[考研类试卷]考研数学一（矩阵的特征值与特征向量）模拟试卷1及答案与解析.doc

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1、考研数学一（矩阵的特征值与特征向量）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 矩阵 A= 的特征值是（A）1，1，0（B） 1，一 1，一 2（C） 1，一 1，2（D）1，1，22 矩阵 A= 的特征向量是（A）(1 ，2，一 1)T（B） (1，一 1，2) T（C） (1，一 2，3) T（D）(一 1，1，一 2)T二、填空题3 设 A 是 n 阶矩阵，=2 是 A 的一个特征值，则 2A2 一 3A+5E 必有特征值_；4 已知 A，B 都是 n 阶矩阵，且 P1 AP=B，若 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量，则矩阵 B 必有特征

2、向量_5 已知矩阵 A= 的特征值之和为 3，特征值之积为一 24，则b=_6 设 ， 均为 3 维列向量，且满足 T=5，则矩阵 T 的特征值为_7 设 A 是 3 阶矩阵，如果矩阵 A 的每行元素之和都为 2，则矩阵 A 必有特征向量_8 已知 A 是 3 阶实对称矩阵，且 A=，其中 =(1，1，2) T ()如果 A 的另外两个特征值是 2 和一 1，又 =2 的特征向量是(2，0，一 1)T，则 =1 的特征向量是_； () 如果 A 的另外两个特征值是 3(二重根)，则 =3 的特征向量是_9 已知 =12 是 A= 的特征值，则 a=_；10 已知 A= 有 3 个线性无关的特征

3、向量，则 x=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 若 1， 2 是矩阵 A 不同的特征值， 1 是对应于 1 的特征向量，则 1 不是 2 的特征向量12 已知 A= ，求可逆矩阵 P，使 P1 AP=A13 求 A= 的特征值与特征向量14 求 A= 的特征值与特征向量15 已知 A 是 n 阶矩阵，满足 A22A 一 3E=0，求矩阵 A 的特征值16 设 A 是 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是 3 维线性无关的列向量，且 A1=1 一 2+33， A2=41 一 32+53， A 3=0 求矩阵 A 的特征值和特征向量17 设 A 是 n 阶矩阵，A=E+xy T

4、，x 与 y 都是 n1 矩阵，且 xTy=2，求 A 的特征值、特征向量18 已知 A，B 均是 3 阶非零矩阵，且 A2=A，B 2=B，AB=BA=0，证明 0 和 1 必是A 与 B 的特征值，并且若 是 A 关于 =1 的特征向量，则 必是 B 关于 =0 的特征向量19 已知 A= 有特征值1，问 A 能否对角化?说明理由20 已知 =0 是 A= 的特征值，判断 A 能否对角化，并说明理由21 设矩阵 A= 的特征值有一个二重根，求 a 的值，并讨论矩阵 A 是否可相似对角化22 设 A 是 n 阶矩阵，A 2=A， r(A)=r；证明 A 能对角化，并求 A 的相似标准形23

5、已知 A= ，求可逆矩阵 P，化 A 为相似标准形 A，并写出对角矩阵A24 已知 A= 是 n 阶矩阵，求 A 的特征值、特征向量并求可逆矩阵P 使 P1 AP=A25 设矩阵 A 与 B 相似，且 A= 求可逆矩阵 P，使 P1 Ap=B26 设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是线性无关的 3 维列向量，且满足A1=1+2+3，A 2=22+3，A 3=22+33 () 求矩阵 A 的特征值； ()求可逆矩阵 P 使 P1 AP=A27 已知矩阵 A 与 B 相似，其中 A= 求 a，b 的值及矩阵P，使 P1 AP=B28 已知 = 的特征向量，求 a，b 的值，并证明 A 的任

6、一特征向量均能由 线性表出29 已知 A= ，且 AB，求 a，b，c 的值30 设矩阵 A= ，行列式A= 1，又 A*有一个特征值 0，属于0 的一个特征向量为 =(一 1，一 1，1) T，求 a，b，c 及 0 的值31 已知 Ai=ii(i=1，2，3)，其中 1=(1，2，2) T， 2=(2，一 2，1) T， 3=(一 2，一1，2) T求矩阵 A32 已知线性方程组 有无穷多解，而 A 是 3 阶矩阵，且分别是 A 关于特征值 1， 1，0 的三个特征向量，求矩阵A33 设 A 是 3 阶实对称矩阵，A 的特征值是 6，一 6,0，其中 =6 与 =0 的特征向量分别是(1

7、，a，1) T 及(a，a+1，1) T，求矩阵 A34 已知 3 阶矩阵 A 的第 1 行元素全是 1，且(1，1，1) T，(1 ，0，一 1)T，(1，一1，0) T 是 A 的 3 个特征向量，求 A35 已知 A= 能对角化求 An36 已知 求 x100考研数学一（矩阵的特征值与特征向量）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 本题可以由特征方程E 一 A=0，即直接求出 A 的特征值，再来确定选项但也可利用(53)来解由于a ii=2，故(B)，(D)应排除那么，只要再计算A的值就可知应选(A)还是选

8、(C)(如A=0，选(A)，否则选 (C)【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量2 【正确答案】 C【试题解析】 如果(1，一 1，2) T 是矩阵 A 的特征向量，则 (一 1，1，一 2)T 亦是 A的特征向量所以(B)，(D)均错误又，所以(A)不正确，故应选(C)事实上由 ，知(1，一 2，3) T是矩阵 A 特征值 =6 的特征向量【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量二、填空题3 【正确答案】 7【试题解析】 如 A=，则 A2=A()=A=2 因此(2A 23A+5E)=2A2 一3A+5=(22 一 3+5) 所以 2.223.2+5=7 必是 A 的特征值【知识模块】 矩阵的特征

9、值与特征向量4 【正确答案】 P 1 【试题解析】 因 P1 AP=B P1 A=BP1 ，又 A= p1 A=BP1 B(P1 )=P1 ()=(P1 )所以 B 必有特征向量 P1 【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量5 【正确答案】 3【试题解析】 由公式(53)知 a+3+(一 1)=i=3， 则 a=1又所以，b= 3【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量6 【正确答案】 5，0，0【试题解析】 因为矩阵 A=T 的秩为 1，由公式(5 2)的特例知，矩阵 A 的特征值为a ii，0，0 又因矩阵特征值之和等于矩阵的迹(即矩阵主对角线元素之和)，由于 T=T 正是矩阵的迹，所以矩阵 T

10、 的特征值为 5，0，0【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量7 【正确答案】 (1，1，1) T【试题解析】 由于矩阵 A 的每行元素之和都为 2，所以有可见矩阵 A 必有特征向量(1，1，1) T【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量8 【正确答案】 ()k(1 ，一 5，2) T ()k 1(一 1，1，0) T+k2(一 2，0，1) T【试题解析】 对于实对称矩阵，特征值不同特征向量相互正交()设 =1 的特征向量是(x 1，x 2，x 3)T，则 得基础解系(1，一 5，2) T所以=1 的特征向量是 k(1，一 5，2) T，k0 () 设 =3 的特征向量是(x 1，x 2，x 3

11、)T，则 x1+x2+2x3=0，得基础解系( 一 1，1，0) T，(一 2，0，1) T所以 =3 的特征向量是 k1(一 1，1，0) T+k2(一 2，0，1) T，k 1，k 2 不全为 0【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量9 【正确答案】 4【试题解析】 由于 =12 是矩阵 A 的特征值，故12EA=0，即所以a=4【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量10 【正确答案】 0【试题解析】 由 A 的特征方程得到特征值 =1(二重)，=1因为 A 有 3 个线性无关的特征向量，故 =1 必须有两个线性无关的特征向量(5 9)那么，必有 r(EA)=32=1于是由【知识模块】 矩阵的

12、特征值与特征向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 (反证法) 若 1 是 2 所对应的特征向量，则 11=A1=21于是(12)1=0从 12 得到 1=0，与特征向量非零相矛盾【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量12 【正确答案】 由E A= =(一 3)2=0，得矩阵 A 的特征值 1=2=3， 3=0当 =3 时，对(3E A)x=0，3EA=2得特征向量 1=(1，一 2，0) T， 2=(0，0，1) T当=0 时，对(0EA)x=0， 0EA= 得特征向量3=(一 1，一 1，1) T那么，令 P=(1， 2， 3)= ，有 P1 AP=【知识模

13、块】 矩阵的特征值与特征向量13 【正确答案】 EA= =( 一7)(25 一 14)=( 一 7)2(+2)，当 =7 时，7EA=当 =2 时，一 2EA=所以 A 的特征值是1=2=7， 3=2，相应的特征向量分别是 k11+k22，k 33，其中(k 1，k 2)(0，0)，k30【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量14 【正确答案】 若 a=1，即 =1，显然其特征向量就是 1所以， A 的特征值是 1，2，2a 一 1；相应的特征向量依次是 k11，k 22，k 33(k1，k 2，k 3 全不为 0)【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量15 【正确答案】 设 是矩阵 A 的任意一

14、个特征值， 是 所对应的特征向量，即A=，0那么(A 22A 一 3E)=0 22 一 3=0所以矩阵 A 的特征值是 3 或一 1【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量16 【正确答案】 由 A3=0=03，知 =0 是 A 的特征值， 3 是 =0 的特征向量由已知条件，有 A( 1， 2， 3)=(1 一 2+33，4 1 一 32+53，0)=( 1， 2， 3)记 P=(1， 2， 3)，由 1， 2， 3 线性无关，知矩阵 P 可逆，进而P1 AP=B， 其中 B= 因为相似矩阵有相同的特征值，而矩阵 B 的特征多项式 所以矩阵 A 的特征值是：一1，一 1，0对于矩阵 B， 所以矩

15、阵 B关于特征值 =1 的特征向量是 =(一 2，1，1) T若 B=，即(P 1 AP)=，亦即 A(P)=(P)，那么矩阵 A 关于特征值 =1 的特征向量是 P=(1， 2， 3)=2 1+2+3因此 K1(一 21+2+3)，K 23 分别是矩阵 A 关于特征值 =一1 和 =0 的特征向量，(K 1K20)【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量17 【正确答案】 令 B=xyT= (y1，y 2，y n)，则 B2=(xyT)(xyT)=x(yTx)yT=2xyT=2B，可见 B 的特征值只能是 0 或 2 因为 r(B)=1，故齐次方程组 Bx=0 的基础解系由 n 一 1 个向量组

16、成，则基础解系是： 1=(一y2，y 1，0，0) T， 2=(一 y3，0，y 1，0) T， ， n1 =(一yn，0，0，y 1)T这正是 B 的关于 =0，也就是 A 关于 =1 的 n 一 1 个线性无关的特征向量由于 B2=2B，对 B 按列分块，记 B=(1， 2， n)，则B(1， 2， n)=2(1， 2， n)，即 Bi=2i可见 n1，x2，xn) T 是 B 关于 =2，也就是 A 关于 =3 的特征向量那么，A 的特征值是 1(n 一 1 重)和 3，特征向量分别是k11+k22+kn1n1，knn，其中 k1，k2，kn1 不全为 0，kn0【试题解析】 令 B=x

17、yT，则 A=E+B，如 是 B 的特征值， 是对应的特征向量，那么 A=(B+E)=+=(+1) 可见 +1 就是 A 的特征值， 是 A 关于 +1 的特征向量反之，若 A=，则有 B=( 一 1) 所以，为求 A 的特征值、特征向量就可转化为求 B 的特征值、特征向量【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量18 【正确答案】 由于 A2=A，则 A 的特征值只能是 0 或 1，又因(A E)A=0，A0 ，知齐次方程组(AE)x=0 有非零解，故 AE=0，即 =1 必是 A的特征值据 AB=0，B0，得 Ax=0 有非零解，那么0EA=A =0，故 0必是 A 的特征值 由于已知条件的对称

18、性，0 与 1 必是 B 的特征值对于 A=，同时左乘矩阵 B，得 B=B(A)=(BA)=0=0=0， 所以 是矩阵 B 关于 =0 的特征向量【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量19 【正确答案】 由于1 是 A 的特征值，将其代入特征方程，有所以 据(53)，+(一 1)+3=2+(一 3)+(一 1)得 3=2那么，A 有 3 个不同的特征值，故 A 可以对角化【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量20 【正确答案】 因为 =0 是特征值，故由由特征多项式EA =2( 一 1)，知 =0 是 A 的二重特征值由于 r(0E 一 A)=r(A)=r =2，那么 nr(0E 一 A)=1，说

19、明齐次方程组(0E 一 A)x=0 只有一个线性无关的解，亦即 1=2=0 只有一个线性无关的特征向量，从而 A 不能相似对角化【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量21 【正确答案】 矩阵 A 的特征多项式为 ()如果 =2 是单根，则 28+18+3a 是完全平方，那么有 18+3a=16，即 a= 由于矩阵 A 的特征值是 2，4，4，而秩 r(4E 一 A)=r =2，故 =4 只有一个线性无关的特征向量，从而 A 不能相似对角化()如果 =2 是二重特征值，则 28+18+3a=( 一 2)( 一 6)，那么有 18+3a=12，即 a=一 2 由于矩阵 A 的特征值是2，2，6，而秩

20、 r(2E 一 A)=r =1，故 =2 有 2 个线性无关的特征向量从而 A 可以相似对角化【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量22 【正确答案】 对 A 按列分块，记 A=(1， 2， ， n)由 r(A)=r，知 A 中有 r个列向量线性无关，不妨设为 1， 2， r，因为 A2=A，即 A( 1， 2， n)=(1， 2， n)，所以 A1=1=1.1， ， A r=r=1.r那么 =1 是 A 的特征值，1， 2， r 是其线性无关的特征向量对于齐次线性方程组 Ax=0，其基础解系由 nr(A)=nr 个向量组成因此，0 是 A 的特征值，基础解系是 =0 的特征向量从而 A 有 n

21、 个线性无关的特征向量，A 可以对角化(=1 是 r 重根，=0 是，nr 重根 )，且有【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量23 【正确答案】 先求 A 的特征值、特征向量由特征多项式，有于是 A 的特征值是1(二重)，0对 =1，解齐次方程组(EA)x=0 ， 得到特征向量 1=(一 2，1，0) T， 2=(1，0，1) T对 =0，解方程组 Ax=0，得特征向量 3=(2，0，1) T令 P=(1， 2， 3)=，则 P1 AP=A=【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量24 【正确答案】 由 A 的特征多项式，得=(一 2n+1)( 一 n+1)n1 ，所以 A 的特征值为 1=2n1

22、， 2=n 一 1(n 一 1 重根)对于1=2n 一 1，解齐次方程组( 1E 一 A)x=0，得到基础解系 1=(1，1，1) T对于 2=n 一 1，齐次方程组( 2EA)x=0 等价于 x1+x2+xn=0，得到基础解系 2=(一 1，1，0，0) T， 3=(一1，0，1，0) T， n=(一 1，0，0，1) T，所以 A 的特征向量是：k 11及 k22+k33+knn【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量25 【正确答案】 由于 AB，据(55)及(57)有由 AB ，知 A 与 B 有相同的特征值，于是 A 的特征值是 1=2=2， 3=6当 =2 时，解齐次线性方程组(2EA

23、)x=0 得到基础解系为 1=(1，一 1，0) T， 2=(1，0，1) T，即 =2 的线性无关的特征向量当=6 时，解齐次线性方程组(6EA)x=0 得到基础解系是 (1，一 2，3) T，即 =6 的特征向量那么，令 P=(1， 2， 3)= ，则有 P1 AP=B【试题解析】 A 与对角矩阵 B 相似，为求矩阵 P 应当用相似的性质先求出a，b，然后再求 A 的特征值与特征向量可逆矩阵 P 即为特征值 2 和 b 对应的线性无关特征向量构成的矩阵【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量26 【正确答案】 (I)由已知条件有 A(1， 2， 3) =(1+2+3，2 2+3，2 2+33)

24、=(1， 2， 3) 记 P1=(1， 2， 3)，B= ，则有 AP1=P1B因为1， 2， 3 线性无关，矩阵 P1 可逆，所以 AP1=B，即矩阵 A 与 B 相似由知矩阵 b 的特征值是1，1，4，故矩阵 A 的特征值是 1，1，4 ()对矩阵 b，由(E 一 B)x=0，得 =1的特征向量 1=(一 1，1，0) T， 2=(一 2，0，1) T；由(4Eb)x=0，得 =4 的特征向量 3=(0，1，1) T那么令 P2=(1， 2， 3)=于是 故当P=P1P2=(1， 2， 3) =(一 1+2，一 21+3， 2+3)时，P 1 AP=A=【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量

25、27 【正确答案】 由 AB，知 a=7，b=2从矩阵 A 的特征多项式EA = =2 一 4 一 5，得到 A 的特征值是1=5， 2=1它亦是 B 的特征值解齐次线性方程组(5E 一 A)x=0，(一 E 一 A)x=0 可得到矩阵 A 的属于 1=5， 2=1 的特征向量 1=(1，1) T 与 2=(一 2，1)T解齐次线性方程组(5EB)x=0，(一 EB)x=0 得到曰的特征向量分别是 1=(一7，1) T， 2=(一 1，1) T那么，令 P1=BP2，即P2 =B可见，取 P=P1 就有 P1 AP=B【试题解析】 由A= 12=50，知 AA，因而可求可逆矩阵 P1 和 P2

26、，使BP2=A，那么 P=P1 【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量28 【正确答案】 按特征向量的定义，设 是 所对应的特征向量，则 A=，即即故 A= ，由EA =32+(一 3)+(一 2)2+(一 1+62) 一(一 1)=(+1)3，知 =1 是A 的三重特征值又因 r(一 E 一 A)=r =2，从而 =1 对应的线性无关的特征向量只有一个所以 A 的特征向量均可由 线性表出【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量29 【正确答案】 由于 AB，它们有相同的特征值，相同的迹，又因 B 是上三角矩阵，故 0，一 1，一 1 是 B 的特征值，于是由【试题解析】 由于相似矩阵有相同的特征值

27、(54)，B 是上三角矩阵，故 0，一1，一 1 就是 B 的特征值，因而也就是 A 的特征值，故 A=0，一 E 一A=0，再利用(53)就可得到以 a，b，c 为未知数的方程组【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量30 【正确答案】 据已知有 AA*=AE= E对于 A*=0，用 A 左乘两端，得由此可得一得 0=1将 0=1 代入和 得 b=3，a=c由A=1 和 a=c，有=a3=1，即得 a=2故 a=c=2【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量31 【正确答案】 由于 Ai=ii 知，A 有 3 个不同的特征值 1，2，3所以 AA=，即 P1 AP=A，其中 P=(1， 2， 3)=

28、 故 A=PAP 1 =【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量32 【正确答案】 对增广矩阵高斯消元，有由于方程组有无穷多解，故 a=1 或a=0当 a=1 时，三个特征向量 线性相关，不合题意，舍去；当 a=0 时， 线性无关，是 A 的特征向量，故 a=0令 P=【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量33 【正确答案】 因为 A 是实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量相互正交(512)，所以 1a+a(a+1)+11=0 a=1设属于 =6 的特征向量是(x1，x 2，x 3)T，它与 =6，=0 的特征向量均正交，于是 解得(1，2， 1)T 是 =6 的特征向量那么，A 【知识模块】 矩阵

29、的特征值与特征向量34 【正确答案】 设这些特征向量分别属于特征值 1， 2， 3，则类似地， 2=3=0于是【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量35 【正确答案】 因为 A 能对角化，所以 A 必有 3 个线性无关的特征向量由于=1 是二重特征值，必有两个线性无关的特征向量，因此 r(EA)=1，得 x=2 求出 =1 的特征向量1=(1， 2，0) T， 2=(0，0，1) T 及 =0 的特征向量 3=(1，1，一 2)T得 A=PAP1 ，于是【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量36 【正确答案】 由于令 A= ，则EA =22于是有 1=2， 1=(5，2) T 和 2=1， 2=(1，1) T从而P1 AP= ，那么 An=PAnP1 =故得【试题解析】 将关系式表示成矩阵形式，用递推来推导(x n，y n)T 与(x 0，y 0)T 的关系式本题是用特征值、特征向量计算 An 的一个典型应用【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量