2020版高考数学一轮复习第三章第四节第3课时利用导数研究函数零点问题课件文.pptx

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1、第3课时 利用导数研究函数 零点问题,考点一 利用最值（极值）判断零点个数,考点二 利用数形结合法研究零点问题,考点突破,考点三 构造函数研究零点问题,利用最值(极值)判断零点个数,考点突破,典例1 已知函数f(x)=- ax2+(1+a)x-ln x(aR). (1)当a0时,求函数f(x)的单调递减区间; (2)当a=0时,设函数g(x)=xf(x)-k(x+2)+2.若函数g(x)在区间 上有两 个零点,求实数k的取值范围.,解析 (1)f(x)的定义域为(0,+), f(x)的导数为f (x)=-ax+1+a- =- (a0), 当a(0,1)时, 1. 由f (x) 或0x1. 所以

2、f(x)的单调递减区间为(0,1), ; 当a=1时,恒有f (x)0,所以f(x)的单调递减区间为(0,+); 当a(1,+)时, 1或0x . 所以f(x)的单调递减区间为 ,(1,+). 综上,当a(0,1)时, f(x)的单调递减区间为(0,1), ; 当a=1时, f(x)的单调递减区间为(0,+);,当a(1,+)时, f(x)的单调递减区间为 ,(1,+). (2)g(x)=x2-xln x-k(x+2)+2在x 上有两个零点,即关于x的方程k=在x 上有两个不相等的实数根. 令h(x)= ,x , 则h(x)= , 令p(x)=x2+3x-2ln x-4,x .,则p(x)=

3、在 上有p(x)0, 故p(x)在 上单调递增. 因为p(1)=0, 所以当x 时,有p(x)0,即h(x)0, 所以h(x)单调递增. 因为h = + ,h(1)=1, 所以k的取值范围为 .,规律总结 利用函数的极值(最值)判断函数零点个数,主要是借助导数研究函数的 单调性、极值后,通过极值的正负、函数单调性判断函数图象走势,从 而判断零点个数或者利用零点个数求参数范围.,利用数形结合法研究零点问题,典例2 已知f(x)=ax2(aR),g(x)=2ln x. (1)讨论函数F(x)=f(x)-g(x)的单调性; (2)若方程f(x)=g(x)在区间 ,e上有两个不相等的实根,求a的取值范

4、 围.,解析 (1)F(x)=ax2-2ln x,其定义域为(0,+), 所以F(x)=2ax- = (x0).,当a0时,由ax2-10,得x ,由ax2-10时,F(x)在区间 上单调递增,在区间 上单调递减. 当a0时,F(x)0)恒成立. 故当a0时,F(x)在(0,+)上单调递减. (2)由题意得a= 在区间 ,e上有两个不相等的实根. 令(x)= ,x ,e,则(x)= ,易知,(x)在( , )上为增函数,在( ,e)上为减函 数, 则(x)max=( )= , 而(e)= ,( )= . 由(e)-( )= - = = 0, 所以(e)( ). 所以(x)min=(e),由图可

5、知当(x)=a有两个不相等的实根时,需 a . 即f(x)=g(x)在 ,e上有两个不相等的实根时a的取值范围是 .,规律总结 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题,可转化为求两个函数图象的 交点个数问题.,构造函数研究零点问题,典例3 设函数f(x)= x2-mln x,g(x)=x2-(m+1)x. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)当m1时,讨论函数f(x)与g(x)图象的交点个数.,解析 (1)函数f(x)的定义域为(0,+), f (x)=x- = , 当m0时, f (x)0, 所以f(x)在(0,+)上单调递增, 当m0时, f (x)= , 所以当0 时, f (x)0

6、,函数f(x)单调递增.,综上,当m0时, f(x)在(0,+)上单调递增; 当m0时,函数f(x)的单调增区间是( ,+),单调减区间是(0, ). (2)令F(x)=f(x)-g(x)=- x2+(m+1)x-mln x,x0, 问题等价于求函数F(x)的零点个数问题, F(x)=- , 当m=1时,F(x)0,F(x)为减函数, 因为F(1)= 0,F(4)=-ln 40,所以F(x)有唯一零点; 当m1时,0m时,F(x)0, 所以函数F(x)在(0,1)和(m,+)上单调递减,在(1,m)上单调递增, 因为F(1)=m+ 0,F(2m+2)=-mln(2m+2)0, 所以F(x)有唯一零点. 综上,函数F(x)有唯一零点,即两函数图象总有一个交点.,规律总结 1.涉及函数的零点(方程的根)问题,主要利用导数确定函数的单调区间 及极值点,根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端 点的函数值与0的关系,从而求得参数的取值范围. 2.解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化, 突出导数的工具作用,体现转化与化归的思想方法.,