[考研类试卷]考研数学一（线性代数）模拟试卷13及答案与解析.doc

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1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 13 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 n 维列向量组 1,2 m(mn)线性无关，则 n 维列向量组 12 m 线性无关的充分必要条件为 ( )（A）向量组 1,2 m 可由向量组 12 m 线性表出（B）向量组 12 m 可由向量组 1,2 m 线性表出（C）向量组 1,2 m 与向量组 12 m 等价（D）矩阵 A=1,2 m与矩阵 B=12 m等价2 要使 都是线性方程组 AX=0 的解，只要系数矩阵 A 为 ( )（A）一 2，1，1（B）（C）（D）3 齐次线性方程组 的系数矩阵为 A，若存在 3 阶矩

2、阵 B0，使得AB=0，则 ( )（A）=一 2 且B=0（B） =一 2 且B 0（C） =1 且B =0（D）=1 且B04 齐次线性方程组的系数矩阵 A45=1， 2， 3， 45经过初等行变换化成阶梯形矩阵为 则 ( )（A） 1 不能由 3， 4， 5 线性表出（B） 2 不能由 1， 3， 5 线性表出（C） 3 不能由 1， 2， 5 线性表出（D） 4 不能由 1， 2， 3 线性表出5 设 A 为 mn 矩阵，齐次线性方程组 AX=0 仅有零解的充分条件是 ( )（A）A 的列向量线性无关（B） A 的列向量线性相关（C） A 的行向量线性无关（D）A 的行向量线性相关6 设

3、 A 为 n 阶实矩阵，则对线性方程组(I)AX=0 和()A TAX=0，必有 ( )（A）() 的解是 (I)的解，(I)的解也是()的解（B） ()的解是(I)的解，但 (I)的解不是()的解（C） (I)的解不是 ()的解， ()的解也不是(I)的解（D）(I)的解是()的解，但()的解不是(I)的解7 已知 1， 2 是 AX=b 的两个不同的解， 1， 2 是相应的齐次方程组 AX=0 的基础解系，k 1，k 2 是任意常数，则 AX=b 的通解是 ( )（A）（B）（C）（D）8 设 A 是 mn 矩阵，则方程组 AX=b 有唯一解的充分必要条件是 ( )（A）m=n 且 A0（

4、B） AX=0 有唯一零解（C） A 的列向量组 1,2 n 和 1,2 n，b 是等价向量组（D）r(A)=n，b 可由 A 的列向量线性表出9 设 A 是 45 矩阵，且 A 的行向量组线性无关，则下列说法错误的是 ( )（A）A TX=0 只有零解（B） ATAX=0 必有无穷多解（C）对任意的 b，A TX=b 有唯一解（D）对任意的 b，AX=b 有无穷多解10 设 A 是 ms 矩阵，B 是 sn 矩阵，则齐次线性方程组 BX=0 和 ABX=0 是同解方程组的一个充分条件是 ( )（A）r(A)=m（B） r(A)=s（C） r(B)=s（D）r(B)=n二、填空题11 设 A

5、是 n 阶实对称阵， ， 是 A 的 n 个互不相同的特征值， 1 是 A 的对应于 1 的一个单位特征向量，则矩阵 B=A 111T 的特征值是_12 矩阵 的非零特征值是_13 设 A 是 n 阶矩阵， 是 A 的 r 重特征根，A 的对应于 的线性无关的特征向量是 k 个，则 k 满足_14 与 1=1， 2，3，一 1T， 2=0，1，1，2 T， 3=2，1，3，0 T 都正交的单位向量是_15 已知 =a，1，1 T 是矩阵 的逆矩阵的特征向量，那么a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设 证明：A=E+B 可逆，并求 A-117 A，B 均是 n 阶矩阵，

6、且 AB=A+B证明：AE 可逆，并求(A E)-118 设 B 是可逆阵，A 和 B 同阶，且满足 A2+AB+B2=0，证明：A 和 A+B 都是可逆阵，并求 A-1 和(A+B) -119 已知 A，B 是三阶方阵，A0，AB=0，证明：B 不可逆20 设 求 r(A*)及 A*21 已知 n 阶矩阵 求A中元素的代数余子式之和第 i 行元素的代数余子式之和 及主对角元的代数余子式之和 .22 设矩阵 A 的伴随矩阵 且 ABA-1=BA-1+3E，求 B23 设 A 是 n 阶可逆阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换得到的矩阵记为 B证明：B可逆，并推导 A-1 和 B-1 的关系

7、24 设 A 是 n 阶可逆阵，其每行元素之和都等于常数 a证明：(1)a0；(2)A -1 的每行元素之和均为 .25 (1)A，B 为 n 阶方阵，证明： (2)计算26 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，E m+AB 可逆(1)验证：E n+BA 也可逆，且(En+BA)-1=EnB(Em+AB)-1A；(2) 设其中 ，利用(1)证明：P可逆，并求 P-127 已知 1=1，一 ，1T， 2=1，t，一 1T， 3=t，1，2 T，=4 ，t ，一 4T，若 可由 1,2,3 线性表示，且表示法不唯一，求 t 及 的表达式28 设向量组 1,2 n(s2)线性无关，且 1=1

8、+2， 2=2+3， s-1=s-1+s， s=s+1 讨论向量组 1229 设向量组 1,2 L 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，向量 不是方程组 Ax=0 的解，即 A0证明：向量组 ，+ 1，+ 2，+ t 线性无关30 设向量组(I)与向量组()，若(I)可由()线性表示，且 r(I)=，r()=r 证明：(I)与()等价考研数学一（线性代数）模拟试卷 13 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 A= 1,2 m，B= 12 m等价 r(1，, m)=r(1， ， m) 1， 2， m 线性无关(已知 1,

9、2 m 线性无关时)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 A【试题解析】 因一 2，1，1 1=0，一 2，1，1 2=0【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 B0，AB=0 ，故 AX=0 有非零解，A =0，又 A0，故 B 不可逆，故=1，且 B=0【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 i 能否由其他向量线性表出，只须将 i 视为是非齐次方程的右端自由项(无论它原在什么位置)有关向量留在左端，去除无关向量，看该非齐次方程是否有解即可由阶梯形矩阵知， 4 不能由 1， 2， 3 线性表出【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A【试题解析】 A 的列向

10、量线性无关 AX=0 唯一零解，是充要条件，当然也是充分条件【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 A【试题解析】 方程 AX=0 和 ATAX=0 是同解方程组【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 B【试题解析】 A，C 中没有非齐次特解，D 中两个齐次解 1 与 1 一 2 是否线性无关未知，而 B 中因 1， 2 是基础解系，故 1， 1 一 2 仍是基础解系， 仍是特解【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 D【试题解析】 r(A)=n，b 可由 A 的列向量线性表出，即为 r(A)=r(Ab)=n，AX=b有唯一解A 是充分条件，但非必要条件，B 是必要条件，但非充分条件 (可能无

11、解)，C 是必要条件，但非充分条件(b 由 1,2 n 表出，可能不唯一)【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 C【试题解析】 r(A)=4，A T 是 54 矩阵，方程组 ATX=b，对任意的 b若有解，则必有唯一解，但可能无解，即可能 r(AT)=r(A)=4r(ATb)=5，而使方程组无解其余 A，B，D 正确，自证【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 B【试题解析】 显然 BX=0 的解，必是 ABX=0 的解，又因 r(A)=s，即 A 的列向量组线性无关，从而若 AY=0，则必 Y=0(即 AY=0 有唯一零解)，故 ABX=0 必有BX=0，即 ABX=0 的解也是 BX=

12、0 的解，故选 B，其余的均可举例说明【知识模块】 线性代数二、填空题11 【正确答案】 0， 2， 3， n【试题解析】 因 A 是实对称阵， 1， 2， n 互不相同，对应的特征向量1， 2， n 相互正交，故 故 B 有特征值为0， 2， 3， n【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 =4【试题解析】 因或有 AX=4X，即 得 =4【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 1kr【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 【试题解析】 设 =x1，x 2，x 3,x4T，那么 对齐次方程组 Ax=0 的系数矩阵进行初等行变换，有故 n 一 r(A)=4-3=1，则 Ax=0有一个基础

13、解向量则 Ax=0 的基础解系为一 1，一 1，1，0 T，将其单位化，得即为所求【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 一 1【试题解析】 是矩阵 A 一 1 属于特征值 0 的特征向量，由定义 A 一 1=0，于是=0A，即【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 因 E 和任何矩阵可交换(和 B 可交换 )且 B4=0，故(E+B)(EE+B 2一 B3)=E 一 B4=E故 A=E+B 可逆，且 A-1=(E+B)-1=EB+B2B 3又即得【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 因 AB=A+B，即 ABAB=0，ABAB+E=E

14、，A(B E)一(BE)=E，即 (AE)(BE)=E，故 AE 可逆，且(AE) 一 1=BE【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 由题设：A 2+AB+B2=O，得 A(A+B)=一 B2 式右乘(一 B2)一 1，得 A(A+B)(一 B2)一 1=E，得 A 可逆，且 A 一 1=(A+B)(一 B2)一 1式左乘(一B2)一 1，得(一 B2)一 1【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 AB=O ，(AB) T=BTAT=O，A TO，B TX=0 有非零解，故B T=0 ，即B =0，从而有 B 不可逆【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 可知A =0，r(A)n 一

15、1，当 r(A)=n 一 1时，有 r(A*)=1，r(A)n 一 1，r(A *)=0，故有 r(A*)1r(A *)=1 时，A *=T，其中， 为任意非零向量；r(A *)=0 时，A *=O【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 AA *=A E=E， 由A*可知：【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由题设 (AE)BA 一 1=3E，(AE)B=3A，A 一 1(AE)B=3E， (EA 一 1)B=3E， 其中 A*=8=A 3，A =2，从而得(2EA *)B=6E，B=6(2E A 一 1)一 1，【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 记 Eij 为初等阵则B=Ei

16、jA，B=E ijA=E ijA=一AO，故 B 可逆，且 B 一 1=(EijA)一1=A 一 1Eij 一 1=A 一 1Eij故知 B 的逆矩阵可由 A 的逆矩阵交换第 i 列和第 j 列之后得到【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 (1)将 A 中各列加到第一列，得若 a=0，则A=0，这与 A 是可逆阵矛盾，故 a0(2)令 A=1,2 n，A 一 1=12 n，E=e 1,e2en，由A 一 1A=E，得 A 一 11,2 n=e1,e2en，A 一 1ai=ei，j=1 ，n，A 一 11+A一 12+A 一 1n=e1+e2+en，得证 A 一 1 的每行元素之和为【知识模

17、块】 线性代数25 【正确答案】 (1)证(2)解【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 (1)(E n+BA)(EmB(E+AB)一 1A)=En+BA 一 B(Em+AB)一 1ABAB(Em+AB)一 1A=En+BA 一 B(Em+AB)(Em+AB)一 1A=E，故 (E n+ba)一 1=EnB(Em+AB)一 1A(2)【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 设 x11+x22+x33=，按分量写出为其通解为 ，kR 所以 =一 3k1+(4 一 k)2+k3，kR【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 设 x11+x22+xss=0，即(x 1+xs)1+(x1+x2)2

18、+(xs-1+xs)s=0因为 1,2 s 线性无关，则 其系数行列式(1)当 s 为奇数时，A=20，方程组只有零解，则向量组 12 s 线性无关；(2)当 s 为偶数时，A =0 ，方程组有非零解，则向量组 12 s 线性相关【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 设 k+k1(+1)+kt(+t)=0，即 (k+k 1+kt)+k11+ktt=0，等式两边左乘 A，得 ，则 k11+ktt=0由 1,2 t 线性无关，得 k1=kt=0k=0，所以，+ 1，+ 2，+ t 线性无关【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 设(I)的一个极大无关组为 1， 2， r，()的一个极大无关组为 1， 2， r因为(I)可由() 表示，即 1， 2， r，可由 1， 2， r线性表示，于是 r(1， 2， r， 1， 2， r)=r(1， 2， r)=r又1， 2， r，线性无关，则 1， 2， r，也可作为1， 2， r， 1， 2， r 的一个极大无关组，于是 1， 2， r 也可由1， 2， r，表示，即 () 也可由(I)表示，得证【知识模块】 线性代数