版选修2_1201901155135.doc

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1、13.1.5 空间向量的数量积学习目标：1.掌握空间向量的夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律(重点)2.掌握空间向量数量积的坐标形式，会用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离的简单问题(重点、难点)3.了解向量夹角与直线所成角的区别(易错点)自 主 预 习探 新 知教材整理 1 空间向量的夹角阅读教材 P91P 92上半部分，完成下列问题a， b 是空间两个非零向量，过空间任意一点 O，作 a， b，则 AOB 叫做向量OA OB a 与向量 b 的夹角，记作 a， b ， a， b 的范围是0，如果 a， b ，则称 2a 与 b 互相垂直，记作 a b.如图 3127，在正

2、方体 ABCDA1B1C1D1中，求向量 与 夹角的大小BC1 AC 图 3127解 ，AD1 BC1 CAD1的大小就等于 ， BC1 AC ACD1为正三角形， CAD1 ， ， . 3 BC1 AC 3向量 与 夹角的大小为 .BC1 AC 3教材整理 2 空间向量的数量积阅读教材 P92例 1 以上的部分，完成下列问题1数量积的定义设 a， b 是空间两个非零向量，我们把数量| a|b|cos a， b叫做向量 a， b 的数量积，记作 ab，即 ab| a|b|cos a， b 规定：零向量与任一向量的数量积为 0.2数量积的性质2(1)cos a， b (a， b 是两个非零向量)

3、ab|a|b|(2)a bab0( a， b 是两个非零向量)(3)|a|2 aa a2.3数量积的运算律(1)ab ba；(2)( a)b (ab)( R)；(3)a(b c) ab ac.1判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)若 ab0，则 a0 或 b0.( )(2)在 ABC 中， ， B.( )AB BC (3)两个向量的数量积是数量，而不是向量( )(4)若 a， b 均为非零向量，则 ab| a|b|是 a 与 b 共线的充要条件( )答案 (1) (2) (3) (4)2已知| a| ，| b| ， ab ，则 a 与 b 的夹角为_. 222 22【导学号：713921

4、74】解析 cos a， b ，又 a， b0，ab|a|b| 22222 22 a， b .34答案 34教材整理 3 数量积的坐标表示阅读教材 P93P 94例 3 以上的部分，完成下列问题1若 a( x1， y1， z1)， b( x2， y2， z2)，则(1)ab x1x2 y1y2 z1z2.(2)a bab0 x1x2 y1y2 z1z20( a0， b0)(3)|a| .aa x21 y21 z21(4)cos a， b (a0， b0)x1x2 y1y2 z1z2x21 y21 z21x2 y2 z22空间两点间距离公式3设 A(x1， y1， z1)， B(x2， y2，

5、z2)，则 AB .(x1 x2)2 (y1 y2)2 (z1 z2)21若 a(1,0,2)， b( x， y,1)，且 a b，则 x_.解析 a b， ab x20，解得 x2.答案 22与向量 a(1,2,2)方向相同的单位向量是_解析 | a| 3，故与 a 方向相同的单位向量是 (1,2,2)12 22 22a|a| 13.(13， 23， 23)答案 (13， 23， 23)合 作 探 究攻 重 难求空间向量的数量积已知长方体 ABCDA1B1C1D1中， AB AA12， AD 4， E 为侧面 AA1B1B 的中心，F 为 A1D1的中点求下列向量的数量积(1) ；BC ED

6、1 (2) . BF AB1 【导学号：71392175】精彩点拨 法一(基向量法)：与 ， 与 的夹角不易求，可考虑用向量 ， ， 表示向量 ， ， ， ，BC ED1 BF AB1 AB AD AA1 BC ED1 BF AB1 再求结论即可法二(坐标法)：建系求相关点坐标向量坐标数量积自主解答 法一(基向量法)：如图所示，设 a， b， c，则AB AD AA1 |a| c|2，| b|4， ab bc ca0.(1) ( ) b | b|24 216.BC ED1 BC EA1 A1D1 12(c a) b4(2) ( )( ) (a c)| c|2| a|22 22 20.BF AB

7、1 BA1 A1F AB AA1 (c a 12b)法二(坐标法)：以 A 为原点建立空间直角坐标系，如上图所示，则 B(2,0,0)，C(2,4,0)， E(1,0,1)， D1(0,4,2)， F(0，2,2)， A(0,0,0)， B1(2,0,2)， (0,4,0)， (1,4,1)， (2,2,2)， (2,0,2)，BC ED1 BF AB1 (1) 0(1)440116.BC ED1 (2) 2220220.BF AB1 名师指津 解决此类问题的常用方法(1)基向量法：首先选取基向量，然后用基向量表示相关的向量，最后利用数量积的定义计算.注意：基向量的选取要合理，一般选模和夹角都

8、确定的向量.(2)坐标法：对于建系比较方便的题目，采用此法比较简单，只需建系后找出相关点的坐标，进而得向量的坐标，然后利用数量积的坐标公式计算即可.再练一题1在上述例 1 中，求 .EF FC1 解 法一： ( a b c)EF FC1 12(c a) 12b (12b a) 12 (12b a) |a|2 |b|22.12 14法二：以 A 为原点建立空间直角坐标系，则 E(1,0,1)， F(0，2,2)， C1(2,4,2)， (1,2,1)， (2,2,0)，EF FC1 1222102.EF FC1 利用数量积求夹角和距离如图 3128 所示，在平行六面体 ABCDA B C D中，

9、AB4， AD3， AA5， BAD90， BAA DAA60.图 3128(1)求 AC的长；5(2)求 与 的夹角的余弦值. AC AC 【导学号：71392176】精彩点拨 求线段长，要利用向量的方法求解，关键是找到表示 AC的基向量，只要模与夹角均可知，则问题可求解，求夹角问题则是向量数量积的逆用自主解答 (1) ，AC AB AD AA | |2( )2AC AB AD AA | |2| |2| |22( )AB AD AA AB AD AB AA AD AA 4 23 25 22(0107.5)85.| | .AC 85(2)法一：设 与 的夹角为 ，AC AC ABCD 是矩形，

10、| | 5.AC 32 42由余弦定理可得cos .AC 2 AC2 CC 22AC AC 85 25 252855 8510法二：设 a， b， c，AB AD AA 依题意得 ( a b c)(a b)AC AC a22 ab b2 ac bc160945cos 6035cos 6016910 ，152 852cos .AC AC |AC |AC |852855 8510名师指津 1求两点间的距离或某线段的长度，就是把此线段用向量表示，然后用| a|2 aa，即| a| 通过向量运算求 |a|.aa2对于空间向量 a， b，有 cos a， b .ab|a|b|利用这一结论，可以较方便地求

11、解异面直线所成角的问题，由于向量的夹角的取值范围为0，而异面直线所成的角的取值范围为 ，故 a， b 时，它们(0， 2 (0， 26相等；而当 a， b 时，它们互补( 2， )再练一题2如图 3129，正四面体 ABCD 中， M， N 分别为棱 BC， AB 的中点，设 a， b， c.AB AC AD 图 3129(1)用 a， b， c 分别表示向量 ， ；DM CN (2)求异面直线 DM 与 CN 所成角的余弦值解 (1) ( ) ( )( )DM 12DB DC 12 AB AD AC AD (a c)( b c) (a b2 c)，12 12 ( ) ( ) CN 12CB

12、CA 12 AB AC AC (a b) b (a2 b)12 12(2)设棱长为 1，即| a| b| c|1 且 a， b b， c c， a ，则 3| | | .DM CN 32又 (a b2 c)(a2 b) (a2 ab2 ac2 ab2 b24 bc)DM CN 14 14 ，18cos ， .DM CN DM CN |DM |CN | 1832 32 16异面直线 DM 与 CN 所成角的余弦值为 .16利用数量积解决平行和垂直问题7已知 a( 1,1,2 )， b(6,2 m1,2)(1)若 a b，分别求 与 m 的值；(2)若| a| ，且 a 与 c(2，2 ， )垂直

13、，求 a.5精彩点拨 利用向量平行、垂直、向量的模列方程组求解自主解答 (1)由 a b，得( 1,1,2 ) k(6,2m1,2)，Error! 解得Error!实数 ， m3.15(2)| a| ，且 a c，5Error!化简，得Error!解得 1.因此， a(0,1，2)名师指津 向量平行与垂直问题主要有两种题型(1)平行与垂直的判断.(2)利用平行与垂直求参数或其他问题，即平行与垂直的应用.再练一题3如图 3130 所示，在直三棱柱 ABCA1B1C1中， CA CB1， BCA90，棱AA12， M 是 A1B1的中点求证： A1B C1M. 【导学号：71392177】图 31

14、30证明 如图所示，以 ， ， 为正交基底，建立空间直角坐标系 Cxyz.CA CB CC1 依题意得 B(0,1,0)， A1(1,0,2)， C10 ，0，2)， B1(0,1,2)，则 M ，于是(12， 12， 0)(1,1，2)， ， 00，A1B C1M (12， 12， 0) A1B C1M 12 128 ，故 A1B C1M.A1B C1M 空间向量数量积的运算特征探究问题1数量积运算是否满足消去律？提示 对于三个不为 0 的实数 a， b， c，若 ab ac，则 b c.对于三个非零向量a， b， c，若 ab ac，不能得出 b c，即向量不能约分如图，在三棱锥 SABC

15、 中， SC平面 ABC，则 SC AC， SC BC.设 a， b， c，则 ab ac0，但 b c.CS CA CB 2数量积运算是否有除法？提示 数量积的运算不满足除法，即对于向量 a， b，若 ab k，不能得到 akb，例如当非零向量 a， b 垂直时， ab0，但 a 显然是没有意义的(或 bka) 0b3数量积运算满足结合律吗？提示 由定义得( ab)c(| a|b|cos a， b) c，即( ab)c 1c； a(bc) a(|b|c|cos b， c)，即 a(bc) 2a，因此，( ab)c 表示一个与 c 共线的向量，而 a(bc)表示一个与 a 共线的向量，而 a

16、与 c 不一定共线，所以( ab)c a(bc)不一定成立如图 3131，已知正四面体 OABC 的棱长为 1.求：图 31319(1) ；OA OB (2)( )( )；OA OB CA CB (3)| |.OA OB OC 精彩点拨 在正四面体 OABC 中， ， ， 的模和夹角都已知，因此可以先把相关向OA OB OC 量用 ， ， 线性表示，再结合空间向量数量积的运算律与运算性质求解即可OA OB OC 自主解答 在正四面体 OABC 中，| | | |1，OA OB OC ， ， ， 60.OA OB OA OC OB OC (1) | | |cos AOBOA OB OA OB 1

17、1cos 60 .12(2)( )( )OA OB CA CB ( )( )OA OB OA OC OB OC ( )( 2 )OA OB OA OB OC 2 2 22 OA2 OA OB OA OC OB OB OC 1 22 211cos 601 2211cos 6012111111.(3)| |OA OB OC (o(OA,sup8( ) o(OB,sup8( ) o(OC,sup8( )2 .12 12 12 (211cos 60)3 6再练一题4已知 a3 b 与 7a5 b 垂直，且 a4 b 与 7a2 b 垂直，则 a， b_. 【导学号：71392178】解析 由条件知，(

18、 a3 b)(7a5 b)7| a|216 ab15| b|20，及( a4 b)(7a2 b)7| a|28| b|230 ab0.两式相减，得 46ab23| b|2， ab |b|2.12代入上面两个式子中的任意一个，即可得到| a| b|.10cos a， b .ab|a|b| 12|b|2|b|2 12 a， b0，180， a， b60.答案 60当 堂 达 标固 双 基1已知向量 a(4，2，4)， b(6，3,2)，则( a b)(a b)的值为_解析 a b(10，5，2)， a b(2,1，6)，( a b)(a b)2051213.答案 132已知向量 a(2，3,0)，

19、 b( k,0,3)若 a， b 成 120的角，则 k_.解析 cos a， b ，得 k .ab|a|b| 2k139 k2 12 39答案 393如图 3132，已知正三棱柱 ABCA1B1C1的各条棱长都相等， M 是侧棱 CC1的中点，则异面直线 AB1和 BM 所成的角的大小是_图 3132解析 ， ，设棱长为 1.AB1 AB BB1 BM BC CM 又 ( )( )AB1 BM AB BB1 BC CM AB BC BB1 BC AB CM BB1 CM 00 0，12 12cos ， 0，AB1 BM AB1 BM |AB1 |BM | ，AB1 BM 直线 AB1与 BM

20、 所成的角为 90.答案 90114已知正方形 ABCD 的边长为 2， E 为 CD 的中点，则 _.AE BD 解析 ， ，AE AD DE AD 12AB BD AD AB ( ) 2AE BD (AD 12AB ) AD AB AD 240022.AD AB 12AB AD 12AB 答案 25如图 3133 所示，在空间四边形 OABC 中，OA8， AB6， AC4， BC5， OAC45， OAB60，求 OA 与 BC 所成角的余弦值. 【导学号：71392179】图 3133解 由题意知 ，BC AC AB OA BC OA AC OA AB | | |cos ， | | |cos ， OA AC OA AC OA AB OA AB 84cos 13586cos 1202416 ，2cos ， ，OA BC OA BC |OA |BC | 24 16285 3 225 OA 与 BC 所成角的余弦值为 .3 225