[考研类试卷]考研数学一（线性代数）模拟试卷88及答案与解析.doc

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1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 88 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设齐次线性方程组经高斯消元化成的阶梯形矩阵是 ，则自由变量不能取成（A）x 4，x 5（B） x2，x 3（C） x2，x 4（D）x 1，x 32 设 A 是 mn 矩阵，则下列命题正确的是（A）如 mn，则 Axb 有无穷多解（B）如 Ax0 只有零解，则 Axb 有唯一解（C）如 A 有 n 阶子式不为零，则 Ax0 只有零解（D）Axb 有唯一解的充要条件是 r(A)=n.3 已知 1， 2， 3， 4 是齐次方程组 Ax0 的基础解系，则此方程组的基础解系还可以是（A）

2、 1 2， 2 3， 3 4， 4 1（B） 1， 2， 3 4， 3 一 4（C） 1， 2， 3， 4 的一个等价向量组（D） 1， 2， 3， 4 的一个等秩的向量组4 设 A 是 54 矩阵，A( 1， 2， 3， 4)，若 1(1 ，1，一 2，1)T， 1 (O，1 ，0，1) T 是 Ax0 的基础解系，则 A 的列向量组的极大线性无关组可以是（A） 1， 3（B） 2， 4（C） 2， 3（D） 1， 2， 4二、填空题5 向量组 1(1 ，1，3 ，0) T， 2(2，1，a ，1) T， 3(1，1，5，一 2)T 的秩为 2，则 a_6 已知 r(1， 2， s)r( 1

3、， 2， s，)r，r( 1， 2， s，) r1，则 r(1， 2， s， ，)_7 设 4 阶矩阵 A 的秩为 2，则 r(A*)_8 已知 A 且 AXA*B，秩 r(X)2，则a_9 已知 A ，B 是 3 阶非 0 矩阵，且 BAT0，则 a_10 与 1(1 ，一 1，0，2) T， 2(2，3，1，1) T， 3(0，0，1，2) T 都正交的单位向量是_11 已知三维向量空间的一组基是 1(1，0，1)， 2(1，一 1，0)， 3(2，1，1)，则向量 (3，2，1)在这组基下的坐标是_12 已知 A ，则 Ax0 解空间的规范正交基是_13 已知 1， 2， 3 与 1，

4、1， 3 是三维向量空间的两组基，且 1 12 2 一3， 2 2 3， 3 13 22 3，则由基 1， 2， 3 到基 1， 2， 3 的过渡矩阵是_14 已知方程组 有无穷多解，则 a_15 已知方程组 ，总有解，则 应满足_16 四元方程组 的一个基础解系是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 已知 1(1 ，1，0，2) T， 2(1，1，2，4) T， 3(2，3，a ，7)T， 4(1，5，3，a6) T，(1，0，2，b) T，问 a，b 取何值时，(I) 不能由1， 2， 3， 4 线性表示?() 能用 1， 2， 3， 4 线性表出，且表示法唯一；()

5、能用 1， 2， 3， 4 线性表出，且表示法不唯一，并写出此时表达式18 已知向量组有相同的秩，且 3 可由 1， 2， 3 线性表出，求 a，b 的值19 已知 a1，a 2，a s 是互不相同的数，n 维向量 i(1 ， i， i2， in1 )T(i1，2， ，s)，求向量组 1， 2， s 的秩20 设 A 是 n 阶非零实矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，如果AT A*，证明任一 n 维列向量均可由矩阵 A 的列向量线性表出21 证明 1， 2， s(其中 10)线性相关的充分必要条件是存在一个 i(1is)能由它前面的那些向量 1， 2， i1 线性表出

6、22 已知 A 是 mn 矩阵，B 是 nP 矩阵，如 ABC，且 r(C)m，证明 A 的行向量线性无关23 设 A 是 mn 矩阵，B 是 ns 矩阵，C 是 ms 矩阵，满足 ABC，如果秩 r(A)n，证明秩 r(B)r(C).24 设 A 是 n 阶实反对称矩阵，x，y 是实 n 维列向量，满足 Ax=y，证明 x 与 y 正交.25 设 W(x 1，x 2，x n)x 12x2x 30，求向量空间 W 的维数及一组规范正交基考研数学一（线性代数）模拟试卷 88 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 自由未知量选择的

7、原则是：其它未知量可用它们唯一确定如果选择 x4，x 5，对应齐次方程组写作 显见把 x4，x 5 当作参数时，x 1，x 2，x 3 不是唯一确定的因此 x4，x 5 不能唯一确定 x1，x 2，x 3，它们不能取为自由变量选(A) 【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 如，m 前者只有零解，而后者无解故(B) 不正确关于(D)，Axb 有唯一解 r(A)r(Ab) n由于 r(A)n r(Ab)n，例子同上可见(D)只是必要条件，并不充分(C)为何正确?除用排除法外，你如何证明【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 向量组(A) 线性相关， (A)不正确

8、1， 2， 3， 4， 1 2 与1， 2， 3， 4 等价但前者线性相关，故(C)不正确 等秩的向量组不一定能互相线性表出，因而可能不是方程组的解，故(D)不正确选 (B)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 由 A10，知 1 223 40 由 A20，知2 40 因为 nr(A)2，故必有 r(A)2所以可排除(D) 由 知，2， 4 线性相关故应排除(B) 把代入 得 1230，即 1， 3 线性相关，排除(A) 如果 2， 3 线性相关，则 r(1， 2， 3， 4) r(一 23， 2， 3，一 2)r( 2， 3)1 与 r(A) 2 相矛盾所以选(C) 【知识

9、模块】 线性代数二、填空题5 【正确答案】 -2【试题解析】 r( 1， 2， 3)2，计算秩【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 r1【试题解析】 r( 1， 2， ， s)r( 1， 2， 3，)r 表明 可由1， 2， s 线性表出，于是 r(1， 2， 3，)r( 1， 2， s，)，r1【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 0【试题解析】 由 r(A*)【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 0【试题解析】 由 A 可逆，知 A*可逆，那么 r(AXA*)r(X) ，从而 r(B)2，B 0于是【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 【试题解析】 由 BAT0 有 r(B)r(A

10、 T)3，即 r(A)r(B)3 又 B0，有 r(B)1，从而 r(A)3，即A0于是【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 (1，一 1，2，一 1)T【试题解析】 设 (x 1，x 2，x 3，x 4)T 与 1， 2， 3 均正交，则TiO(i 1 ，2，3)，即 求出基础解系：(1，一 1，2，一 1)T，单位化得 (1，一 1，2，一 1)T 为所求【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 (一 1，0，2) T【试题解析】 设 x11x 22x 33 ，由解出 x1一1，x 20，x 32故 在基 1， 2， 3 的坐标是(一 1，0，2) T【知识模块】 线性代数12 【正确

11、答案】 【试题解析】 求得 Ax0的一个基础解系：(一 3，1，0，0) T，(1，0，一 2，1) TSchmidt 正交化处理，有 1 (一 3，1，0，0) T， 2(1，0，一 2，1) T 一 (一 3，1，0，0) T*120(1，3，一 20，10) T单位化，得 1 (一 3，1，0，0) T， 2 (1，3，一20，10) T【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 【试题解析】 由于( 1， 2， 3)( 1， 2， 3) 按过渡矩阵定义，知由1， 2， 3 到 1， 2， 3 的过渡矩阵是【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 -5【试题解析】 对增广矩阵作初等行变换，

12、有当 a一 5 时，r(A)r(A)【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 【试题解析】 对任意 b1， b2，b 3，方程组有解 r(A)3 A0而由可知 1 且 【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 (0，0，1，0) T，(一 1，1，0，1) T【试题解析】 n r(A)4 22取 x3，x 4 为自由变量： 令 x31，x 40 得x20，x 10；令 x30，x 41 得 x21，x 2一 1， 所以基础解系是(0，0，1，0)T，(一 1，1，0，1) T【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 设 x11x 22x 33x

13、 34 ，对增广矩阵( 1， 2， 3， 4 )作初等行变换，有(I)当 a1，b2 或 a10，b一 1 时，方程组均无解所以 不能由1， 2， 3， 4 线性表出 ()当 a1 且 a10 时， b 方程组均有唯一解所以 能用 1， 2， 3， 4 线性表示且表示法唯一 () 方程组在两种情况下有无穷多解，即(1)当 a10，b一 1 时，方程组有无穷多解：(2)当a1，b2 时，方程组有无穷多解：x 4 ，x 2t，x 312t ，x 1 即(5t )1t 2(1 2t)3 4【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 因为 3 可由 1， 2， 3 线性表示，故方程组x11 x22 x3

14、3 3 有解由并且秩 r(1， 2， 3)2于是 r(1， 2， 3)2从而 1， 2， 3 (a 15)0 a15【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 当 sn 时， 1， 2， s 必线性相关，但 1， 2， n是范德蒙行列式，故 1， 2， n 线性无关因而 r(1， 2， s)n 当sn 时， 1， 2， n 线性无关，秩 r(1， 2， n)n 当 sn 时，记1 (1，a 1， a12，a 1s1 )T， 2(1，a 2，a 22，a 2s1 )T， s (1，a s，a s2，a ss1 )T，则 1， 2， s线性无关那么1， 2， s 必线性无关故 r(1， 1， s)s

15、 【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 因为 A*A T，按定义有 Aija ij( i，j1，2，n) ，其中 Aij是行列式A中 aij 的代数余子式由于 A0，不妨设 a110，那么Aa 11A11a 12A12a 1nA1na 112a 122a 1n20于是A( 1， 2， n)的 n 个列向量线性无关那么对任一 n 维列向量 ，恒有1， 2， n， 线性相关因此 必可由 1， 2， n 线性表出【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 必要性因为 1， 2， s 线性相关，故有不全为 0 的k1，k 2，k s 使 k11k 22k ss0设 ks，k s1 ，k 2，k 1

16、中第一个不为 0 的是 ki(即 ki0，而 k1i k s1 k s0)，且必有 i1(若 i1 即k10，k 2k s0，那么 k110于是 10 与 10 矛盾)，从而k11 k22 k ii0，k i0那么 i (k11k 22k i1 i1 )充分性设有 i 可用 1， 2， i1 线性表示，则 1， 1， i1 ， i 线性相关，从而 1， 2， ， s 线性相关【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 (用秩) 因为 ABC，所以 r(AB)r(A)，即 r(A)r(C)m又 A是 mn 矩阵， r(A)m，从而 r(A)m因为 r(A)A 的行秩，所以 A 的行向量组线性无关【

17、知识模块】 线性代数23 【正确答案】 对齐次方程组(I)ABx0， ()Bx0，如 是 ()的解，有 B0，那么 AB0，于是 是(I)的解如 是 (I)的解，有 AB0，因为 A 是 mn 矩阵，秩 r(A)n，所以 Ax0 只有零解，从而 B0于是 是()的解因此方程组(I)与()同解那么 sr(AB)sr(B)，即 F(AB)r(B)所以 r(B)r(C)【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 因为 AT一 A，AxY，所以 (x，y)x TAx(A Tx)TX(一 Ax)TX (一 y，x)， 得(x，y)0【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 n 元齐次方程 x1 一 2x2x 30 的基础解系：1 (2，1，0 ，0) T， 2(一 1，0，1，0) T， 3(0，0，0，1，0)T， ， n1 (0，0，0，1)T， 1 1， 2 2 (1，2，5，00) T单位化，得3(0，0，0，1，0)T， ， n1 (0 ，0，0，1) T解空间的规范正交基是： 1， 2， n1 ，空间的维数是 n 一 1【知识模块】 线性代数