[考研类试卷]考研数学（数学三）模拟试卷371及答案与解析.doc

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1、考研数学（数学三）模拟试卷 371 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若 an a，则级数 (an1 a n)( )（A）收敛且其和为 0（B）收敛且其和为 a（C）收敛且其和为 aa 1（D）发散2 设 uf(x,xy,xyz) ，则 ( )（A）f 3yxy(f 32xf 33xz)（B） f3xxy(f 32xf 33xz)（C） f3xxyf 33xz（D）f 3yxyf 33xz3 设 D(x，y)x 2y 2R2)，则 e(x2 y2)sin(xy)dxdy( )（A）0（B） 1（C） （D）4 差分方程 yt 一 2yt1 b(b 为

2、常数)的通解是( ) （A）y tA2 tb（B） yt2 tb（C） ytA(2) tb（D）y tA2 tb5 A 是 n 阶矩阵，下列命题中错误的是( )（A）若 A2E，则一 1 必是 A 的特征值（B）若秩 (AE) n，则一 1 必是 A 的特征值（C）若 A 中各列元素之和均为一 1，则一 1 必是 A 的特征值（D）若 A 是正交矩阵，且特征值乘积小于 0，则一 1 也必是 A 的特征值6 设随机变量 X1N(0，1)，X 2B(1，12) ，X 3 服从于参数为 1 的指数分布设 则矩阵 A 一定是( )（A）可逆矩阵（B）不可逆矩阵（C）正定矩阵（D）反对称矩阵7 对任意两

3、个随机事件 A，B，已知 P(AB)P(A)，则下列等式不成立的是( )（A）P(AB) P(AB)（B） P(B)（C）（D）P(AB)(AB)P(A)8 已知随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 XN( ， 2)，YN( ，P(X0)02，则 P(5X4Y 一 3Z7) ( )（A）0.3（B） 0.4（C） 0.5（D）0.6二、填空题9 积分 x 22x3dx_10 设 zx 3f(xy， )，f 具有二阶连续偏导数，则 _11 微分方程 y4y2x 2 在原点处与 yx 相切的特解是_12 设 A ，A *为 A 的伴随矩阵，矩阵 B 满足 A*BA 1 2B，则 B _13 已知三阶

4、方阵 A 的三个特征值为 1，一 1，2，相应特征向量分别为 令 P ，则P1 AP_14 设 X1，X 2，X 7 为来自总体 XN(0，1)的简单随机样本，随机变量Y(X 1X 2X 3)2(X 4X 5X 6)2，则当 C_时， 服从参数为_的 t 分布三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，f(0) 0，当 x0 时，f(x)0证明对任意自然数 k，存在 (0，1)，使16 求方程 yy4sinx 的通解17 计算 d，D 是图中的阴影区域18 已知某产品总产量的变化率为 (t) (千吨年)问：(1)投产多少年后可使平均

5、产量达最大值，此最大值是多少?(2)在达到平均年产量最大时，再生产3 年，求这 3 年的平均年产量19 设 f(x)在(0，)内连续，f(1) 3，且 其中 x，y(0，)，求 f(x)20 设有 2 个四元齐次线性方程组： 方程组()和()是否有非零公共解?若有，求出所有的非零公共解? 若没有，则说明理由21 设 A 为三阶矩阵，有三个不同特征值 1， 2， 3，对应的特征向量依次为1， 2， 3，令 1 2 3 (1)证明： 不是 A 的特征向量； (2)，A ，A 2线性无关； (3)若 A3A，计算行列式2A3E22 (1)设 X1， X2，X n 是来自参数为 的泊松分布总体的一个样

6、本，试求 的最大似然估计量和矩估计量(2)设 X1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，X 的概率密度为 f(x) ， 一 x，0试求 的矩估计23 设随机变量 X 服从(0，2)上的均匀分布，Y 服从参数 2 的指数分布，且X，Y 相互独立，记随机变量 ZX2Y(1) 求 Z 的概率密度； (2)求 E(Z)，D(Z)考研数学（数学三）模拟试卷 371 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 利用级数收敛的定义求之求部分和 Sn 的极限前要先化简 Sn因为 (an1 a n)(a 2 一 a1)(a 3 一 a2)

7、(a 4 一 a3)，其部分和 S n(a 2 一 a1)(a 3一 a2) (a n1 a n)a n1 a n，由题设有 (an1 a n)aa 1，故由级数收敛的定义知，该级数收敛且其和为 aa 1仅(C)入选2 【正确答案】 B【试题解析】 按复合函数求导法则求之 解仅(B)入选3 【正确答案】 A【试题解析】 因 D 关于 x 轴及关于 y 轴均具有对称性，应注意考察被积函数的奇偶性，尽量使用对称性及奇偶性简化计算因 D 关于y 轴对称，而 sinxcosy 关于 x 为奇函数，故 e(x2y2) sinxcosydxdy0同理，因D 关于 x 轴对称，而 cosxsiny 关于 y

8、 为奇函数，故 e(x2y2) cosxsinydxdy0， 仅(A)入选注意 由上例可得到下述一般结论：若积分区域 D 关于 y 轴(或 x 轴)对称，且 f(x， y)关于 x(或关于 y)为奇函数，当 f(x，y)在 D 上连续时，必有f(x，y)dxdy04 【正确答案】 D【试题解析】 所给差分方程视为 yt2y t1 b.1 t因 21(特征根不等于底数)，故其特解形式为 yt*C(C 为待定常数)，代入差分方程即得 C2Cb ，C b，故yt*b易知其齐次方程的通解为 A.2 t又 yt*一 b，故其通解为yt y t*A.2 tb 其中 A 为任意常数仅(D)入选5 【正确答案

9、】 A【试题解析】 利用特征值定义讨论之对于具有特殊性质的矩阵，要灵活运用特征值定义解一 对于(A) ，若 A2E，A 的特征值的取值范围是 1，但并不保证 A必有特征值 1 或一 1，例如 可见(A)不正确仅(A) 入选解二 用排他法求之下面逐一验证选项(B)、(C) 、(D)都正确，从而仅(A)入选对于 (B)，由 r(AE)n 知，AEA (E)0由特征值定义知，一 1 必是 A 的特征值(B)正确对于(C) ，A 与 AT 有相同的特征值(注意特征向量一般是不同的)，由于 AT 各行元素之和均为一 1，从而有由特征值定义知，一 1 为 AT 的特征值，也必是 A的特征值(C) 正确对于

10、 (D)，A 为正交矩阵，有 AATE，从而A1又特征值之积小于零，那么A一 1又因E A AA TAA(A TE)A(A TE T) AAEAE，故EA0，即A (1)E0，从而一 1 必是 A 的特征值(D)正确6 【正确答案】 A【试题解析】 先根据随机变量 Xi(i1，2，3)的分布求出期望 E(Xi)、E( )与方差 D(Xi)因 E(X 1)0，D(X 1)1， E( )D(X 1)E 2(X1)1， E(X 2)np1.(12) 12，D(X 2)np(1 一 p)1.(12)(1 2)14， E( )D(X 2)E 2(X2)141412， E(X 3)1，D(X 3)1，E(

11、 )D(X 3)E 2(X3)2，故 A 为可逆矩阵，所以仅(A) 入选7 【正确答案】 C【试题解析】 利用事件的运算法则及全集分解公式判别之全集分解公式如下： 由 P(AB)P(A)一 P(AB)P(A)可知 P(AB)0 (A) 中左端 P(AB)P(A)P(AB)P(A)，故(C)不成立仅 (C)入选8 【正确答案】 A【试题解析】 利用题设条件先求出随机变量函数 5X4Y 3Z 的正态分布，再利用标准正态分布及 P(X216( 22)9( 23)36 2，所以 5X4Y 一3ZN(，36 2)二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 先将被积函数写成分段函数的形式，然后再分段积分10

12、 【正确答案】 【试题解析】 先求 对 y 求偏导数，求时要反复多次运用复合函数求导法则在求复合函数的高阶偏导数时，要特别注意函数求偏导后仍为复合函数，即仍为(xy ，yx) 的函数11 【正确答案】 【试题解析】 先求出特征根，再设出特解形式，代入原方程求之原方程所对应齐次方程的特征方程为 r240，解得 r 12 2i故齐次方程通解为Yc 1cos2xc 2sin2x 设 y*ax 2bxc 是原方程的一个特解，代入原方程，比较两边系数可得 故原方程的通解为 yYy *c 1cos2xc 2sin2x 由初始条件 y x0 0， y x0 1，可得 于是，所求的特解为 12 【正确答案】

13、【试题解析】 先将所给的矩阵方程化为以 B 为因子矩阵的方程为此，先在方程两边左乘 A 以消去 A*在方程 A*BA 1 2B 两边左乘 A 得到 AA*BABE 2AB ，即 (AE2A)BE，故 B(AE2A) 1 易求得A4，则13 【正确答案】 【试题解析】 同一个特征值的特征向量的线性组合仍为该特征值的特征向量，P中向量的次序应与对角阵中对应的特征值的次序一致据此确定选项注意仍分别为特征值 1，1，2 的特征向量，故14 【正确答案】 ，n2【试题解析】 利用 t 分布的典型模式求之由 XiN(0，1)和 2 分布的典型模式 CYC(X 1X 2X 3)2(X 4X 5X 6)2应服

14、从参数为 2 的 2 分布：这是因为 又 X1X 2X 3 与 X4X 5X 6 相互独立，故 又 X7N(0 ，1)，所以其中 C ，参数为 n2三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 令 F(x)f(x)f(1x) k，则 F(1)f(1)f(0) k0， F(0) f(0)f(1)k0由罗尔定理知，存在 (0，1)使得 F()0 ，即 f()f(1 一 )kk_f(1 一 )k1 f(1 一 )f()0整理即得 【试题解析】 将上式中的 改为 x，并将上式改写为 f(x)f(1 一 x)一 kf(x)f(1一 x)0 令 g(x)f(1 x) k，应作辅助函

15、数 F(x)f(x)g(x)，则 F(x) f(x)g(x)f(x)f(1 一 x)k f(x)f(1x) kkf(1-x) k1 f(1一 x)f(x)16 【正确答案】 对应的齐次方程的特征方程为 r210，解得 ri ，则齐次方程的通解为 YC 1cosxC 2sinx 因 0ii 为特征方程的根，故所给方程的特解形式为 y *x(acosxbsinx)axcosx bxsinx。 代入原方程并比较两边的系数得 a一 2， b0 所以 y *一 2xcosx 于是所给方程的通解为 yYy *C 1cosxC 2sinx 一 2xcosx17 【正确答案】 设 D1 为大图，D 2 为小图

16、，则【试题解析】 区域 D 可视为两圆域之差(见下图)，从而所求积分可化为两圆域上的二重积分之差，且用极坐标系计算18 【正确答案】 (1)t 年后平均年产量为得唯一驻点 t3因当 t3 时， 0，故 t3 为极大值点因驻点唯一，该点也是最大值点，最大值为 (3)10e 1 (2)【试题解析】 首先要算出 t 年后平均年产量的表示式，再按微积分中的一般方法求出极(最) 大值点即可19 【正确答案】 在等式两边依次对 x，y 求导，有 yf(xy) f(t)dtyf(x) ， xf(xy)xf(y) f(t)dt 在式两边对 x 求导得到 f(xy)xyf(xy)f(y)f(x) 取 x1，由式

17、得到 f(y)yf(y) f(y)3，得 f(y) ，积分得 f(x)31nyC 由 f(1)3，知 C3，所以 f(y) 3(1ny 1)，即 f(x) 3(lnx 1)【试题解析】 在所给等式两边分别对 x，y 求导为去掉积分号需对 x 两次求导，再将 f(1)3 代入化为 f(y)所满足的一阶微分方程解之，求得 f(y)，即 f(x)20 【正确答案】 关于()和() 的公共解，可以用下列几种方法求之法一 把()、()联立起来直接求解设联立方程组的系数矩阵为 A，用初等行变换将其化为含最高阶单位矩阵的矩阵，直接写出其基础解系，从而求出所有的非零公共解由于 n 一 r(A)431，基础解系

18、是一 1，1，2，1 T，从而方程组()、()有公共解，且所有的非零公共解为 K1，1，2，1 T，K 是任意非零实数法二 通过()与()各自的通解寻找公共解为此，先求方程组()的基础解系为 10，1，1，0 T， 2一1，一 1，0，1 T下求方程组()的基础解系由知，其基础解系含 2 个解向量： 10，0，1，0 T， 2 一 1，1，0，1 T那么 k11k 22，l 11l 22 分别是()、()的通解，令其相等，则有 k 10，0，1，0 Tk 2一 1，1，0，1T l10，1， 1，0 Tl 2一 1，一 1，0，1 T，由此得 一 k2，k 2，k 1，k 2T一l2，l 1

19、一 l2，l 1，l 2T比较两个向量对应分量得到 k1 l 12k 22l 2，所有非零公共解是 2k 20，0，1，0 Tk 2一 1，1，0，1 Tk 2一 1，1，2，1 T，其中 k2 为非零任意常数法三 可以把一方程组的通解代入另一方程组寻找任意常数所满足的关系式，从而求出公共解为方便计，将方程组()的通解 c11c 220，c 1，c 1，0 T一 c2，一 c2，0，c 1T 一 c2，c 1 一 c2，c 1，c 2T 代入方程组()，得到 因而得到两方程组的非零公共解为 2c 21c 22c 2(21 2)c 2(0，2，2，0 T一 1，一 1，0，1 T) c 2(一

20、1，1，2，1) T，c 2 为任意非零常数【试题解析】 两个齐次线性方程组的公共解可用多种方法求得21 【正确答案】 (1)证一 假设 为 A 的特征向量，则存在 0，使 A 0，即 A(1 2 3) 0(1 2 3)，得 ( 1 0)1( 2 0)2(3 0)30由1， 2， 3 线性无关知 1 00， 2 00， 3 00，从而有 1 2 3，这与已知条件矛盾，因此 不是 A 的特征向量证二 因 1， 2， 3 是属于不同特征值的特征向量，故 1 2 3 必不是 A 的特征向量 (2) 设 k 1k 2Ak 3A20则 (k 1 k21 k3 )30由1， 2， 3 线性无关，得 因上方

21、程组的系数矩阵的行列式为三阶范德蒙行列式，又因 123，故该方程组只有零解，故 k 1k 2k 30 所以 ，A，A 2 线性无关(3) 由题设有 A ，A， A2A ，A 2，A 3A， A2，A，A，A 2 令 P，A，A 2，则 P 可逆，且 于是 P1 (2A3E)P2B3E ，从而 2A+3E2B3E 15【试题解析】 (1)可用反证法证之； (2) 用线性无关定义证明； (3)因 ，A，A 2线性无关，用矩阵表示法可求出 A 的相似矩阵 B，由 AB得 2B 3E 2A3E 22 【正确答案】 (1)泊松分布的分布律为 P(Xx) ，x0，1，2，其最大似然函数为故 ， 的最大似然

22、估计量为 因 E(X).1，令 E(X)为 的矩估计量(2)待求参数虽然只有一个，但由于 X 的一阶矩等于零，即 xf(x)dx0，需考虑其二阶矩 x2f(x)dx 作矩估计因 2(3)2 2，而样本二阶矩为 ，故 的矩估计量为 (因 0)【试题解析】 未知参数的矩估计量可用样本原点矩代替同阶的总体原点矩即可为此，应为求 的最大似然估计，先写出最大似然函数，再对参数求出其导数令其等于 0，解出用样本表示参数的式子23 【正确答案】 由题设 X，Y 相互独立，且 先求 Z 的分布函数(参考下图) 为此将 f(x，y)取正值的区域的两个边界点(0，0)，(2，0)分别代入 zx2y 得到 z0，z2因而对 z 需分z0，0 z2，z2，三种情况讨论：当 z0 时，F z(z)0；当 0z2 时，F Z(z)P(X2Yz) f(x，y)dxdy当 z2 时， FZ(z) P(X2Yz) e2y dy所以于是(2)直接用期望、方差的运算性质计算由于 E(X)1， D(X) 且X，Y 相互独立，故 E(Z)E(X2Y)E(X)2E(Y)112，D(Z) D(X2Y)D(X) 4D(Y)【试题解析】 (1)先求 Z 的分布函数，根据 Z 的取值范围分段求出，再求概率密度(2)利用 X，Y 的期望和方差的运算法则求之，不宜用 Z 的密度函数用定义法求E(Z)和 D(Z)