法一 (对称中心定)由点(-2,0)在函数图象上可得f(-2)=2 3 sin 8 (-2)+ =2 3 sin(- 4 )=0,(代坐标列方程) 所以- 4 =k(kZ),解得=k+ 4 (kZ). 因为|0,显然与函数图象不 相符,故= 4 不正确.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,当=- 3 4 时,f(x)=2 3 sin( 8 x- 3 4 ),此时f(0)=2 3 sin(- 3 4 )=- 6 0,与图象 相符,所

16、以=- 3 4 ,函数的解析式为f(x)=2 3 sin( x- 3 4 ).,解法二(最值点定)由函数图象可知,相邻两个对称中心分别为(-2,0), (6,0),所以这两个对称中心之间的函数图象的最低点的坐标为(2,-2 ).(求最 值点坐标) 代入函数解析式可得f(2)=2 3 sin( 8 2+)=-2 , 即sin( 4 +)=-1,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,所以 4 +=2k- 2 (kZ),(最值求,不会产生增根) 解得=2k- 3 4 (kZ). 因为|,所以k=0,=- 3 4 . 故函数的解析式为f(x)=2 3 sin( 8 x- 3 4 ). 答案D,理科数学

17、 第四章：三角函数、解三角形,解后反思 该题中的解法一利用函数图象对称中心的坐标确定值时,求出两个值,此时 要注意结合函数图象的特征进行验证.本题利用f(0)的符号进行判断,也可以 利用点(-2,0)所对应的单调区间进行验证.如= 4 时,f(x)=2 3 sin( 8 x+ 4 )易求 得此时f(x)的一个单调递增区间为-6,2,所以点(-2,0)在函数的单调递增的一 段图象上,这与已知函数图象的特征不符.而解法二直接利用函数图象的两个 对称中心的坐标确定最值点的坐标,求出的值唯一,不需要检验.,方法总结 确定解析式y=Asin(x+)+b(A0,0)的步骤和方法 (1)求A,b.先确定函数

18、的最大值M和最小值m,则A= 2 ,b= + 2 .特别地,当b=0时,A=M=-m. (2)求.先确定函数的周期T,则可得= 2 .常用的确定周期T的方法:曲线与x轴的相邻两个交点之间的距离为 2 ;相邻的两条对称轴之间的距离为 2 ;对称中心到对称轴的距离的最小值是 4 ;相邻的两个最低点(最高点)之间的距离为T.,(3)求.常用的方法有以下几种: 代入法:把图象上的一个已知点代入(此时A,b已知)或把图象与直线y=b的交点代入求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上). 五点法:确定值时,往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口,具体如下:,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,

19、理科数学 第四章：三角函数、解三角形,注意一般情况下,的值是唯一确定的,但的值是不确定的,它有无数个, 如果求出的的值不在指定范围内,可以通过加减 2 的整数倍达到目的.,拓展变式2 函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,| 2 )的部分图象如图所示,若将f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的 1 2 (纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,则g(x)的解析式为 A.g(x)=sin(4x+ 6 ) B.g(x)=sin(4x+ 3 ) C.g(x)=sin(x+ 6 ) D.g(x)=sin(x+ 12 ),2.A 根据题中函数的图象知A=1, 3 4 = 11 12 - 6 = 3

20、4 ,则T=,= 2 =2.所以f(x)=sin(2x+). 由f( 6 )=1,解得=2k+ 6 (kZ),因为| 2 ,所以= 6 .所以f(x)=sin(2x+ 6 ). 将f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的 1 2 (纵坐标不变),得g(x)=sin(4x+ 6 ).故选A.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,考法3 三角函数的单调性,示例3 2018全国卷,10,5分理若f(x)=cos x-sin x在-a,a是减函数, 则a的最大值是 A. 4 B. 2 C. 3 4 D.,解析解法一(一角一函数模型解法)f(x)= 2 cos(x+ 4 ), 由2kx+ 4 2k+(

21、kZ),得2k-x+ 4 x2k+ 3 4 (kZ). 即f(x)的单调递减区间为- 4 +2k, 3 4 +2k(kZ), 又函数f(x)在-a,a上是减函数,则-a,a2k- 4 ,2k+ 3 4 (kZ),理科数学 第四章：三角函数、解三角形,显然当k=0时,上述关系才能成立.则易得a的最大值是 4 .故选A. 解法二(导数法转化为不等式恒成立模型)由已知得, f (x)=-sin x- cos x=-(sin x+cos x)=- 2 sin(x+ 4 ). 由题意知,在-a,a上f (x)0,即 2 sin(x+ 4 )0在区间-a,a上恒成立. 也就是sin(x+ 4 )0在区间-

22、a,a上恒成立. 由sin(x+ 4 )0得,2kx+ 4 2k+(kZ),理科数学 第四章：三角函数、解三角形,解得2k- 4 x2k+ 3 4 (kZ). 所以-a,a2k- 4 ,2k+ 3 4 (kZ), 显然当k=0时,上述关系才能成立,即-a,a- 4 , 3 4 , 此时 4 , 3 4 , 解得a 4 .从而a的最大值为 4 . 答案A,示例4 2018湖北荆州一模已知函数f(x)=Asin(x+)(A0,0)的图象与直线y=b(0bA)的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8,则f(x)的单调递减区间是 A.6k,6k+3(kZ) B.6k-3,6k(kZ) C.6k,6k+3

23、(kZ) D.6k-3,6k(kZ) 思维导引 由题意可得,第一个交点与第三个交点之间的距离是一个周期;第一个交点与第二个交点的中点的横坐标对应的函数值是最大值.从这两个方面考虑可求得参数,的值,进而利用三角函数的单调性求区间.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,解析由已知画出草图,如图所示, 则函数的周期T= 2 =8-2=6,得= 3 , 由“五点法”作图可得 3 2+4 2 += 2 , (由2,4关于对称轴对称可得) 求得=- 2 ,函数f(x)=Asin( 3 x- 2 ). 令2k+ 2 3 x- 2 2k+ 3 2 (kZ), (把 3 x- 2 视为一个整体,根据y=sin

24、 x的单调递减区间进行求解) 解得6k+3x6k+6(kZ),即x6k-3,6k(kZ).(把k变为k-1可得) 答案 D,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,方法总结 三角函数单调性问题的常见类型及求解策略 (1)已知三角函数解析式求单调区间,先将解析式化简为y=Asin(x+)或y= Acos(x+)(A0,0)的形式,然后视“x+”为一个整体,根据y=sin x 与y=cos x的单调区间列不等式求解.注意 a.复合函数的单调性规律“同增异减”的应用;b.如果0,那么先 借助诱导公式将化为正数,再求解.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,(2)

25、已知三角函数解析式,讨论在给定区间上的单调性,通常有两种方法: 先求出函数全部的单调区间,然后通过给k取特定的整数值,得到在给定区间 上的单调性. 从给定区间出发,得出x+的范围,对照正弦函数或余弦函数的单调区间 得到函数在相应区间上的单调性. (3)已知三角函数的单调区间求参数,需根据函数的单调区间并利用集合间的 关系求解.,拓展变式3 已知函数f(x)=2sin x+1(0)在区间- 2 , 2 3 上是增函数,则的取值范围是 A.(0, 3 4 B.(0,1 C. 3 4 ,1 D. 3 2 ,1,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,3.A 由2k- 2 x2k+ 2 ,kZ,得 2

26、- 2 x 2 + 2 ,kZ.故函数f(x)的增区间为 2 - 2 , 2 + 2 ,kZ.f(x)在区间- 2 , 2 3 上是增函数, 2 2 +2, 2 3 2 +2, kZ,解得1-4k且 3 4 +3k,kZ,0,(0, 3 4 .故选A.,考法4 三角函数的奇偶性、周期性、对称性,示例5求下列函数的周期: (1)y=2|sin(4x- 3 )|; (2)y=|tan x|; (3)y=2cos xsin(x+ 3 )- 3 sin2x+sin xcos x.,解析 (1)y=2|sin(4x- 3 )|的最小正周期是y=2sin(4x- 3 )的最小正周期的一 半,即T= 1 2

27、 2 4 = 4 .,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,(2)画出y=|tan x|的图象.如图所示.由图象易知T=.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,(3)y=2cos x( 1 2 sin x+ 3 2 cos x)- 3 sin2x+sin xcos x =sin x cos x+ 3 cos2x- 3 sin2x+sin xcosx =sin 2x+ 3 cos 2x =2sin(2x+ 3 ), 故该函数的最小正周期T= 2 2 =.,方法总结 三角函数周期的求解方法 定义法; 公式法:函数y=Asin(x+)(y=Acos(x+)的最小正周期T= 2 | ,函数y=Ata

28、n(x+)的最小正周期T= | ;,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,图象法:求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象,通过观察图象得出周期; 转化法:对于较为复杂的三角函数,可通过恒等变形将其转化为y=Asin(x+)+b(或y=Acos(x+)+b或y=Atan(x+)+b)的类型,再利用公式法求得周期.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,示例6 函数f(x)=3sin(2x- 3 +),(0,)满足f(|x|)=f(x),则的值为.,解析由题意知f(x)为偶函数,关于y轴对称, f(0)=3sin(- 3 )=3, - 3 =k+

29、2 ,kZ. 又0,= 5 6 .,感悟升华 三角函数具有奇偶性的充要条件 函数y=Asin(x+)(xR)是奇函数=k(kZ); 函数y=Asin(x+)(xR)是偶函数=k+ 2 (kZ); 函数y=Acos(x+)(xR)是奇函数=k+ 2 (kZ); 函数y=Acos(x+)(xR)是偶函数=k(kZ).,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,示例72019湖北部分重点中学高三测试已知函数f(x)=sin(x+)(0, | 2 ),其图象的相邻两条对称轴之间的距离为 4 ,将函数y=f(x)的图象向左 平移 3 16 个单位长度后,得到的图象关于y轴对称,那么函数y=f(x)的图象 A

30、.关于点(- 16 ,0)对称 B.关于点( 3 16 ,0)对称 C.关于直线x= 16 对称 D.关于直线x=- 4 对称,解析 因为函数y=f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为 4 ,所以函数的 周期T= 2 ,(相邻两对称轴之间的距离是 1 2 周期),理科数学 第四章：三角函数、解三角形,所以= 2 =4,所以f(x)=sin(4x+). 将函数y=f(x)的图象向左平移 3 16 个单位长度后,得到函数y=sin4(x+ 3 16 )+ 的图象, 因为所得图象关于y轴对称, 所以4 3 16 +=k+ 2 ,kZ,即=k- 4 ,kZ. 又| 2 ,所以=- 4 ,所以f(x)

31、=sin(4x- 4 ). 令4x- 4 =k,kZ,(根据y=sin t的性质求对称中心),理科数学 第四章：三角函数、解三角形,解得x= 4 + 16 ,kZ,令k=0,得f(x)的图象关于点( 16 ,0)对称,故B正确,易得A不 正确. 令4x- 4 = 2 +k,kZ,(根据y=sin t的性质求对称轴) 解得x= 3 16 + 4 ,kZ, 所以函数f(x)的图象的对称轴方程为x= 3 16 + 4 ,kZ,易得C,D均不正确.故选B. 答案B,方法总结 三角函数图象的对称轴和对称中心的求解思路和方法 思路：函数y=Asin(x+)图象的对称轴和对称中心可结合y=sin x图象的对

32、称轴和对称中心求解. 方法:利用整体代换思想求解,令x+=k+ 2 ,kZ,解得x= (2+1)2 2 ,kZ,即对称轴方程;令x+=k,kZ,解得x= ,kZ,即对称中心的横坐标(纵坐标为0).对于y=Acos(x+),y=Atan(x+),可以利用类似方法求得(注意y=Atan(x+)的图象无对称轴).,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,说明 因为f(x)=Asin(x+)的图象的对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点(x0,0)是否为函数图象的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断,选择题经常用这种方法.,理科数

33、学 第四章：三角函数、解三角形,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,拓展变式42019河北六校联考已知函数f(x)=sin(2x+)(-0).将 f(x)的图象向左平移 3 个单位长度后所得图象对应的函数为偶函数,则关于 函数f(x),下列命题正确的是( ) A.函数f(x)在区间(- 6 , 3 )上有最小值 B.函数f(x)的图象的一条对称轴为直线x= 12 C.函数f(x)在区间(- 6 , 3 )上单调递增 D.函数f(x)的图象的一个对称中心为( 3 ,0),理科数学 第四章：三角函数、解三角形,4.C 将f(x)的图象向左平移 3 个单位长度后所得图象对应的函数为g(x)= si

34、n2(x+ 3 )+=sin(2x+ 2 3 +),又g(x)为偶函数,-0,所以=- 6 ,故 f(x)=sin(2x- 6 ).f( 3 )=sin( 2 3 - 6 )=sin 2 =1,故排除D; f( 12 )=sin(2 12 - 6 )=0,故 排除B; 当- 6 x 3 时,- 3 2x 2 3 ,- 3 - 6 2x- 6 2 3 - 6 ,即- 2 2x- 6 2 ,故函数 f(x)在区间(- 6 , 3 )上单调递增,选C.,考法5 三角函数图像与性质的综合应用,示例8 已知函数f(x)=2 3 sin( 2 + 4 )cos( 2 + 4 )-sin(x+). (1)求

35、f(x)的最小正周期. (2)若将f(x)的图象向右平移 6 个单位,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在区间0,上的最大值和最小值. 思维导引 (1)先将f(x)转化成y=Asin(x+)的形式再求周期; (2)将f(x)解析式中的x换成x- 6 ,得g(x),然后利用整体思想求最值.,解析(1)因为f(x)=2 3 sin( 2 + 4 )cos( 2 + 4 )-sin(x+)= 3 cosx+sinx=2sin(x+ 3 ), 所以T= 2 1 =2,即f(x)的最小正周期为2. (2)由已知,得g(x)=f(x- 6 )=2sin(x+ 6 ), 因为x0,所以x+ 6 6 ,

36、7 6 , 所以sin(x+ 6 )- 1 2 ,1. 所以g(x)=2sin(x+ 6 )-1,2. 故函数g(x)在区间0,上的最大值为2,最小值为-1.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,答题模板 解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤 第一步:将f(x)化为asinx+bcosx的形式; 第二步:构造f(x)= 2 + 2 ( 2 + 2 sin x+ 2 + 2 cosx); 第三步:和角公式逆用,得f(x)= 2 + 2 sin(x+)(其中为辅助角); 第四步:利用f(x)= 2 + 2 sin(x+)研究三角函数的性质; 第五步:反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范.

37、,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,技巧点拨研究y=Asin(x+)的性质时可将x+视为一个整体,利用换元法和数形结合思想进行解题.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,拓展变式52018湖南株洲质检已知函数f(x)=2sin(x+)+1(0,| 2 ), 其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为,若f(x)1对任意的x(- 12 , 3 )恒 成立,则的取值范围是() A.( 6 , 3 )B. 12 , 3 C. 12 , 6 D. 6 , 3 ,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,5.D 由题意知,函数f(x)=2sin(x+)+1(0,|

38、2 ),其图象与直线y=-1 相邻两个交点的距离为,故函数的周期为T= 2 =,解得=2.所以f(x)= 2sin(2x+)+1. 由题意,f(x)1对任意的x(- 12 , 3 )恒成立,即当x(- 12 , 3 )时,sin(2x+)0恒 成立. 令t=2x+,因为x (- 12 , 3 ),所以t(- 6 ,+ 2 3 ).,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,故要使sin t0恒成立,只需 6 2, + 2 3 2+ (kZ), 解得2k+ 6 2k+ 3 (kZ). 显然,当k=0时, 6 3 ,故选D.,考法5 三角函数图像与性质的综合应用,示例92014湖北,17,11分理某实

39、验室一天的温度(单位:)随时间t(单位:h) 的变化近似满足函数关系: f(t)=10- 3 cos 12 t-sin 12 t,t0,24). ()求实验室这一天的最大温差; ()若要求实验室温度不高于11,则在哪段时间实验室需要降温?,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,解析 ()因为f(t)=10-2( 3 2 cos 12 t+ sin 12 t)=10-2sin( 12 t+ 3 ),又0t24, 所以 3 12 t+ 3 7 3 ,所以-1sin( 12 t+ 3 )1. 当t=2时,sin 12 t+ 3 )=1; 当t=14时,sin( 12 t+ 3 )=-1. 于是f(t

40、)在0,24)上取得最大值12,取得最小值8. 故实验室这一天最高温度为12 ,最低温度为8 ,最大温差为4 .,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,()依题意,当f(t)11时实验室需要降温. 由()得f(t)=10-2sin( 12 t+ 3 ), 故有10-2sin( 12 t+ 3 )11, 即sin( 12 t+ 3 )- 1 2 . 又0t24,因此 7 6 12 t+ 3 11 6 ,所以10t18. 故在10时至18时实验室需要降温.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,感悟升华 三角函数模型的应用类型及解题策略 (1)已知函数模型,利用三角函数的有关性质解决问题,其关键是

41、准确理解自变量的意义及自变量与因变量之间的对应法则; (2)把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题,其关键是建模.,C方法帮素养大提升,方法 化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用 易错 求三角函数的单调区间时不会与角的范围结合,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,示例10已知函数f(x)=4sin(x- 3 )cosx+ 3 . (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间; (2)若函数g(x)=f(x)-m在0, 2 上有两个不同的零点x1,x2,求实数m的取值范围,并计算tan(x1+x2)的值.,方法 化归思想和整体代换思想在三角函数中

42、的应用,思维导引 (1)先将函数解析式化为一角一函数的形式,然后利用公式法求出其周期,利用换元法求其单调递增区间; (2)函数g(x)在0, 2 上有两个不同的零点,即方程f(x)=m在0, 2 上有两个不同的解,进而转化为函数f(x)在0, 2 上的图象与直线y=m有两个不同的交点,画出函数图象,根据图象即可得到参数m的取值范围,进而求得tan(x1+x2)的值.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,解析(1)f(x)=4sin(x- 3 )cosx+ 3 =4( 1 2 sin x- 3 2 cosx)cosx+ 3 =2sin xcosx-2 3 cos2x+ 3 =sin 2x- 3

43、 cos 2x=2sin(2x- 3 ).(利用恒等变换化为一角一函数) 所以函数f(x)的周期为T=. 由2k- 2 2x- 3 2k+ 2 (kZ),得k- 12 xk+ 5 12 (kZ).(整体换元求单调区间) 所以函数f(x)的单调递增区间为k- 12 ,k+ 5 12 (kZ).,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,(2)函数g(x)=f(x)-m在0, 2 上有两个不同的零点x1,x2,即函数y=f(x)与y=m在0, 2 上的图象有两个不同的交点,在直角坐标系中画出函数y=f(x)=2sin(2x- 3 )在0, 2 上的图象,如图所示, 由图象可知,当且仅当m 3 ,2)时,方程f(x)=m有两个不同的解x1,x2,且x1+x2=2 5 12 = 5 6 , 故tan(x1+x2)=tan 5 6 =-tan 6 =- 3 3 .,