（天津专用）2020版高考数学大一轮复习11.4统计精练.docx

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1、111.4 统计挖命题【考情探究】5 年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度1.随机抽样1.理解随机抽样的必要性和重要性2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本;了解分层抽样方法2014 天津文,92012 天津,92011 天津,9分层抽样 2.统计图表了解分布的意义和作用,会列频率分布表,会画频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图,体会它们各自的特点2017 北京文,17统计图表的理解与应用古典概型、分层抽样方法2013 北京文,16古典概型的概率和方程3.用样本估计总体1.理解样本数据标准差的意义和作用,会计算样本数据标准差2.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标

2、准差),并给出合理的解释3.会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,理解用样本估计总体的思想4.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的2011 北京,17抽样方法与总体分布的统计茎叶图、平均数、方差、分布列和期望2思想解决一些简单的实际问题分析解读 1.掌握简单随机抽样、分层抽样等常用抽样方法,体会两种抽样方法的区别与联系及具体的操作步骤.2.会用样本的频率分布估计总体的分布,会用样本的数字特征估计总体的数字特征.3.样本数字特征及频率分布直方图为高考热点.有关统计内容及方法主要以选择题、填空题的形式呈现,分值约为 5 分,属容易题;抽样方法和各种统计图表

3、与概率的有关内容相结合也会出现在解答题中,分值约为 13 分,属中档题.破考点【考点集训】考点一 随机抽样1.(2014 重庆文,3,5 分)某中学有高中生 3500 人,初中生 1500 人.为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为 n 的样本,已知从高中生中抽取 70 人,则 n为( )A.100 B.150 C.200 D.250答案 A 2.(2018 课标文改编,14,5 分)某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异.为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样和分层抽样,则最合适的抽样方法是 . 答案 分层抽样

4、考点二 统计图表3.(2015 陕西,2,5 分)某中学初中部共有 110 名教师,高中部共有 150 名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为( )A.93 B.123 C.137 D.167答案 C 4.(2015 重庆,4,5 分)重庆市 2013 年各月的平均气温()数据的茎叶图如下:0 8 931 2 5 82 0 0 3 3 83 1 2则这组数据的中位数是( )A.19 B.20 C.21.5 D.23答案 B 5.(2015 湖北文,14,5 分)某电子商务公司对 10000 名网络购物者 2014 年度的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间0.3,0.

5、9内,其频率分布直方图如图所示.(1)直方图中的 a= ; (2)在这些购物者中,消费金额在区间0.5,0.9内的购物者的人数为 . 答案 (1)3 (2)60006.(2014 广东文,17,13 分)某车间 20 名工人年龄数据如下表:年龄(岁) 工人数(人)19 128 329 330 531 432 340 1合计 20(1)求这 20 名工人年龄的众数与极差;(2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这 20 名工人年龄的茎叶图;(3)求这 20 名工人年龄的方差.解析 (1)由题表中的数据易知,这 20 名工人年龄的众数是 30,极差为 40-19=21.4(2)这 20 名工人年龄的茎

6、叶图如下:123498 8 8 9 9 90 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 20(3)这 20 名工人年龄的平均数 = (191+283+293+305+314+323+401)=30,x120故方差 s2= 1(19-30)2+3(28-30)2+3(29-30)2+5(30-30)2+4(31-30)2+3(32-12030)2+1(40-30)2= (121+12+3+0+4+12+100)=12.6.120考点三 用样本估计总体7.(2018 课标文,19,12 分)某家庭记录了未使用节水龙头 50 天的日用水量数据(单位:m 3)和使用了节水龙头 50 天的日用水量数据,得

7、到频数分布表如下:未使用节水龙头 50 天的日用水量频数分布表日用水量 0,0.1)0.1,0.2)0.2,0.3)0.3,0.4)0.4,0.5)0.5,0.6)0.6,0.7)频数 1 3 2 4 9 26 5使用了节水龙头 50 天的日用水量频数分布表日用水量 0,0.1) 0.1,0.2) 0.2,0.3) 0.3,0.4) 0.4,0.5) 0.5,0.6)频数 1 5 13 10 16 5(1)作出使用了节水龙头 50 天的日用水量数据的频率分布直方图;5(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于 0.35m3的概率;(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水.(一年按 3

8、65 天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)解析 (1)(2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头后 50 天日用水量小于 0.35m3的频率为0.20.1+10.1+2.60.1+20.05=0.48,因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于 0.35m3的概率的估计值为 0.48.(3)该家庭未使用节水龙头 50 天日用水量的平均数为= (0.051+0.153+0.252+0.354+0.459+0.5526+0.655)=0.48.x1150该家庭使用了节水龙头后 50 天日用水量的平均数为= (0.051+0.155+0.2513+0.3510+0.4516+0.555)=

9、0.35.x2150估计使用节水龙头后,一年可节省水(0.48-0.35)365=47.45(m 3).炼技法【方法集训】6方法 1 频率分布直方图的应用1.(2014 重庆,17,13 分)20 名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如下:(1)求频率分布直方图中 a 的值;(2)分别求出成绩落在50,60)与60,70)中的学生人数;(3)从成绩在50,70)的学生中任选 2 人,求此 2 人的成绩都在60,70)中的概率.解析 (1)由(2a+3a+6a+7a+2a)10=1,解得 a= =0.005.1200(2)成绩落在50,60)中的学生人数为 20.0051020=2

10、.成绩落在60,70)中的学生人数为 30.0051020=3.(3)记成绩落在50,60)中的 2 人为 A1,A2,成绩落在60,70)中的 3 人为 B1,B2,B3,则从成绩在50,70)的学生中任选 2 人的基本事件共有 10 个:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),其中 2 人的成绩都在60,70)中的基本事件有 3 个:(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),故所求概率为 P= .3102.1995 年联合国教科文组织宣布每年的 4 月 23 日为世

11、界读书日,主旨宣言为“希望散居在全球各地的人们,都能享受阅读带来的乐趣,都能尊重和感谢为人类文明做出巨大贡献的文学、文化、科学思想的大师们,都能保护知识产权”.为了解大学生课外阅读情况,现从某高校随机抽取 100 名学生,将他们一年课外阅读量(单位:本)的数据分成 7 组20,30),30,40),80,90),并整理得到频率分布直方图(如图):(1)估计课外阅读量小于 60 本的人数;7(2)已知课外阅读量在20,30),30,40),40,50)内的学生人数比为 235.为了解学生阅读课外书的情况,现从阅读量在20,40)内的学生中随机抽取 2 人进行座谈,求 2 人分别在不同组的概率;(

12、3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计 100 名学生该年课外阅读量的平均数在第几组(只需写出结论).解析 (1)由题图,计算得课外阅读量小于 60 本的人数大约为 100-10010(0.04+0.02+0.02)=20.(2)由已知条件可知阅读量在20,50)内的人数为 100-10010(0.04+0.02+0.02+0.01)=10,则20,30)内的人数为 2,30,40)内的人数为 3,40,50)内的人数为 5.设20,30)内的 2 人分别为 a,b,30,40)内的 3 人分别为 c,d,e.设事件 A 为“2 人分别在不同组”.从20,40)内的学生中随

13、机选取 2 人包含(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共 10 个基本事件,而事件 A 包含(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),共 6 个基本事件.所以 P(A)= = .61035(3)第五组.方法 2 样本的数字特征及用其估计总体的数字特征3.某市的一个义务植树点统计了近 10 年栽种侧柏和银杏的数据(单位:株),制表:年份 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017侧柏 3200 3600 3300 3900 35

14、00 3300 3900 3600 4100 4000银杏 3400 3300 3600 3600 3700 4200 4400 3700 4200 4200(1)根据表中数据写出这 10 年内栽种银杏数量的中位数,并计算这 10 年栽种银杏数量的平均数;(2)从统计的数据中,在栽种侧柏与银杏数量之差的绝对值不小于 300 株的年份中,任意抽取2 年,求恰有 1 年栽种侧柏数量比银杏数量多的概率.解析 (1)这 10 年栽种银杏数量从小到大排列为3300,3400,3600,3600,3700,3700,4200,4200,4200,4400,故中位数为 3700,平均数为 3830.(2)栽

15、种侧柏与银杏数量之差绝对值不小于 300 株的年份有82009,2010,2011,2013,2014,共 5 年.从中任意抽取 2 年有(2009,2010),(2009,2011),(2009,2013),(2009,2014),(2010,2011),(2010,2013),(2010,2014),(2011,2013),(2011,2014),(2013,2014),共 10 种情况.恰有 1 年栽种侧柏数量比银杏数量多的有(2009,2010),(2009,2013),(2009,2014),(2010,2011),(2011,2013),(2011,2014),共 6 种情况.所以

16、所求概率 P= = .61035故恰有 1 年栽种侧柏数量比银杏数量多的概率为 .354.某网站从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取 10000 名进行调查,将受访用户按年龄分成 5 组:10,20),20,30),50,60,并整理得到如下频率分布直方图:(1)求 a 的值;(2)从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取一人,估计其年龄低于 40 岁的概率;(3)估计春节期间参与收发网络红包的手机用户的平均年龄.解析 (1)根据频率分布直方图可得 10(a+0.005+0.01+0.02+0.03)=1,解得 a=0.035.(2)样本中年龄低于 40 岁的频率为10(0.0

17、1+0.035+0.03)=0.75.所以从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取一人,估计其年龄低于 40 岁的概率为 0.75.(3)春节期间参与收发网络红包的手机用户的平均年龄估计为150.1+250.35+350.3+450.2+550.05=32.5 岁.过专题【五年高考】A 组 自主命题天津卷题组1.(2014 天津文,9,5 分)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查.已知该9校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为 4556,则应从一年级本科生中抽取 名学生. 答案

18、 602.(2012 天津,9,5 分)某地区有小学 150 所,中学 75 所,大学 25 所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 30 所学校对学生进行视力调查,应从小学中抽取 所学校,中学中抽取 所学校. 答案 18;93.(2011 天津,9,5 分)一支田径队有男运动员 48 人,女运动员 36 人,若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为 21 的样本,则抽取男运动员的人数为 . 答案 12B 组 统一命题、省(区、市)卷题组考点一 随机抽样1.(2014 广东,6,5 分)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和图 2 所示.为了解该地区中小学生的近视形成原

19、因,用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )图 1图 2A.200,20 B.100,20 C.200,10 D.100,10答案 A 2.(2017 江苏,3,5 分)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100 件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 件. 10答案 183.(2014 湖北,11,5 分)甲、乙两套设备生产的同类型产品共 4800 件,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 80 的样本进行质量检测.若样本中有 50 件产

20、品由甲设备生产,则乙设备生产的产品总数为 件. 答案 1800考点二 统计图表1.(2018 课标,3,5 分)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:则下面结论中不正确的是( )A.新农村建设后,种植收入减少B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半答案 A 2.(2017 课标,3,5 分)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了 2014

21、 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是( )A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月D.各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月,波动性更小,变化比较平稳11答案 A 3.(2017 山东,8,5 分)从分别标有 1,2,9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取 2 次,每次抽取1 张.则抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )A. B. C. D.518 49 59 79答案 C 4.(2018 江苏,3,5 分)已知 5

22、位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这 5 位裁判打出的分数的平均数为 . 8 9 99 0 1 1答案 905.(2014 江苏,6,5 分)为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中 60 株树木的底部周长(单位:cm),所得数据均在区间80,130上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的 60 株树木中,有 株树木的底部周长小于 100cm. 答案 246.(2016 四川,16,12 分)我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查.通过抽样,获得了某年 100 位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照0,0.5),0.5,1),

23、4,4.5分成 9 组,制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中 a 的值;(2)设该市有 30 万居民,估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数,说明理由;(3)估计居民月均用水量的中位数.12解析 (1)由频率分布直方图,可知月均用水量在0,0.5)内的频率为 0.080.5=0.04.同理,在0.5,1),1.5,2),2,2.5),3,3.5),3.5,4),4,4.5内的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由 1-(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=0.5a+0.5a,解得 a=0.30.(2)由(1

24、),知 100 位居民月均用水量不低于 3 吨的频率为 0.06+0.04+0.02=0.12,由以上样本的频率分布,可以估计 30 万居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为3000000.12=36000.(3)设中位数为 x 吨.因为前 5 组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.730.5,而前 4 组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.21=0.480.5,所以 2x2.5.由 0.50(x-2)=0.5-0.48,解得 x=2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为 2.04 吨.思路分析 (1)通过各组频率之和为 1,求出 a 的值.(2)

25、利用样本的频率来估计总体的数字特征.评析本题考查了样本数据的数字特征,及利用样本的数字特征估计总体的数字特征,同时考查了学生的运算能力.考点三 用样本估计总体1.(2014 广东,17,13 分)随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工人的日加工零件数(单位:件),获得数据如下:30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下:分组 频数 频率25,30 3 0.12(30,35 5 0.2013(35,40 8 0.32(40,45 n1 f1(45,50

26、 n2 f2(1)确定样本频率分布表中 n1,n2,f1和 f2的值;(2)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图;(3)根据样本频率分布直方图,求在该厂任取 4 人,至少有 1 人的日加工零件数落在区间(30,35的概率.解析 (1)n 1=7,n2=2,f1=0.28,f2=0.08.(2)样本频率分布直方图如图所示.(3)根据样本频率分布直方图,得每人的日加工零件数落在区间(30,35的概率为 0.2,设所取的 4 人中,日加工零件数落在区间(30,35的人数为 ,则 B(4,0.2),P(1)=1-P(=0)=1-(1-0.2) 4=1-0.4096=0.5904,所以 4 人中,

27、至少有 1 人的日加工零件数落在区间(30,35的概率为 0.5904.2.(2014 福建,20,12 分)根据世行 2013 年新标准,人均 GDP 低于 1035 美元为低收入国家;人均 GDP 为 10354085 美元为中等偏下收入国家;人均 GDP 为 408512616 美元为中等偏上收入国家;人均 GDP 不低于 12616 美元为高收入国家.某城市有 5 个行政区,各区人口占该城市人口比例及人均 GDP 如下表:行政区区人口占城市人口比例区人均 GDP(单位:美元)A 25% 8000B 30% 4000C 15% 6000D 10% 3000E 20% 10000(1)判断

28、该城市人均 GDP 是否达到中等偏上收入国家标准;14(2)现从该城市 5 个行政区中随机抽取 2 个,求抽到的 2 个行政区人均 GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率.解析 (1)设该城市人口总数为 a,则该城市人均 GDP 为80000.25a+40000.30a+60000.15a+30000.10a+100000.20aa=6400.因为 64004085,12616),所以该城市人均 GDP 达到了中等偏上收入国家标准.(2)“从 5 个行政区中随机抽取 2 个”的所有的基本事件是A,B,A,C,A,D,A,E,B,C,B,D,B,E,C,D,C,E,D,E,共 10 个.设事件

29、“抽到的 2 个行政区人均 GDP 都达到中等偏上收入国家标准”为 M,则事件 M 包含的基本事件是A,C,A,E,C,E,共 3 个,所以所求概率为 P(M)= .3103.(2015 广东,17,12 分)某工厂 36 名工人的年龄数据如下表.工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄1 40 10 36 19 27 28 342 44 11 31 20 43 29 393 40 12 38 21 41 30 434 41 13 39 22 37 31 385 33 14 43 23 34 32 426 40 15 45 24 42 33 537 45 16 39 25

30、 37 34 378 42 17 38 26 44 35 499 43 18 36 27 42 36 39(1)用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为 44,列出样本的年龄数据;(2)计算(1)中样本的均值 和方差 s2;x(3)36 名工人中年龄在 -s 与 +s 之间有多少人?所占的百分比是多少(精确到 0.01%)?x x解析 (1)由系统抽样,将 36 名工人分为 9 组(4 人一组),每组抽取一名工人.因为在第一分段里抽到的是年龄为 44 的工人,即编号为 2 的工人,故所抽样本的年龄数据为44,40,36,43,36,37,

31、44,43,37.(2)均值 = =40;x44+40+36+43+36+37+44+43+37915方差 s2= (44-40)2+(40-40)2+(36-40)2+(43-40)2+(36-40)2+(37-40)2+(44-40)2+(43-40)192+(37-40)2= .1009(3)由(2)可知 s= .由题意,年龄在 内的工人共有 23 人,所占的百分比为103 (40-103,40+103)100%63.89%.2336C 组 教师专用题组(2015 课标,3,5 分)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是

32、( )A.逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 C.2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关答案 D 【三年模拟】一、选择题(每小题 5 分,共 5 分)1.(2017 天津耀华中学第二次月考,2)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为 600 件、400 件、300 件,用分层抽样方法抽取容量为 n 的样本,若从丙车间抽取 6 件,则n 的值为( )A.18 B.20 C.24 D.26答案 D 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分)2.(2017 天津南开

33、三模,9)某人 5 次下班途中所花的时间(单位:分钟)分别为 m,n,5,6,4.已知这组数据的平均数为 5,方差为 2,则|m-n|的值为 . 答案 4163.(2017 天津南开中学 5 月月考,9)某单位生产甲、乙、丙三种不同型号的产品,三种产品数量之比为 345,现用分层抽样的方法抽出一个容量为 96 的样本,则乙种型号的产品数量为 . 答案 324.(2018 天津南开模拟,9)某中学为了解学生的数学学习情况,在 3000 名学生中随机抽取200 名,并统计这 200 名学生的某次数学考试成绩,得到样本的频率分布直方图(如图),根据频率分布直方图,推测这 3000 名学生在该次数学考

34、试中成绩低于 60 分的学生人数是 .答案 6005.(2017 天津滨海新区七校联考,10)某小学随机抽取 100 名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图).若要从身高在120,130),130,140),140,150三组内的学生中,用分层抽样的方法选取 24 人参加一项活动,则从身高在140,150内的学生中选取的人数应为 . 答案 46.(2017 天津南开质量检测,9)某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒与 18秒之间,将测试结果分成五组:第一组13,14),第二组14,15),第五组17,18.如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图

35、,若成绩大于或等于 14 秒且小于 16 秒为良好,则该班在这次百米测试中成绩良好的人数为 . 17答案 27三、解答题(共 80 分)7.(2018 天津和平质量检测(3),15)某校有 8 名学生参加歌唱比赛,得分情况如下:6,9,5,9,6,10,7,8.把这 8 名学生的得分看成一个总体.(1)求该总体的平均数;(2)求该总体的方差;(3)用简单随机抽样方法从这 8 名学生中抽取 2 名,他们的得分组成一个样本,求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率.解析 (1)总体平均数为= (6+9+5+9+6+10+7+8)=7.5.x18(2)总体方差s2= (6-7.5

36、)2+(9-7.5)2+(5-7.5)2+(9-7.5)2+(6-7.5)2+(10-7.5)2+(7-7.5)2+(8-187.5)2=2.75.(3)设事件 A 表示“该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5”,从总体 5,6,6,7,8,9,9,10 中抽取 2 个个体,全部的可能结果有 28 种,分别为(5,6),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(5,9),(5,10),(6,6),(6,7),(6,8),(6,9),(6,9),(6,10),(6,7),(6,8),(6,9),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),(7,9),(7,10),(8,

37、9),(8,9),(8,10),(9,9),(9,10),(9,10),其中 A 包括的基本事件有 14 个,分别为(5,9),(5,9),(5,10),(6,8),(6,9),(6,9),(6,10),(6,8),(6,9),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),(7,9),该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率 P(A)= = .142812188.(2018 天津河北质量检测(1),15)某校有若干学生社团,其中文学社、围棋社、书法社的人数分别为 9、18、27.现采用分层抽样的方法从这三个社团中抽取 6 个人参加活动.(1)求应从这三个社团中抽取的人数;

38、(2)将抽取的 6 个人进行编号,编号分别为 A1,A2,A3,A4,A5,A6,现从这 6 人中抽出 2 人组成活动小组.(i)用所给编号列出所有可能结果;(ii)设 M 为事件“编号为 A1和 A2的 2 人中恰有 1 人被抽到”,求事件 M 的概率.解析 (1)应从“文学社”“围棋社”“书法社”中抽取的人数分别是 1,2,3.(2)(i)从 6 人中随机抽取 2 人组成活动小组的所有可能结果为(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,A5),(A1,A6),(A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A2,A6),(A3,A4),(A3,A5),(A3,A6),(A4

39、,A5),(A4,A6),(A5,A6),共 15 种.(ii)事件 M 包含(A 1,A3),(A1,A4),(A1,A5),(A1,A6),(A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A2,A6),共 8 个基本事件.因此,事件 M 发生的概率 P(M)= .8159.(2018 天津南开质量检测(1),15)某教研部门对本地区甲、乙、丙三所学校高一年级进行教学质量抽样调查,甲、乙、丙三所学校高一年级班级数量(单位:个)如下表所示.研究人员用分层抽样的方法从这三所学校中共抽取 6 个班级进行调查.学校 甲 乙 丙数量 4 12 8(1)求这 6 个班级中来自甲、乙、丙三所学校的数量;

40、(2)在这 6 个班级中随机抽取 2 个班级做进一步调查.(i)列举出所有可能的抽取结果;(ii)求这 2 个班级来自同一所学校的概率.解析 (1)因为样本容量与总体的个体数的比是 = ,64+12+814所以样本中甲、乙、丙三所学校的数量分别是4 =1,12 =3,8 =2.14 14 14所以这 6 个班级来自甲、乙、丙三所学校的数量分别为 1,3,2.(2)设 6 个班级来自甲、乙、丙三所学校的样本分别为甲;乙 1,乙 2,乙 3;丙 1,丙 2.(i)抽取 2 个班级的所有可能结果为19甲,乙 1,甲,乙 2,甲,乙 3,甲,丙 1,甲,丙 2,乙 1,乙 2,乙 1,乙 3,乙 1,

41、丙 1,乙 1,丙 2,乙 2,乙 3,乙 2,丙 1,乙 2,丙 2,乙 3,丙 1,乙 3,丙 2,丙 1,丙 2,共 15个.(ii)每个班级被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.记事件 A 为“抽取的这 2 个班级来自同一所学校”,则事件 A 包含的基本事件有乙 1,乙 2,乙 1,乙 3,乙 2,乙 3,丙 1,丙 2,共 4 个.所以 P(A)= ,即这 2 个班级来自同一所学校的概率为 .415 41510.(2018 天津和平质量检测(1),16)某校从参加高三区级模拟考试的学生中随机抽取 60 名,将其数学成绩(均为整数)分成 6 段80,90),90,100)

42、,130,140)后得到相应的频率分布直方图如图,根据图中的信息,回答下列问题.(1)求分数在100,110)内的人数;(2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计本次考试的平均分;(3)用分层抽样的方法在分数段为80,100)的学生中抽取一个容量为 6 的样本,将该样本看成一个总体,从中任取 2 人,求至多有 1 人在分数段90,100)内的概率.解析 (1)根据频率分布直方图知,分数在100,110)内的频率为 0.02510=0.25,则所求的人数为 600.25=15.(2)用同一组数据区间的中点值作为代表,得本次考试的平均分=850.15+950.30+1050

43、.25+1150.15+1250.10+1350.05=104.x(3)用分层抽样的方法在分数段为80,100)的学生中抽取一个容量为 6 的样本,则80,90)内应抽取 6 =2 人,记为 A、B,0.150.15+0.3090,100)内应抽取 4 人,记为 c、d、e、f,从这 6 人中任取 2 人,基本事件为AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef,共 15 种,20至多有 1 人在分数段90,100)内的基本事件是 AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf,共9 种,故所求的概率是 P= = .9153511.(2018 天

44、津红桥一模,16)学校计划举办“国家”系列讲座.由于条件限制,按男、女生比例采取分层抽样的方法,从某班选出 10 人参加活动,在活动前,对所选的 10 名同学进行了国学素养测试,这 10 名同学的性别和测试成绩(百分制)的茎叶图如图所示.(1)分别计算这 10 名同学中男女生测试的平均成绩;(2)若这 10 名同学中男生和女生的国学素养测试成绩的标准差分别是 s1,s2,试比较 s1与 s2的大小(不必计算,只需直接写出结果);(3)规定成绩大于或等于 75 分为优良,从这 10 名同学中随机选取一男一女两名同学,求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率.解析 (1)由茎叶图得男生测试的平

45、均成绩= (64+76+77+78)=73.75(分),x114女生测试的平均成绩= (56+79+76+70+88+87)=76(分).x216(2)由茎叶图得 s1s2.(3)设“两名学生的成绩均为优良”为事件 A,男生成绩由低到高依次为 64,76,77,78,女生成绩由低到高依次为 56,70,76,79,87,88,则从 10 名学生中随机选取一男一女两名同学共有 24 种取法:64,56,64,70,64,76,64,79,64,87,64,88,76,56,76,70,76,76,76,79,76,87,76,88,77,56,77,70,77,76,77,79,77,87,77

46、,88,78,56,78,70,78,76,78,79,78,87,78,88,成绩大于或等于 75 分为优良,21两名均为优良的取法有 12 种,分别为76,76,76,79,76,87,76,88,77,76,77,79,77,87,77,88,78,76,78,79,78,87,78,88,这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率 P(A)= = .12241212.(2018 天津滨海新区七校联考,16)从高三学生中选取 n 名参加数学竞赛,成绩(单位:分)的分组及频率分布直方图如图所示,已知成绩的范围在区间40,100)内,且成绩在区间70,90)内的学生人数是 27.(1)求 x

47、,n 的值;(2)若从数学成绩(单位:分)在40,60)的学生中随机选取 2 人进行分析.(i)列出所有可能的选取结果;(ii)设选取的 2 人中,成绩都在50,60)内为事件 A,求事件 A 发生的概率.解析 (1)由频率分布直方图可得 x=0.1-(0.004+0.006+0.016+0.02+0.03)=0.024.样本容量 n= =50.2710(0.03+0.024)(2)(i)成绩在40,50)内的共有 2 人,分别记为 x,y,成绩在50,60)内的共有 3 人,分别记为a,b,c,则从中随机选取 2 人,所有可能的选取结果为(x,y),(x,a),(x,b),(x,c),(y,a),(y,b),(y,c),(a,b),(a,c),(b,c).(ii)事件 A 包含的基本事件有(a,b),(a,c),(b,c),共 3 种,事件 A 发生的概率 P(A)= .310