[考研类试卷]考研数学一(线性代数)模拟试卷79及答案与解析.doc
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1、考研数学一(线性代数)模拟试卷 79 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设向量组: 1, 2, r 可由向量组: 1, 2, s 线性表示,则( )(A)当 rS 时,向量组必线性相关(C)当 rS 时,向量组必线性相关2 设 n 阶非奇异矩阵 A 的列向量为 1, 2, n,n 阶矩阵 B 的列向量为1, 2, n,若 1=1+2, 2=2+3, n=n+1,则矩阵 B 的秩( )(A)必为 n(B)必为 n1(C)为 n 或 n1(D)小于 n13 设 1, 2 是 n 阶矩阵 A 的特征值, 1, 2 分别是 A 的对应于 1, 1 的特征向量
2、,则( )(A)当 1=2 时, 1 与 2 必成比例(B)当 1=2 时, 1 与 2 必不成比例(C)当 12 时, 1 与 2 必成比例(D)当 12 时, 1 与 2 必不成比例二、填空题4 设 若矩阵 x 满足 AX+2B=BA+2X,则X4=_5 已知 的一个特征向量,则 a=_6 设向量 都是方阵 A 的对应于特征值 =2 的特征向量,又向量则 A=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 设有两个 n 元齐次线性方程组 Ax=0 及 Bx=0,证明:7 若 Ax=0 得解都是 Bx=0 的解,则 r(A)r(B)8 若 Ax=0 与 Bx=0 同解,则 r(A)=
3、r(B)9 设向量 1=(1,1,2,1) T, 2=(3,4,1,2) T, 3=(4,5,3,3)T, 4=(1,A ,3,0) T,=(0,k,5,1) T试问 ,K 取何值时, 不能由1, 2, 3, 4 线性表出?,K 取何值时, 可由 1, 2, 3, 4 线性表出?并写出线性表达式10 设 a1,a 2,a n 是 n 个互不相同的数,b 1,b 2,b n 是任意一组给定的数,证明:存在唯一的多项式 f(x)=C0xn1 +C1xn2 +Cn1 ,使得 f(ai)=bi(i=1,2, ,n)11 A 和 B 均是 mn 矩阵,秩 r(A)+r(B)=n,若 BBT=E 且 B
4、的行向量是齐次方程组AX=0 的解,P 是 M 阶可逆矩阵,证明:矩阵 pb 的行向量是 Ax=0 的基础解系12 设 A 是 n 阶矩阵, 1, 2, t 是齐次方程组 AX=0 的基础解系,若存在i(i=1,2,t),使 Ai=i,证明:向量组 1, 2, i, 1, 2, t 线性无关13 在 R3 中, 1, 2, 3, 1, 2, 3 是两组基,对任意向量 , 在基 1, 2, 3的坐标为 x1,x 2,x 3 在基 1, 2, 3 的坐标为 y1,y 2,y 3,且两组基下的坐标有关系 y1=x1x 2, y 2=x2x 3,y 3=x3x 1求 R3 中的由基 1, 2, 3 到
5、基1, 2, 3 的基变换公式14 已知 1=3,2,0 T, 2=1,0,2 T 是线性方程组 的两个解向量,试求方程的通解,并确定参数 a,b,c 14 设 A,B 为同阶方阵,15 如果 A,B 相似,试证:A,B 的特征多项式相等16 举一个二阶方阵的例子说明上一题的逆命题不成立17 当 A,B 均为实对称矩阵时,试证:15 题的逆命题成立18 已知 A 相似于 B,即存在可逆阵 P,使得 P1 AP=B求证:存在可逆阵 Q,使得 Q1 AQ=B 的充分必要条件是存在与 A 可交换的可逆阵 C,使得 Q=CP19 设 n 阶方阵 A、B 可交换,即 AB=BA,且 A 有 n 个互不相
6、同的特征值,证明:A 与 B 有相同的特征向量B 相似于对角矩阵20 设 A、B 都是 n 阶实对称矩阵,证明:存在正交矩阵 P,使得 P1 AP=B 的充分必要条件是 A 与 B 有相同的特征多项式21 已知三元二次型 xTAx 经正交变换化为 2y12y 22y 32,又知 A*=,其中=(1, 1, 1)T,求此二次型的表达式22 已知 有四个线性无关的特征向量,求 A 的特征值与特征向量,并求 A200422 已知矩阵23 求 A99;24 设 3 阶矩阵 B=(1, 2, 3)满足 B2=BA记 B100=(1, 2, 3),将 1, 2, 3 分别表示为 1, 2, 3 的线性组合
7、25 A,B 是 n 阶矩阵,且 r(A)+r(B)n,证明 A,B 有公共的特征向量25 设 A,B 都是三阶方阵,满足 AB=AB,若 1, 2, 3 是 A 的三个不同特征值,证明:26 11(i=1,2,3);27 存在可逆阵 C,使 C1 AC,CBC 1 同时为对角矩阵考研数学一(线性代数)模拟试卷 79 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 用排除法:如 则 1=0 1+0 2,但1, 2 线性无关,排除 A; 则 1, 2 可由 1 线性表示,但 1 线性无关,排除 B; 1 可由 1, 2 线性表示,但 1
8、线性无关,排除 C故选 D【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 当 n 为奇数时, r(B)=n;当 n 为偶数时,r(B)=n1故选 C【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 当 1=2 时,它们为 A 的重数大于等于 2 的特征值,故对应的线性无关的特征向量个数可能大于 1,也可能等于 1,所以选项(A)与(B)均不对,而当12 时,则由对应于不同特征值的特征向量线性无关知, 1 与 2 必不成比例故选 D【知识模块】 线性代数二、填空题4 【正确答案】 应填【试题解析】 由矩阵方程得 (A2E)X=B(A2E),因为 A2E= 可逆,故 X=(A2E)
9、1 B(A2E)从而 X4=(A2E) 1 B4(A2E)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 应填 2【试题解析】 设 a 是矩阵 A 属于特征值 0 的特征向量,按定义有可得 a=2【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 应填【试题解析】 由题设条件有 Ai=i(i=1,2),又 =12 2,故 A=A( 122)=A12A2=2(12 2)=2=【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 由条件知 Ax=0 的解空间是 Bx=0 的解空间的子空间,因此,Ax=0 的解空间的维数不大于 Bx=0 的解空间的维数,即 nr
10、(A)n r(B),于是得r(A)r(B)【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 由条件知 Ax=0 的解空间与 Bx=0 的解空间为同空间,因而该空间的维数为 nr(A)=nr(B),由此即得 r(A)=r(B)【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 本题相当于讨论线性方程组 AX=x11+x22+x33+x44= 何时有解?无解?由于 当k1,=2 时, 不能由 1, 2, 3, 4 线性表出,当 k=1,=2 时, 可由1, 2, 3, 4 线性表出,且表示法唯一 所以=(3k 12k2)1+(1+k1k 2)2+k13+k24(其中 k1, k2 为任意常数) 当 A2,k 为任意值时
11、, 可由 1, 2, 3, 4 线性表出,且表示法不唯一其中2,k, 为任意常数【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 设 f(x)=C0xn1 +C1xn2 +Cn1 即是该多项式,则有上述非齐次线方程组因为其系数行列式为 n 阶范德蒙行列式,又因 a1,a 2,a n 互不相同,故 Dn=Vb0,由克莱姆法则知方程组存在唯一解(C 0,C 1,C n1 ),故存在唯一的多项式 f(x),使得f(ai)=bi(i=1,2,n)【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 由 r(B)r(BBT)=r(E)=m,得到 r(B)=m于是 B 的行向量组线性无关,且 nr(A)=m 根据题设,B 的
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