2019届高考数学二轮复习第二篇考点六函数、导数与不等式考查角度1用导数解决函数的单调性、极值与最值问题突破训练文.docx
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1、1考查角度 1 用导数解决函数的单调性、极值与最值问题分类透析一 求函数的单调区间例 1 已知函数 f(x)=ax3+x2(aR)在 x=- 处取得极值 .43(1)确定 a 的值;(2)若 g(x)=f(x)ex,求函数 g(x)的单调减区间 .分析 (1)先求出函数的导数,然后把 x=- 代入可确定 a 的值;(2)先求出 g(x)的函数解43析式,再求导数,最后利用导数求单调性的方法求出单调递减区间 .解析 (1)对 f(x)求导得 f(x)=3ax2+2x,因为 f(x)在 x=- 处取得极值, f =0,43 (-43)即 3a +2 = - =0,解得 a= .169 (-43)1
2、6a3 83 12(2)由(1)得 g(x)= ex,(12x3+x2)故 g(x)= ex+ ex(32x2+2x) (12x3+x2)= ex= x(x+1)(x+4)ex.(12x3+52x2+2x) 12令 g(x)0,h (x)= -ax-2.12 1x若函数 h(x)在(0, + )上存在单调递减区间,则当 x0 时, -ax-2 - 有解 .1x 1x22x设 G(x)= - ,x0,aG (x)min.1x22x又 G(x)= -1,G (x)min=-1.(1x-1)2a- 1.即实数 a 的取值范围是( -1,+ ).(2)h (x)=lnx- ax2-2x 在1,4上单调
3、递减,12 当 x1,4时, h(x)= -ax-20 恒成立,1x则 a - 恒成立 .1x22x设 G(x)= - ,x1,4,1x22xa G(x)max.又 G(x)= -1,x1,4,(1x-1)2G (x)max=- (此时 x=4),a - .716 716故实数 a 的取值范围是 .-716,+ )方法技巧 1.已知函数的单调性,求参数的取值范围,应用条件 f(x)0(或 f(x)0),x( a,b)恒成立,求出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解),应注意参数的取值范围是 f(x)不恒等于 0 的参数的取值范围 .2.若函数 y=f(x)在区间( a,b)上不是单调
4、函数,则问题转化为 f(x)=0 在( a,b)上有解 .分类透析三 已知函数求极值(点)例 3 已知函数 f(x)=x-1+ (aR,e 为自然对数的底数) .aex(1)若曲线 y=f(x)在点(1, f(1)处的切线平行于 x 轴,求 a 的值;(2)求函数 f(x)的极值 .分析 运用导数的几何意义求出参数的值,求带有参数的函数的极值时,要注意分类讨论 .解析 (1)由 f(x)=x-1+ ,得 f(x)=1- .aex aex3又曲线 y=f(x)在点(1, f(1)处的切线平行于 x 轴,得 f(1)=0,即 1- =0,解得 a=e.ae(2)f(x)=1- ,aex 当 a0
5、时, f(x)0,f(x)为( - ,+ )上的增函数,所以函数 f(x)无极值 . 当 a0 时,令 f(x)=0,得 ex=a,即 x=lna,当 x( - ,lna)时, f(x)0.所以 f(x)在( - ,lna)上单调递减,在(ln a,+ )上单调递增 .故 f(x)在 x=lna 处取得极小值且极小值为 f(lna)=lna,无极大值 .综上,当 a0 时,函数 f(x)无极值;当 a0 时, f(x)在 x=lna 处取得极小值 lna,无极大值 .方法技巧 函数极值的两类热点问题(1)由函数极值求参数的值或取值范围 .已知函数极值,利用导数的几何意义求参数的值,利用极值点的
6、定义求参数的取值范围 .(2)求函数 f(x)的极值这类问题的一般解题步骤: 确定函数的定义域; 求导数 f(x); 解方程 f(x)=0,求出在函数定义域内方程的所有根; 列表检验 f(x)在 f(x)=0 的根 x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在 x0处取极大值,如果左负右正,那么 f(x)在 x0处取极小值 .分类透析四 利用导数求函数的最值例 4 已知函数 f(x)=lnx-ax(aR) .(1)求函数 f(x)的单调区间;(2)当 a0 时,求函数 f(x)在1,2上的最小值 .分析 (1)已知函数的解析式求单调区间,实质上是求导数 f(x)0,f(x)0),1x
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