[考研类试卷]考研数学三（线性代数）模拟试卷131及答案与解析.doc

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1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 131 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵，则( )（A）当 mn 时，必有AB0（B）当 mn 时，必有AB=0（C）当 nm 时，必有AB0（D）当 nm 时，必有AB=02 设 A 为 mn 阶矩阵，且 r(A)=mn，则( ).（A）A 的任意 m 个列向量都线性无关（B） A 的任意 m 阶子式都不等于零（C）非齐次线性方程组 AX=b 一定有无穷多个解（D）矩阵 A 通过初等行变换一定可以化为(E m 0)3 设矩阵 A=(1， 2， 3， 4)经行初等变换为矩

2、阵 B=(1， 2， 3， 4)，且1， 2， 3 线性无关， 1， 2， 3， 4 线性相关，则( )（A） 4 不能由 1， 2， 3 线性表示（B） 4 能由 1， 2， 3 线性表示，但表示法不唯一（C） 4 能由 1， 2， 3 线性表示，且表示法唯一（D） 4 能否由 1， 2， 3 线性表示不能确定4 设 A，B 是满足 AB=O 的任意两个非零阵，则必有( )（A）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（B） A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关（C） A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（D）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关5 设有方

3、程组 Ax=0 与 BX=0，其中 A，B 都是 mn 阶矩阵，下列四个命题：(1)若 AX=0 的解都是 BX=0 的解，则 r(A)r(B) (2)若 r(A)r(B)，则 AX=0 的解都是 BX=0 的解(3)若 AX=0 与 BX=0 同解，则 r(A)=r(B) (4)若 r(A)=r(B)，则 AX=0 与 BX=0 同解以上命题正确的是( ) （A）(1)(2)（B） (1)(3)（C） (2)(4)（D）(3)(4)6 设 A 为 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（A）矩阵 A 的秩与矩阵 A 的非零特征值的个数相等（B）若 AB ，则矩阵 A 与矩阵 B 相似于同一对角阵

4、（C）若 r(A)=rN，则 A 经过有限次初等行变换可化为（D）若矩阵 A 可对角化，则 A 的秩与其非零特征值的个数相等7 设 A 是三阶实对称矩阵，若对任意的三维列向量 X，有 XTAX=0，则( )（A）A=0（B） A0（C） A0（D）以上都不对二、填空题8 设 A 为三阶正交矩阵，且A0，BA= 4，则E AB T=_ 9 设 A，B 都是三阶矩阵， 且满足 (A*)1 B=ABA+2A2，则B=_10 设三阶矩阵 A 的特征值为 1=1， 其对应的特征向量为1， 2， 3，令 P=(23，3 1， 2)，则 P1 (A1 +2E)P=_11 设 有三个线性无关的特征向量，则 a

5、=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 设 A=(aij)nn 是非零矩阵，且A中每个元素 aij 与其代数余子式 Aij 相等证明：A013 设矩阵 A 满足(2E C 1 B)AT=C1 ，且，求矩阵 A14 设 A 为 n 阶矩阵且 r(A)=n=1证明：存在常数 k，使得(A *)2=kA*15 设 1， 2， ， t 为 AX=0 的一个基础解系， 不是 AX=0 的解，证明：，+ t，+ 2，+ t 线性无关15 设 1， 2， 1， 2 为三维列向量组，且 1， 2 与 1， 2 都线性无关16 证明：至少存在一个非零向量可同时由 1， 2 和 1， 2 线性

6、表示；17 设 求出可由两组向量同时线性表示的向量18 设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 a，b，c 且不全为零，又且 AB=O，求方程组 AX=0 的通解19 问 a，b，c 取何值时，()，() 为同解方程组?20 设 A 是 mn 阶矩阵，且非齐次线性方程组 AX=b 满足 r(A)=r(A)=rn证明：方程组 AX=b 的线性无关的解向量的个数最多是 nr+1 个20 设 方程组 AX=B 有解但不唯一21 求 a；22 求可逆矩阵 P，使得 P1 AP 为对角阵；23 求正交阵 Q，使得 QTAQ 为对角阵23 设二维非零向量 不是二阶方阵 A 的特征向量24 证明：，A 线性

7、无关；25 若 A2+A 一 6=0，求 A 的特征值，讨论 A 可否对角化；26 设 有三个线性无关的特征向量，求 a 及 A*27 设 求 a，b 及正交矩阵 P，使得PTAP=B28 设 A 为三阶方阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 的通解为求 A29 三元二次型 f=XTAX 经过正交变换化为标准形 f=y12+y222y 32，且 A*+2E 的非零特征值对应的特征向量为 求此二次型考研数学三（线性代数）模拟试卷 131 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 AB 为 m 阶矩阵，因为 r(A)minm，n，r

8、(B)minm，n，且r(AB)minr(A)， r(B)，所以 r(AB)minm，n，故当 mn 时，r(AB)n m，于是AB=0 ，选 B【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 C【试题解析】 显然由 r(A)=mn ，得 r(A)=r(A)=mn，所以方程组 AX=b 有无穷多个解选 C【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 1， 2， 3 线性无关，而 1， 2， 3， 4 线性相关，所以 4 可由 1， 2， 3 唯一线性表示，又 A=(1， 2， 3， 4)经过有限次初等行变换化为B=(1， 2， 3， 4)，所以方程组 x11+x22+x33=4 与 x11+x

9、22+x33=4 是同解方程组，因为方程组 x11+x22+x33=4 有唯一解，所以方程组 x11+x22+x33=4 有唯一解，即 4 可由 1， 2， 3 唯一线性表示，选 C【知识模块】 向量4 【正确答案】 A【试题解析】 设 A，B 分别为 mn 及 nc 矩阵，因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)n，因为 A， B 为非零矩阵，所以 r(A)1，r(B)1，从而 r(A)n，r(B)n，故A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关，选 A【知识模块】 向量5 【正确答案】 B【试题解析】 若方程组 AX=0 的解都是方程组 BX=0 的解，则 nr(A)n r(B)，从而

10、 r(A)r(B)，(1) 为正确的命题；显然 (2)不正确；因为同解方程组系数矩阵的秩相等，但反之不对，所以(3)是正确的，(4) 是错误的，选 B【知识模块】 线性方程组6 【正确答案】 D【试题解析】 A 不对，如 ，A 的两个特征值都是 0，但 r(A)=1；B不对，因为 AB 不一定保证 AB 可以对角化；C 不对，如A 经过有限次行变换化为 经过行变换不能化为 因为 A 可以对角化，所以存在可逆矩阵 P使得于是 r(A)= 故选 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量7 【正确答案】 A【试题解析】 设二次型 f=XTAX =1y12+2y22+3y32，其中 Q 为正交矩阵取则

11、f=XTAX=1=0，同理可得 2=3=0，由于 A 是实对称矩阵，所以 r(A)=0，从而 A=0，选 A【知识模块】 二次型二、填空题8 【正确答案】 4【试题解析】 A0=A=1 EAB T=AA TAB T= A(AB)T=AB =BA=4【知识模块】 行列式9 【正确答案】 【试题解析】 A=3，A *=A 1 A=3A 1 ，则(A *)1 B=ABA+2A2 化为AB=ABA+2A2，注意到 A 可逆，得 B=BA+2A 或B=3BA+6A，则B=6A(E+3A) 1 ，【知识模块】 矩阵10 【正确答案】 【试题解析】 P 1 (A1 +2E)P=P1 A1 P+2E，而 P1

12、 A1 P=【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量11 【正确答案】 0【试题解析】 由EA=0 得 A 的特征值为 1=2， 2=3=6因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化，从而 r(6EA)=1，解得 a=0【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 因为 A 是非零矩阵，所以 A 至少有一行不为零，设 A 的第 k 行是非零行，则A=a k1Ak1+ak2Ak2+aknAkn=ak12+ak22+akn20【知识模块】 行列式13 【正确答案】 由(2E C1 B)AT=C1 ，得 At=(2EC 1 B1

13、)1 C1 =C(2EC 1 B1 )1 =(2CB 1 )1 ，【知识模块】 矩阵14 【正确答案】 因为 r(A)=n1，所以 r(A*)=1，于是其中 为非零向量，故【知识模块】 矩阵15 【正确答案】 由 1， 2， t 线性无关=， 1， 2， t 线性无关令k+k1(+1)+k2(+2)+kt(+t)=0即(k+k 1+kt)+k11+ktt=0， 1， 2， t 线性无关=k=k1=k，=0，+ 1，+ 2，+ t 线性无关【知识模块】 向量【知识模块】 向量16 【正确答案】 因为 1， 2， 1， 2 线性相关所以存在不全为零的常数k1，k 2，l 1，l 2，使得 k11+

14、k22+l11+l22=0，或 k11+k12=l 11l 22令=k11+k22=l 11l 22因为 1， 2 与 1， 2 都线性无关所以 k1，k 2 及 l1，l 2都不全为零所以 0【知识模块】 向量17 【正确答案】 令 k11+k22+l11+l22=0，A=( 1， 2， 1， 2)=所以 =k1 3k2=k 1+02【知识模块】 向量18 【正确答案】 由 AB=O 得 r(A)+r(B)3 且 r(A)1(1)当 k9时，因为 r(B)=2，所以 r(A)=1，方程组 AX=0 的基础解系含有两个线性无关的解向量，显然基础解系可取 B 的第 1、3 两列，故通解为 (k1

15、，k 2 为任意常数)；(2)当k=9 时， r(B)=1，1r(A)2，当 r(A)=2 时，方程组 AX=0 的通解为 (C 为任意常数)；当 r(A)=1 时，A 的任意两行都成比例，不妨设 a0，由(k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 因为()，() 同解，所以它们的增广矩阵有等价的行向量组，()的增广矩阵为阶梯阵，其行向量组线性无关，1 可由 1， 2， 3 唯一线性表出， 1=2 1+2+a3=a=1， 2 可由 1， 2， 3 唯一线性表出， 2=1+2 3=b=2 3 可由 1， 2， 3 唯一线性表出，3=31+2+3=c=4【知识模块】 线

16、性方程组20 【正确答案】 因为 r(A)=rn，所以齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含有nr 个线性无关的解向量，设为 1， 2， n r. 设 0 为方程组 AX=b 的一个特解， 令 0=0， 1=1+1， 2=2+2， nr =nr +0，显然0， 1， 2， nr 为方程组 AX=b 的一组解 令 k11+k22+knr nr =0，即 (k1，k 2，k nr )0+k11+k22+knr nr =0， 上式两边左乘 A 得(k1，k 2，k nr )b=0， 因为 b 为非零列向量，所以 k1，k 2，k nr =0，于是k11+k22+knr nr =0，注意到 1， 2，

17、 nr 线性无关，所以k1=k2=knr =0，故 0， 1， 2， nr 线性无关，即方程组 AX=b 存在由nr+1 个线性无关的解向量构成的向量组设 1， 2， nr+2 为方程组 AX=b的一组线性无关解，令 1=3 1， 2=3 1， nr+1 =nr+2 1，根据定义，易证 1， 2， nr+1 线性无关，又 1， 2， nr+1 为齐次线性方程组 AX=0的一组解，即方程组 AX=0 含有 nr+1 个线性无关的解，矛盾，所以 AX=b 的任意 nr+2 个解向量都是线性相关的，所以 AX=b 的线性无关的解向量的个数最多为 nr+1 个【知识模块】 线性方程组【知识模块】 矩阵

18、的特征值和特征向量21 【正确答案】 因为方程组 AX=有解但不唯一，所以 A=0，从而 a=2 或a=1当 a=2 时，方程组有无穷多解；当 a=1 时，方程组无解，故a=2【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量22 【正确答案】 由E A=(+3)(3)=0 得 1=0， 2=3， 3=3由(0EA)X=0 得 1=0 对应的线性无关的特征向量为 由(3E A)X=0 得 2=3 对应的线性无关的特征向量为 由(3EA)X=0 得 3=3 对应的线性无关的特征向量为 令【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量23 【正确答案】 令【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特

19、征向量24 【正确答案】 若 ，A 线性相关，则存在不全为零的数 k1，k 2，使得k1+k2A=0，显然 k20，所以 矛盾，所以 ，A 线性无关【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量25 【正确答案】 由 A2+A6=0，得(A 2+A6E)=0， 因为 0，所以r(A2+A6E)2，从而A 2+A6E=0 ，即 3E+A.2EA =0，则3E+A=0 或2EA=0 若3E+A0，则 3E+A 可逆，由(3E+A)(2EA)=0，得 (2EA)=0，即 A=2，矛盾； 若2E A 0，则 2EA 可逆，由(2EA)(3E+A)=0 ，得 (3E+A)=0，即 A=3 ，矛盾，所以有3E+A

20、=0且2EA =0，于是二阶矩阵 A 有两个特征值3，2，故 A 可对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量26 【正确答案】 由 得1=2=1 3=2 因为矩阵 A有三个线性无关的特征向量，所以 A 一定可对角化，从而 r(EA)=1即 a=1，故由 =1时，由(EA)X=0，得 由=2时，由(2EA)X=0，得 令 P=(1， 2， 3)=两边 n 次幂得【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量27 【正确答案】 因为 AB，所以 tr(A)=tr(B)，A =B，即解得 a=1，b=0，则 因为AB，所以矩阵 A，B 的特征值都为 1=1， 2=0， 3=6当 =1时，由(E A)X=0，

21、得 1= 当 =0时，由(0EA)X=0，得 2= 当 =6时，由(6EA)X=0，得 3= 令再令 P=(1， 2， 3)= 则有 PTAP=B【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量28 【正确答案】 因为 A 的每行元素之和为 5，所以有 即 A 有一个特征值为 1=5，其对应的特征向量为 A1=51又 AX=0 的通解为则 r(A)=1=1=2=0，其对应的特征向量为A2=0，A 3=0令 x11+x22+x33=，解得x1=8， x2=1 ，x 3=2，则 A=8A2A 22A 3=8A1=【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量29 【正确答案】 因为 f=XTAX 经过正交变换后的标准形为 f=y12+y222y 32，所以矩阵 A 的特征值为 12=1， 3=2由A= 123=2 得 A*的特征值为1=2=2， 3=1，从而 A*+2E 的特征值为 0，0， 3，即 1 为 A*+2E 的属于特征值3 的特征向量，故也为 A 的属于特征值 3=2 的特征向量令 A 的属于特征值1=2=1 的特征向量为 因为 A 为实对称矩阵，所以有 1T=0，即x1+x2=0 故矩阵 A 的属于 1=2=1 的特征向量为 令P=(2， 3， 1)= 得所求的二次型为 f=XTAX=x323x 1x3【知识模块】 二次型