[考研类试卷]考研数学三（随机变量的数字特征）模拟试卷1及答案与解析.doc

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1、考研数学三（随机变量的数字特征）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 XE(1)，记 Y=max(X，1)，则 E(Y)=（A）1（B） 1+e-1（C） 1-e-1（D）e -12 已知随机变量 X 与 Y 均服从 0-1 分布，且 EXY= ，则 PX+Y1=3 设随机变量 X 与 Y 独立同分布，记 U=X-Y，V=X+Y ，则随机变量 U 与 Y（A）不独立（B）独立（C）相关系数不为零（D）相关系数为零4 设随机变量 XN(0，1)，YN(1 ，4)，且相关系数 XY=1，则（A）PY=-2X-1=1（B） PY=2X

2、-1=1（C） PY=-2X+1=1（D）PY=2X+1=15 已知随机变量 X 与 Y 有相同的不为零的方差，则 X 与 Y 相关系数 =1 的充要条件是（A）Cov(X+Y，X)=0（B） Cov(X+Y，Y)=0（C） Cov(X+Y，X-Y)=0（D）Cov(X-Y，X)=0二、填空题6 已知随机变量 X 在(1，2)上服从均匀分布，在 X=x 条件下 Y 服从参数为戈的指数分布，则 E(XY)=_7 已知某零件的横截面是一个圆，对横截面的直径进行测量，其值在区间(1，2)上服从均匀分布，则横截面面积的数学期望为_，方差为_.8 设随机变量 X 和 Y 相互独立，且 XN(1，2)，Y

3、 N(-3 ，4)，则随机变量 Z=-2X+3Y+5 的概率密度为 f(z)=_9 将一颗骰子连续重复掷 4 次，以 X 表示 4 次掷出的点数之和，则根据切比雪夫不等式，P10X18_10 设随机变量 X 的概率密度为 则随机变量 X 的二阶原点矩为_11 设试验成功的概率为 ，现独立重复地试验直到成功两次为止，则所需进行的试验次数的数学期望为_12 已知随机变量 X1 与 X2 相互独立且分别服从参数为 1， 2 的泊松分布，PX1+X20=1-e -1，则 E(X1+X2)2=_13 已知(X，Y)在以点(0，0) ，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，对(X ， Y

4、)作 4 次独立重复观察，观察值 X+Y 不超过 1 出现的次数为 Z，则EZ2=_14 设盒子中装有 m 个颜色各异的球，有放回地抽取 n 次，每次 1 个球设 X 表示n 次中抽到的球的颜色种数，则 EX=_15 设随机变量 X1，X n 相互独立同分布，EX i=，DX i=8(i=1，2，n)，则概率16 已知随机变量 X 与 Y 的相关系数 ，则根据切比雪夫不等式有估计式 PX-Y _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 假设有 10 只同种电子元件，其中有 2 只废品装配仪器时，从这 10 只元件中任取一只，如是废品，则扔掉后再重新任取一只；如仍是废品，则扔掉后再

5、任取一只求在取到正品之前，已取出的废品只数的数学期望和方差18 已知随机变量 X 的概率密度为 f(x)=Aex(B-x)(-x+)，且 E(X)=2D(x)，试求：()常数 A， B 之值；( )E(X2+eX)；()Y= 的分布函数 F(y)19 投篮测试规则为每人最多投三次，投中为止，且第 i 次投中得分为(4-i)分，i=1，2 ，3若三次均未投中不得分，假设某人投篮测试中投篮的平均次数为 1.56次()求该人投篮的命中率； () 求该人投篮的平均得分20 甲、乙两人相约于某地在 12：0013：00 会面，设 X，Y 分别是甲、乙到达的时间，且假设 X 和 Y 相互独立，已知 X，Y

6、 的概率密度分别为求先到达者需要等待的时间的数学期望21 设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为记 X=X2+Y2求：()Z 的密度函数；()EZ，DZ ； ()PZ122 设随机变量 X1，X 2，X n 相互独立，且都服从数学期望为 1 的指数分布，求Z=minX1，X 2，X n的数学期望和方差23 设随机变量 X 在区间-1，1上服从均匀分布，随机变量()Y=试分别求出 DY 与 Cov(X，Y) 24 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)，已知 D(X)=1，而随机变量 Y 的概率密度为f(-y)，且 XY= 记 Z=X+Y，求 E(Z)，D(Z) 25 设随机变量 X 与 Y

7、相互独立同分布，且 X 的概率分布为 ，记U=max(X，Y)，V=min(X，Y) ，试求：()(U，V)的分布；()E(UV)；()UV26 设 A，B 为相互独立的随机事件，0P(A)=P1，且 A 发生 B 不发生与 B 发生A 不发生的概率相等记随机变量试求 X 与 Y 的相关系数 27 已知二维随机变量(X，Y)的概率分布为又 PX=1=05，且 X与 Y 不相关 () 求未知参数 a，b，c； ()事件 A=X=1与 B=max(X，Y)=1是否独立，为什么? ()随机变量 X+Y 与 X-Y 是否相关，是否独立?28 设甲、乙两人随机决定次序对同一目标进行独立地射击，并约定；若

8、第一次命中，则停止射击，否则由另一人进行第二次射击，不论命中与否，停止射击设甲、乙两人每次射击命中目标的概率依次为 06 和 05()计算目标第二次射击时被命中的概率；()设 X， Y 分别表示甲、乙的射击次数，求 X 与 Y 的相关系数 XY考研数学三（随机变量的数字特征）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 如果先去求 Y 的密度 fY(y)，则计算量很大直接用随机变量函数的数学期望的定义式(44) ，有故选(B) 【知识模块】 随机变量的数字特征2 【正确答案】 C【试题解析】 由 X 与 Y 均服从 0-

9、1 分布，可以列出(X，Y) 的联合分布如下：由二维离散型随机变量(X，Y) 的函数的数学期望的定义式(4 5)可知，随机变量 Z=g(X，Y)=XY 的数学期望为 E(XY)=0.0.PX=0，Y=0+0.1.PX=0，Y=1 +1.0.PX=1 ， Y=0+1.1.PX=1，Y=1PX+Y1=PX=0，Y=0+PX=0，Y=1+PX=1 ， Y=0=p11+p12+p21=1-p22= 故选(C)【知识模块】 随机变量的数字特征3 【正确答案】 D【试题解析】 由于 X 与 Y 独立同分布，因此层(X)=E(Y)，E(X 2)=E(Y2)又 E(U)=E(X-Y)=E(X)-E(Y)=0，

10、 E(UV)=E(X-Y)(X+Y)=E(X2-Y2)=E(X2)-E(Y2)=0， Cov(U，V)=E(UV)-E(U)E(V)=0，从而可知 U 与 V 的相关系数为零，故选(D) 由 X 与 Y 独立可知 XY=0如果 X 与 Y 都服从正态分布，则 U=X-Y 和 V=X+Y也都服从正态分布，从而 U 与 V 相互独立，(A)不正确如果 X 与 Y 服从同一 0-1分布：由于 PU=-1，V=2PU=-1PV=2，故 U 与 V 不相互独立，(B)不正确【知识模块】 随机变量的数字特征4 【正确答案】 D【试题解析】 由于 X 与 Y 的相关系数 XY=10，因此 PY=aX+b=1

11、，且a0又因为 VN(1，4)，XN(0 ，1)，所以 EX=0，EY=1而 EY=E(aX+b)=b b=1即应选(D)【知识模块】 随机变量的数字特征5 【正确答案】 D【试题解析】 一直接用定义通过计算确定正确选项已知 DX=DY=20，则故选(D)其余选项均不正确，这是因为当 DX=DY 时，【知识模块】 随机变量的数字特征二、填空题6 【正确答案】 1【试题解析】 由题设知 fYX (yx)= 所以(X，Y) 的联合密度函数由二维连续型随机变量(X ， Y)的函数的数学期望的定义式(46) 可知，随机变量 X=g(X，Y)=XY，的学数期望为【知识模块】 随机变量的数字特征7 【正确

12、答案】 【试题解析】 设横截面的直径为 X，则 X 在区间(1，2)上服从均匀分布，概率密度为 设横截面的面积为 S，则S= 根据随机变量的数学期望的性质与方差的计算公式，可得由于D(S)=E(S2)-E(S)2，而 E(S2)= ，由随机变量函数的数学期望的定义式(4 4) 可知，随机变量 Z=g(X)=X4 的数学期望为【知识模块】 随机变量的数字特征8 【正确答案】 【试题解析】 因为两个相互独立的正态随机变量的线性函数仍然服从正态分布，所以 Z=-2X+3Y+5 服从正态分布要求 f(z)= ，则需确定参数 与 的值文 E(Z)=，D(Z)= 2，因此归结为求 E(Z)与 D(Z)根据

13、数学期望和方差的性质及 E(X)=1， D(X)=2， E(Y)=-3， D(Y)=4，可得 E(Z)=E(-2X+3Y+5)=-2E(X)+3E(Y)+5 =(-2)1+3(-3)+5=-6， D(Z)=D(-2X+3Y+5)=(-2) 2D(X)+32D(Y)=42+94=44因此 Z 的概率密度为【知识模块】 随机变量的数字特征9 【正确答案】 【试题解析】 以 Xk(k=1，2，3，4)表示第 k 次掷出的点数，则 Xk 独立同分布：PXk=i= (i=1，2，6)所以又由于X=X1+X2+X3+X4，而 Xk(k=1，2，3，4)相互独立，所以因此，根据切比雪夫不等式，有 P10X1

14、8=P-4 X-144=PX-144=P X-EX4【知识模块】 随机变量的数字特征10 【正确答案】 【试题解析】 依题设，即求 EX2首先对所给概率密度作变换：对于 x(-x+)，有 由此可知随机变量 X 服从正态分布，从而 于是 EX2=DX+(EX)2=【知识模块】 随机变量的数字特征11 【正确答案】 【试题解析】 设 X 表示试验成功两次时所进行的试验次数， y 表示第一次试验成功所进行的试验次数，Z 表示从第一次成功之后到第二次成功所进行的试验次数，则 X=Y+Z，且 Y 与 Z 都服从同一几何分布，其概率分布为【知识模块】 随机变量的数字特征12 【正确答案】 2【试题解析】

15、已知 XiP( i)且相互独立，所以 EXi=DXi=i，i=1，2.为求得最终结果我们需要由已知条件求得 1+2因为 PX 1+X20=1-PX 1+X20=1-PX1+X2=0 =1-PX1=0，X 2=0=1-PX1=0PX2=0 所以1+2=1，故 E(X1+X2)2=1+1=2【知识模块】 随机变量的数字特征13 【正确答案】 5【试题解析】 由题设知(X，Y)的联合概率密度为若记 A=“X+Y1”，则 Z 是 4 次独立重复试验事件A 发生的次数，故 ZB(4，p)，其中【知识模块】 随机变量的数字特征14 【正确答案】 【试题解析】 令 则X=X1+X2+Xm 事件“X i=0”

16、表示 n 次中没有抽到第 i 种颜色的球，由于是有放回抽取，n 次中各次抽取结果互不影响，因此有【知识模块】 随机变量的数字特征15 【正确答案】 【试题解析】 由于 X1，X n 相互独立同分布，因此有 应用切比雪夫不等式，有【知识模块】 随机变量的数字特征16 【正确答案】 【试题解析】 由于 E(X-Y)=EX-EY=0，D(X-Y)=DX+DY-2Cov(X，Y)=【知识模块】 随机变量的数字特征三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 设 X 表示在取到正品之前已取出的废品只数，则 X 的可能取值是0，1，2，其概率分布为于是由随机变量的数学期望的定义式(

17、41)及随机变量的函数的数学期望的定义式(43)分别可得 所以 X 的方差为 D(X)=E(X2)-E(X)2=【知识模块】 随机变量的数字特征18 【正确答案】 () 由 且 E(X)=2D(X)，得到 E(X)= =2D(X)=1，即B=2而()E(X 2+eX)=E(X2)+E(eX)而()由于 显然，当y0 时，F(y)=0；当 y0 时，其中 (Y)为标准正态分布的分布函数【试题解析】 f(x)=的概率密度函数【知识模块】 随机变量的数字特征19 【正确答案】 () 设该投篮人投篮次数为 X，投篮得分为 Y；每次投篮命中率为 p(0 p1)，则 X 的概率分布为 PX=1=p，PX=

18、2=pq，PX=3=q2，EX=p+2pq+3q 2=p+2p(1-p)+3(1-p)2=p2-3p+3依题意 p2-3p+3=156， 即 p2-3p+1 44=0解得 p=06(p=24 不合题意，舍去) ()Y 可以取 0，1，2，3 四个可能值，且 PY=0=q 3=04 3=0064， PY=1=pq 2=0604 2=0096， PY=2=pq=0604=024， PY=3=p=06，于是=2376(分) 【知识模块】 随机变量的数字特征20 【正确答案】 X 和 Y 的联合概率密度为按题意需要求的是X-Y的数学期望，即有(D 1，D 2 如图 42)【知识模块】 随机变量的数字特

19、征21 【正确答案】 () 当 z0 时，F(x)=0 ；当 z0 时， F(z)=PZz=PX 2+Y2z()由() 的结果(指数分布 )可知，EZ=2 2，DZ=4 4()PX1=或 PZ1=F(1)=的指数分布)【知识模块】 随机变量的数字特征22 【正确答案】 X i(i=l，2，n)的分布函数为 由于诸 Xi(i=1，2，n)相互独立，则 Z=minX1，X 2，X n的分布函数与概率密度分别为【知识模块】 随机变量的数字特征23 【正确答案】 显然 Y 是 X 的函数：Y=g(x)，因此计算 DY 可以直接应用公式EY=Eg(X)，或用定义计算()已知 Xf(x)=故 DY=ey-

20、(EY)2=1-0=1或者 EY=1pY=1+0PY=0+(-1)PY=-1DY=EY2-(EY)2=EY2=PX0=PX0+PX0=1，【知识模块】 随机变量的数字特征24 【正确答案】 E(Z)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)= 令 y=-x，则 所以 E(Z)=0又 D(Y)=E(Y2)-E(Y)2=E(Y2)-E(X)2，所以 D(Y)=E(Y 2)-E(X)2=E(X2)-E(X)2=D(X)=1于是 D(Z)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)【知识模块】 随机变量的数字特征25 【正确答案】 () 设(U ，V) 的分布为 ，则有p11=PU=1， V=1=P

21、max(X，Y)=1 ，min(X，Y)=1=PX=1，Y=1=PX=1PY=1= p12=PU=1，V=2=Pmax(X ，Y)=1，min(X，Y)=2= =0， p22=PU=2， V=2=Pmax(X，Y)=2，rain(X，Y)=2=PX=2，Y=2=PX=2PY=2= p21=1-p11-p12-p22= 所以(U，V)的分布为()UV 可能取值为 1，2，4，所以()由()可知【知识模块】 随机变量的数字特征26 【正确答案】 首先要求出 X，Y，XY 的分布，从而计算得EX，DX ；EY，DY；EXY，最后计算得 由题设知 ，即 P(A-B)=P(B-A)，P(A)-P(AB)

22、=P(B)-P(BA)，故 P(A)=P(B)=p又 A 与 B 独立，所以P(AB)=P(A)P(B)=p2从而得 X，Y，XY 的分布为由 EX=p，DX=P(1-p)；EY=p2，DY=p 2(1-p2)； EXY=p 2，Cov(X，Y)=EXY-EX.EY=p 2-p3=p2(1-p)，得【知识模块】 随机变量的数字特征27 【正确答案】 () 应用联合分布、边缘分布关系及 X 与 Y 不相关求参数a、b、c由于 PX=1=05，故 PX=-1=05，a=0 5-01-0 1=03又 X与 Y 不相关 E(XY)=EX.EY，其中 EX=(-1)05+105=0 XY 可能取值为-1

23、，0，1，且 PXY=-1=PX=-1，Y=1+PX=1，Y=-1=01+b， PXY=1=PX=1，Y=1+PX=-1，Y=-1=01+c， PXY=0=PX=-1，Y=0+PX=1，Y=0=a+01，所以 E(XY)=-01-b+0 1+c=c-b，由 E(XY)=EXEY=0 c-b=0，b=c，又 b+01+c=0 5，所以 b=c=02 () 由于 A=X=1 B=max(X， Y)=1，P(AB)=P(A)=05，0P(B) 1，又 P(A)P(B)=05P(B)05=P(AB) ，即 P(AB)P(A)P(B)，所以 A 与 B 不独立 ()因为Cov(X+Y，X-Y)=Cov(

24、X，X)-Cov(X，Y)+Cov(Y ，X)-Cov(Y ，Y)=DX-DY， DX=EX2-(EX)2=1，EY=0，DY=EY 2-(EY)2=06，所以 Cov(X+Y，X-Y)=1-06=0 40 ，X+Y 与 X-Y 相关 X+Y 与 X-Y 不独立【知识模块】 随机变量的数字特征28 【正确答案】 () 设 A 表示甲先射击，则 表示乙先射击，又设 Bi 表示在第 i次射击时目标被命中(i=1 ，2) ，则由题意，有由全概率公式即得()由题意知 PX=0，Y=0=0 ， PX=1，Y=0=P(AB 1)=03， PX=0，Y=1=P(ABl)=025 ，PX=1，Y=1=0 45，所以(X，Y)的分布律及边缘分布律为计算得EX=075，EY=07，DX=0250.75 ，DY=0307，E(XY)=045，于是【知识模块】 随机变量的数字特征