（浙江专用）2020版高考数学一轮总复习专题10圆锥曲线与方程10.5曲线与方程检测.doc

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1、110.5 曲线与方程挖命题【考情探究】5 年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.2015 浙江文,7曲线与方程的求法平面截圆锥的性质分析解读 1.求曲线方程的题目往往出现在解答题中,并且以第一小题的形式出现,难度适中.2.预计 2020 年高考试题中,求曲线的方程会有所涉及.破考点【考点集训】考点 曲线与方程1.(2018 浙江镇海中学阶段性测试,8)在圆 C:x2+y2+2x-2y-23=0 中,长为 8 的弦中点的轨迹方程为( ) A.(x-1)2+(y+1)2=9 B.(x+1)2+(y-1)2=9C.(x-1)2+(y+1

2、)2=16 D.(x+1)2+(y-1)2=16答案 B 2.(2017 浙江稽阳联谊学校联考(4 月),21)已知两个不同的动点 A,B 在椭圆 + =1 上,且线28 24段 AB 的垂直平分线恒过点 P(0,-1).求:(1)线段 AB 的中点 M 的轨迹方程;(2)线段 AB 的长度的最大值.解析 (1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0).易知直线 AB 的斜率存在,由题意可知, + =1, + =1,218214228224则 + =0,(1-2)(1+2)8(1-2)(1+2)4得 =- .1-21-2 2002又 =-1,得 y0=-2.1-21-20+10

3、从而,线段 AB 的中点 M 的轨迹方程为 y=-2(- ,0,00, -1,12即当 k 时,直线 l 与 C1只有一个公共点,与 C2有一个公共点.-1,12当 k 时,直线 l 与 C1有两个公共点,与 C2没有公共点 .-12,0)故当 k 时,直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点.-12,0) -1,12若 由解得-10,0b0),由 e= ,得 = ,从而 a2=2b2,所以 c=b.2222 222-22 12故椭圆 C 方程为 x2+2y2=2b2,设 A(x1,y1),B(x2,y2),A、B 在椭圆 C 上, +2 =2b2, +2 =2b2,两式相减得 ( - )+2(

4、 - )=0,即 =- .21 21 22 22 2122 21221-21-21+22(1+2)设 AB 的中点为(x 0,y0),则 kAB=- ,又(x 0,y0)在直线 y=x 上,故 y0=x0,于是- =-1,即 kAB=-0200201,故直线 l 的方程为 y=-x+1.右焦点(b,0)关于直线 l 的对称点设为(x,y),则 解得-=1,2=-+2 +1, =1,=1-.由点(1,1-b)在椭圆上,得 1+2(1-b)2=2b2,b=,b 2= ,a2=.9165所求椭圆 C 的方程为 + =1.2982916过专题【五年高考】统一命题、省(区、市)卷题组考点 曲线与方程1.

5、(2017 课标全国理,20,12 分)设 O 为坐标原点,动点 M 在椭圆 C: +y2=1 上,过 M 作 x 轴22的垂线,垂足为 N,点 P 满足 = .2(1)求点 P 的轨迹方程;(2)设点 Q 在直线 x=-3 上,且 =1.证明:过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.解析 本题考查了求轨迹方程的基本方法和定点问题.(1)设 P(x,y),M(x0,y0),则 N(x0,0), =(x-x0,y), =(0,y0). 由 = 得 x0=x,y0= y.222因为 M(x0,y0)在 C 上,所以 + =1.22 22因此点 P 的轨迹方程为 x2+y2=2.

6、(2)由题意知 F(-1,0).设 Q(-3,t),P(m,n),则 =(-3,t), =(-1-m,-n), =3+3m-tn, =(m,n), =(-3-m,t-n). 由 =1 得-3m-m 2+tn-n2=1,又由(1)知 m2+n2=2,故 3+3m-tn=0.所以 =0,即 . 又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ,所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.2.(2015 广东,20,14 分)已知过原点的动直线 l 与圆 C1:x2+y2-6x+5=0 相交于不同的两点A,B.(1)求圆 C1的圆心坐标;(2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程;6

7、(3)是否存在实数 k,使得直线 L:y=k(x-4)与曲线 C 只有一个交点?若存在,求出 k 的取值范围;若不存在,说明理由.解析 (1)圆 C1的方程 x2+y2-6x+5=0 可化为(x-3) 2+y2=4,所以圆心坐标为(3,0).(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x 2),M(x0,y0),则 x0= ,y0= .1+221+22由题意可知直线 l 的斜率必存在,设直线 l 的方程为 y=tx.将上述方程代入圆 C1的方程,化简得(1+t 2)x2-6x+5=0.由题意,可得 =36-20(1+t 2)0(*),x1+x2= ,61+2所以 x0= ,代入直线 l

8、的方程 ,得 y0= .31+231+2因为 + = + = = =3x0,20209(1+2)292(1+2)29(1+2)(1+2)291+2所以 + =.(0-32)220由(*)解得 t2b0)的离心率为 ,点(2, )在 C 上.2222 22 2(1)求 C 的方程;(2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M.证明:直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值.解析 (1)由题意有 = , + =1,2-2 22 42 22解得 a2=8,b2=4.所以 C 的方程为 + =1.28 24(2)证明:设直线 l:y=

9、kx+b(k0,b0),A(x 1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).将 y=kx+b 代入 + =128 24得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.8故 xM= = ,yM=kxM+b= .1+22-222+122+1于是直线 OM 的斜率 kOM= =- ,即 kOMk=-. 12所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值.思路分析 (1)利用椭圆的离心率,以及椭圆经过的点,求解 a,b,然后得到椭圆的方程;(2)联立直线方程与椭圆方程,通过根与系数的关系求解 kOM,然后推出直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值.3.(2014 广东,20,14 分)

10、已知椭圆 C: + =1(ab0)的一个焦点为( ,0),离心率为 .2222 5 53(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)若动点 P(x0,y0)为椭圆 C 外一点,且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的轨迹方程.解析 (1)由题意知 c= ,e= ,553a=3,b 2=a2-c2=4,故椭圆 C 的标准方程为 + =1.29 24(2)设两切线为 l1,l2,当 l1x 轴或 l1x 轴时, l 2x 轴或 l2x 轴,可知 P(3,2).当 l1与 x 轴不垂直且不平行时,x 03,设 l1的斜率为 k,且 k0,则 l2的斜率为-,l 1的方程为 y-y0=k(x-x

11、0),与 + =1 联立,29 24整理得(9k 2+4)x2+18(y0-kx0)kx+9(y0-kx0)2-36=0,直线 l1与椭圆相切,=0,即 9(y0-kx0)2k2-(9k2+4)(y0-kx0)2-4=0,( -9)k2-2x0y0k+ -4=0,20 20k 是方程( -9)x2-2x0y0x+ -4=0 的一个根,同理,-是方程( -9)x2-2x0y0x+ -4=0 的另一20 20 20 20个根,k = ,整理得 + =13,其中 x03,(-1)20-420-9 2020点 P 的轨迹方程为 x2+y2=13(x3).9P(3,2)满足上式.综上,点 P 的轨迹方程

12、为 x2+y2=13.评析 本题考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系以及轨迹方程的求法.考查分类讨论思想以及方程思想的应用.4.(2013 课标,20,12 分)已知圆 M:(x+1)2+y2=1,圆 N:(x-1)2+y2=9,动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C.(1)求 C 的方程;(2)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最长时,求|AB|.解析 由已知得圆 M 的圆心为 M(-1,0),半径 r1=1;圆 N 的圆心为 N(1,0),半径 r2=3.设圆 P的圆心为 P(x,y),半径

13、为 R.(1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,所以|PM|+|PN|=(R+r 1)+(r2-R)=r1+r2=4.由椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M、N 为左、右焦点,长半轴长为 2,短半轴长为 的椭圆(左3顶点除外),其方程为 + =1(x-2).24 23(2)对于曲线 C 上任意一点 P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-22,所以 R2,当且仅当圆 P 的圆心为(2,0)时,R=2.所以当圆 P 的半径最长时,其方程为(x-2) 2+y2=4.若 l 的倾斜角为 90,则 l 与 y 轴重合,可得|AB|=2 .3若 l 的倾斜角不为 90,由 r1R 知 l

14、不平行于 x 轴,设 l 与 x 轴的交点为 Q,则 = ,| 1可求得 Q(-4,0),所以可设 l:y=k(x+4).由 l 与圆 M 相切得 =1,|3|1+2解得 k= .24当 k= 时,将 y= x+ 代入 + =1,24 242 24 23并整理得 7x2+8x-8=0,解得 x1,2= .-462710所以|AB|= |x2-x1|= .1+2187当 k=- 时,由图形的对称性可知|AB|= .24 187综上,|AB|=2 或|AB|= .3187思路分析 (1)由动圆 P 与两定圆的位置关系可求得|PM|+|PN|=4,根据椭圆的定义即可判定动圆圆心 P 的轨迹,进而求得

15、曲线 C 的方程,注意检验特殊点是否符合题意;(2)根据条件确定圆 P 的半径最长时圆 P 的方程,对直线 l 的倾斜角进行讨论.当直线的斜率不存在时,直接求|AB|.当直线的斜率存在时,利用相切关系求其斜率与方程,将直线方程代入曲线 C 的方程,解出 x,再利用弦长公式求|AB|.【三年模拟】一、选择题(每小题 4 分,共 8 分)1.(2018 浙江杭州二中期中,9)2 000 多年前,古希腊大数学家阿波罗尼奥斯(Apollonius)发现:平面截圆锥的截口曲线是圆锥曲线.已知圆锥的高为 PH,AB 为底面直径,顶角为 2,那么不过顶点 P 的平面:与 PH 的夹角 满足 时,截口曲线为椭

16、圆;与 PH 的夹角 =时,截口曲线为抛物线;与 PH 的夹角 满足 0 时,截口曲线为双曲线.如图,底面内的直线 AMAB,过 AM 的平面截圆锥所得的曲线为椭圆,其中与 PB 的交点为 C,可知 AC 为长轴.那么当 C 在线段 PB 上运动时,截口曲线的短轴顶点的轨迹为( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线答案 D 2.(2017 浙江镇海中学一轮阶段检测,7)已知二次函数 y=ax2+bx+c(ac0)图象的顶点坐标为 ,与 x 轴的交点 P,Q 位于 y 轴的两侧,以线段 PQ 为直径的圆与 y 轴交于 F1(0,4)(-2,- 14)和 F2(0,-4),则点(b,c)所

17、在的曲线为( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线答案 B 二、填空题(单空题 4 分,多空题 6 分,共 6 分)113.(2018 浙江嘉兴教学测试(4 月),12)在直角坐标系中,A(-2,0),B(2,0),动点 P 满足|PA|=|PB|,则点 P 的轨迹方程是 ;轨迹为 . 2答案 x 2+y2-12x+4=0;一个圆三、解答题(共 45 分)4.(2019 届浙江高考信息卷(五),21)已知圆 M:(x+2 )2+y2=64,定点 N(2 ,0),点 P 为圆 M3 3上的动点,点 Q 在 NP 上,点 G 在 MP 上,且满足 =2 , =0.(1)求点 G 的轨迹方程

18、;(2)已知点 B(0,2),A、D 是曲线 G 上的两动点且 ABDB,若直线 AD 与以原点为圆心的圆总有公共点,求该圆的半径 r 的取值范围.解析 (1)连接 GN,则| |=| |,| |=| |+| |=| |+| |=8,根据椭圆的定义知点 G 的轨迹是以 M、N 为焦点,长轴长为 8 的椭圆,即 a=4,c=2 ,则 b2=a2-c2=4,故所求的轨迹3方程是 + =1.21624(2)设直线 AB 的方程是 y=kx+2,则直线 BD 的方程是 y=-x+2,由 得(1+4k 2)=+2,216+24=1x2+16kx=0,x A=- ,从而 yA= ,由 得 xD= ,yD=

19、 ,则 kAD=161+422-821+42 =-1+2,216+24=1 162+422-82+4= = ,直线 AD 的方程为 y- = ,即 y=-2-821+42-22-82+4- 161+42- 162+42-15 2-821+422-15 (+ 161+42)x-,即直线 AD 过定点 ,为使直线 AD 与圆 x2+y2=r2总有公共点,只需 r,即 r 的取2-15 (0,-65)值范围是 .65,+)5.(2018 浙江新高考调研卷四(金华一中),21)已知动圆 O1过定点 A(2,0),且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 4.(1)求动圆圆心 O1的轨迹 C 的方程;(2)若

20、 B(x0,y0)是动圆圆心 O1的轨迹 C 上的动点,点 P,Q 在 y 轴上,圆(x-2) 2+y2=4 内切于BPQ,求BPQ 面积的最小值及此时点 B 的坐标.12解析 (1)如图,设动圆圆心 O1(x,y),由题意知,|O 1A|=|O1M|,当 O1不在 y 轴上时,过 O1作O1HMN 交 MN 于 H,则 H 是 MN 的中点,|O 1M|=|O1A|, = ,2+4 (-2)2+2化简得 y2=4x(x0).又当 O1在 y 轴上时,O 1与 O 重合,点 O1的坐标(0,0)也满足方程 y2=4x,所以动圆圆心 O1的轨迹 C 的方程为 y2=4x.(2)设 P(0,p),

21、Q(0,q),且 pq.直线 PB 的方程:y-p= x,0-0化简得(y 0-p)x-x0y+x0p=0,圆心(2,0)到直线 PB 的距离是 2, =2,|2(0-)+0|(0-)2+20从而 4(y0-p)2+4 =4(y0-p)2+4x0p(y0-p)+ p2,易知 x04,20 20上式化简后,得(x 0-4)p2+4y0p-4x0=0,同理,(x 0-4)q2+4y0q-4x0=0,p+q=- ,pq=- ,400-4400-4p-q= =4 ,(- 400-4)2-4(- 400-4) 20+20-40(0-4)2B(x 0,y0)是抛物线上的一点, =4x0,p-q= ,204

22、00-4S BPQ = (p-q)x0= =2 32,4200-4 (0-4)+ 160-4+8当且仅当 x0-4= ,即 x0=8,y0=4 时取等号,此时 B(8,4 ).BPQ 面积的最小值为160-4 2 232.136.(2018 浙江嘉兴高三期末,21)如图,AB 为半圆 x2+y2=1(y0)的直径,点 D,P 是半圆弧上的两点,ODAB,POB=30.曲线 C 经过点 P,且曲线 C 上任意一点 M 满足|MA|+|MB|为定值.(1)求曲线 C 的方程;(2)设过点 D 的直线 l 与曲线 C 交于不同的两点 E,F,求OEF 面积最大时直线 l 的方程.解析 (1)根据椭圆

23、的定义,曲线 C 是以 A(-1,0),B(1,0)两点为焦点的椭圆,其中 2c=2,P.(32,12)2a=|PA|+|PB|= + = + ,(32+1)2+(12)2 ( 32-1)2+(12)22+ 3 2- 3a 2=,b2=,曲线 C 的方程为 + =1.(5 分)232212(2)当直线 l 的斜率不存在时,OEF 不存在,所以直线 l 的斜率存在.设过点 D 的直线 l 的斜率为 k,则 l:y=kx+1.由 得(2+6k 2)x2+12kx+3=0,=+1,22+62=3=(12k) 2-4(2+6k2)3=24(3k2-1)0,k 2,设 E(x1,y1),F(x2,y2),x 1+x2=- ,x1x2= ,(8 分)122+6232+62|EF|= |x1-x2|= ,(10 分)1+2 1+224(32-1)2+6214又点 O 到直线 l 的距离 d= ,11+2OEF 的面积 S=|EF|d= .(12 分)6(32-1)2+62令 =,0, 则 S= = = ,当且仅当 =,即 = ,也即 3k2-32-162+26+2 622 34 21=2,k=1 时,OEF 的面积取到最大值 .34此时直线 l 的方程为 y=x+1 或 y=-x+1.(15 分)