[考研类试卷]考研数学三（线性方程组）模拟试卷1及答案与解析.doc

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1、考研数学三（线性方程组）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 n 阶矩阵， 是 n 维列向量，若秩 =秩(A)，则线性方程组（A）Ax= 必有无穷多解（B） Ax= 必有唯一解（C） =0 仅有零解.（D） =0 必有非零解 .2 设矩阵 Amn 的秩 r(A)=mm 为 m 阶单位矩阵，下述结论中正确的是（A）A 的任意 m 个列向量必线性无关（B） A 的任意一个 m 阶子式不等于零（C）若矩阵曰满足 BA=0，则 B=0（D）A 通过初等行变换，必可以化为(E m，0)形式二、填空题3 设 1， 2， 3 是四厄非齐次线性

2、方程绀 Ax=b 的三个向量，秩 (A)=3 1=(1，2，3，4) T， 2+3=(0，1，2，3) T，r 表示任意常数，线性方程细 Ax=b的通解 x=_.4 已知方程组 无解，则 a=_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 设线性方程组 x 1+a1x2+a12x3=a13; x1+a2x2+a22x3=a23; x1+a3x2+a32x3=a33; x1+a4x2+a42x3=a43;5 证明：若 1， 2， 3,4 两两不相等，则此线性方程组无解6 设 1=3=k， 2=4=-k(k0)，且已知 1， 2 是该方程组的两个解，其中 1=,2=写出此方程组的通解7

3、设 = ，= ，= ，A= T，B= T，其中 T 是 的转置，求解方程2B2A2x=A4x+B4x+8 已知 4 阶方阵 A=(1， 2， 3,4)， 1， 2， 3,4 均为 4 维列向节，其中2， 3， 4 线性无关， 1=22-3如果 =1+2+3+4，求线性方程组 Ax= 的通解.8 设线性方程组 x 1+x2+x3+x4=0; 2x1+x2+x3+2x4=0; 3x1+(2+)x2+(4+)x3+4x4=0; 已知(1， -1，1， -1)T 是该方程组的一个解 试求:9 方程组的全部解，并用对应的齐次方程组的基础解系表示全部解；10 方程组满足 x2=x3 的全部解10 已知非齐

4、次线性方程组 x 1+x2+x3+x4=-1； 4x 1+3x2+5x3-x4=-1； ax 1+x2+3x3+bx4=-1； 有 3 个线性无关的解.11 证明方程组系数矩阵 A 的秩 r(A)=2；12 求 a，b 的值及方程组的通解13 已知齐次线性方程组 i: x 1+2x2+3x3=0； 2x 1+3x2+5x3=0； x 1+2x2+ax3=0； 和 ii: x1+bx2+cx3=0； 2x 1+b2x2+(c+1)x3=0； 同解，求 a，b，c 的值14 设线性方程组 x 1+x2+x3=0； x 1+2x2+ax3=0； x 1+4x2+a2x3=0； 与方程 x1+2x2+

5、x3=a-1； 有公共解，求 a 的值及所有公共解14 设四元线性齐次方程组(1)为 x 1+x2=0 x2-x4=0 又已知某线性齐次方程组() 的通解为： k 1(0，1，1，0)+k 2(-1，2，2，1)15 求线性方程组(I)的基础解系16 问线性方程组(I)和( )是否有非零公共解?若有，则求出所有的非零公共解，若没有，则说明理由16 已知下列齐方程组（I）（）17 求解方程组（I），用其导出组的基础解系表示通解；18 当方程组中的参数 m，n，t 为何值时，方程组(I)与()同解18 设 , 为 3 维列向量，矩阵 A=T+T，其中 T， T 分别是 ， 的转置 证明：19 秩

6、r(A)2；20 若 ， 线性相关，则秩 r(A)2考研数学三（线性方程组）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为“Ax=0 仪有零解”与“Ax=0 必有非零解”这两个命题必然是一对一错，不可能两个命题同时正确，也不可能两个命题同时错误所以本题应当从(C)或(D)人手【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 C【知识模块】 线性方程组二、填空题3 【正确答案】 【试题解析】 A i=b，有 A21-(2+3)=0，即 2 1-(2+3)=(2，3，4，5) T 是 Ax=0的一个非零解。【知识模块】 线性方程

7、组4 【正确答案】 -1【试题解析】 【知识模块】 线性方程组三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 线性方程组5 【正确答案】 因为增广矩阵 A 的行列式是范德蒙行列式 丨 A 丨=( 2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3)0， 故 r(A)=4而系数矩阵 A 的秩 r(a)=3，所以方程组无解【知识模块】 线性方程组6 【正确答案】 当 1=3=k， 2=4=-k(k0)时，方程组同解于 x1+kx2+k2x3=k3;x1-kx2+k2x3=-k3;n-r(A)=3-2=1，知导出组 Ax=0 的基础解系含有 1 个解向量那么=1-2= 是 Ax

8、=0 的基础解系于是方程组的通解为卢1+k=(-1，1 ，1) T+k(-2，0，2) T，其中 k 为任意常数【知识模块】 线性方程组7 【正确答案】 由已知得 又A2=TT=(T)T=2A，递推地 A4=23A代入原方程，得 16Ax=8Ax+16x+，即8(A-2E)x=(其中 E 是 3 阶单位矩阵)令 x=(x1，x 2，x 3)T，代人上式，得到非齐次线性方程组-x 1+1/2x2=0;2x1-x2=0;x1+1/2x2-2x3=1;解其对应的齐次方程组，得通解=(1，2，1) T(k 为任意常数)显然，非齐次线性方程组的一个特解为 *=(0，0，-1/2)T，于是所求方程的解为

9、x=+*，即 x=k(1，2，1) T+(0，0，-1/2) T，其中 k 为任意常数【知识模块】 线性方程组8 【正确答案】 由 2， 3， 4 线性无关及 1=22-3 知，向量组的秩r(1， 2， 3,4)=3，即矩阵 A 的秩为 3因此 Ax：0 的基础解系中只包含一个向量那么由( 1， 2， 3,4) =1-22+3=0 知，Ax=0 的基础解系是(1，-2，1，0) T再由 =1+2+3+4=(1， 2， 3,4) 知，(1，1，1，1) T 是Ax= 的一个特解故 Ax= 的通解是 k(1，-2，1，0) T+(1，1，1，1) T，其中 k 为任意常数【试题解析】 方程组的系数

10、没有具体给出，应当从解的理论，解的结构人手来求解【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组9 【正确答案】 将(1，-1 ，1，-1) T 代人方程组，得 =对增广矩阵作初等行变换，有全部解为(-1/2 ，1，0，0) T+k1(1，-3 ，1，0) T+k2(-1，-2，0，2) T，其中 k1，k 2 为任意常数 方程组有无穷多解，其全部解为(-1，0，0，1) T+k(2，-1 ，1，-2) T，其中 k 为任意常数【知识模块】 线性方程组10 【正确答案】 当 =1/2 时，若 x2=x3，由方程组的通解 x 1=-1/2+k1-k2; x2=1-3k1-2k2; x3=k1;

11、x4=2k2; 知 1-3k1-2k2=k1 即 k1=1/4-1/2k2 将其代入整理，得全部解为 x1=-1/4-3/2k2，x 2=1/4-1/2k2，x 3=1/4-1/2k2，x 4=2k2， 或 (-1/4,1/4,1/4,0) T+k2(-3/2,-1/2,-1/2,2)T，其中 k2 为任意常数 当 1/2 时，x 2=x3 知-k=k ，即 k=0从而只有唯一解(-1，0 ，0，1) T.【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组11 【正确答案】 设 1， 2， 3.是非齐次方程组的 3 个线性无关的解，那么 1-2， 1-3 是 Ax=0 线性无关的解，所以 n-r

12、(A)2，即 r(A)2 显然矩阵 A 有 2 阶子式不为 0，又有 r(A)2，从而 r(A)=2【知识模块】 线性方程组12 【正确答案】 对增广矩阵作初等行变换，有由 r(A)=r(A)=2，知a=2，b=-3又 a=(2，-3，0，0) T 是 Ax=b 的解， 1=(-2，1，1，0) T， 2=(4，-5，0，1) T 是 Ax=0 的琏础解系，所以方程组的通解是 +k11+k22(k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性方程组13 【正确答案】 因为方程组(ii)中方程个数 =2-a=0 a=2对(i) 系数矩阵作初等行变换，有 可求出方程组(i)的通解是 k(-1，-1，1

13、) T因为(-1，-1，1) T 应当是方程组(ii)的解，故有-1-b+c=0;-2-b 2+c+1=0;b=a,c=2 或b=0，c=1当 b=0，c=1 时，方程组(ii)为 x1+x3=0;2x1+2x3=0;因其系数矩阵的秩为1从而(i)(ii)不同解，故 b=0，c=1 应舍去,当 a=2， b=1，c=2 时，(i) 与(ii)同解【知识模块】 线性方程组14 【正确答案】 x 1+x2+x3=0；x 1+2x2+ax3=0；x 1+4x2+a2x3=0；x 1+2x2+x3=a-1；变换有从而力程组的通解为 k(1，0，-1) T即方程组有公共解 从而方程组的解为(0，1，-1

14、) T 即方程组有公共解【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组15 【正确答案】 由已知，（I）的系数矩阵为 由于 n-r(A)=2,x3,x4 可为自由变量，故（I）的基础解系可取为（0,0,1，0），（-1,1,0,1）【知识模块】 线性方程组16 【正确答案】 方程组（I）与方程组（）有非零公解， 将方程组（）的通解 x1=-k2,x2=k4+2k2,x3=k1+2k2,x4=k2 代入方程组（I），则有： -k 2+k1+2k2=0； k1+2k2-k2=0 所以 k 1=-k2. 那么当 k1=-k20 时，向量 k 1（0,1,1,0）+k 2（-1,2,2,1）=k1（

15、1 ，-1，-1，-1 ） 是方程组(I)和() 是否有非零公共解【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组17 【正确答案】 对方程组(I)的增广矩阵作初等行变换，有 A1由于 r(A1)=r(A1)=34=0，得方程组(I) 的特解为(-2 ，-4 ，-5，0) T；令 x4=1，得方程组(I)的导出组的基础解系为(1，1， 2，1) T故方程组(I)的通解为(-2 ，-4，-5，0) T+k(1，1，2，1) T，其中 k 为任意常数【知识模块】 线性方程组18 【正确答案】 把方程组(I)的通解 x1=-2+k，x 2=-4+k，x 3=-5+2k，x 4=k 代入到方程组( )

16、中，整理有 因为 k 是任意常数，故m=2， n=4， t=6此时方程组(I)的解全是方程组( )的解由于 r(A1)=r(A1)=3，当n=4 时， r(A2)=r(A2)=3所以 r(I)的解)=r()的解)=r(I)的解，()的解因此，()的解也必是 (I)的解。从而 (I)与()同解【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 因为 ， 为 3 维列向量，那么 T， T 都是 3 阶矩阵，且秩r(T)1， r( T)1故 r(A)=r( T+T)r(T)+r(T)2【知识模块】 线性方程组20 【正确答案】 若 ， 线性相关，则 3 不全为 0 的 k1，k 2 使 k1+k2=O不妨设k20，则有 =ka，那么 r(A)=r T+(k)(k)T=r(1+k2)T=r(T)1【知识模块】 线性方程组