[考研类试卷]考研数学二(线性代数)模拟试卷25及答案与解析.doc
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1、考研数学二(线性代数)模拟试卷 25 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 4 阶矩阵,其秩 r(A)=3,那么 r(A*)*)为 ( )(A)0(B) 1(C) 2(D)32 设 则必有 ( )(A)AP 1P2=B(B) AP2P1=B(C) P1P2A=B(D)P 2P1A=B3 设 其中 A 可逆,则 B 等于 ( )(A)A 一 1P1P2(B) P1A 一 1P2(C) P1P2A 一 1(D)P 2A 一 1P14 A 是 n 阶矩阵,则 ( )(A)(一 2)nA n(B) (4A) n(C) (一 2)2nA * n(D)4
2、A n5 A 是 n 阶矩阵,则 = ( )(A)(一 2)nA * n(B) 2nA * n(C) (一 2)nA n 一 1(D)2 nA n 一 16 设 A= ,则(P 一 1)2016A(Q2011)一 1= ( )7 已知 1, 2, 3, 4 为 3 维非零列向量,则下列结论: 如果 4 不能由1, 2, 3,线性表出,则 1, 2, 3 线性相关; 如果 1, 2, 3 线性相关,2, 3, 4 线性相关,则 1, 2, 4 也线性相关; 如果 r(1, 1+2, 2+3)=r(4, 1+4, 2+4, 3+4),则 4 可以由 1, 2, 3 线性表出 其中正确结论的个数为
3、( )(A)0(B) 1(C) 2(D)38 设 1, 2, 3 均为线性方程组 Ax=b 的解,下列向量中 1 一 2, 1 一 22+3, (1 一 3), 1+32 一 43,是导出组 Ax=0 的解向量的个数为 ( )(A)4(B) 3(C) 2(D)19 设 A 是秩为 n 一 1 的 n 阶矩阵, 1, 2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量,则Ax=0 的通解必定是 ( )(A) 1+2(B) k1(C) k(1+2)(D)k( 1 一 2)二、填空题10 设 A 是 n 阶矩阵,A=5,则(2A) *=_11 设 A= ,则 (A*)一 1=_12 设 A= ,则(A 一
4、1)*=_13 设 A= ,B=(E+A) 一 1(E 一 A),则(E+B) 一 1=_14 已知 A,B 均是三阶矩阵,将 A 中第 3 行的一 2 倍加到第 2 行得矩阵 A1,将 B中第 1 列和第 2 列对换得到 B1,又 A1B1= ,则 AB=_15 设 B= ,则 B 一 1=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设 证明:A=E+B 可逆,并求 A 一 117 A,B 均是 n 阶矩阵,且 AB=A+B证明:AE 可逆,并求(A E)一 118 设 B 是可逆阵,A 和 B 同阶,且满足 A2+AB+B2=O,证明:A 和 A+B 都是可逆阵,并求 A 一
5、 1 和(A+B) 一 119 设 A,B 是 n 阶方阵,B 及 E+AB 可逆,证明: E+BA 也可逆,并求(E+BA) 一120 设 A=E 一 T, 是非零列向量,证明:(1)A 2=A 的充要条件是 T=1;(2)当T=1时,A 不可逆21 设 A,B 都是 n 阶对称阵,已知 E+AB 不可逆,证明:E+BA 也不可逆22 已知 A,B 是三阶方阵,AO,AB=O,证明: B 不可逆23 设 A=(aij)nn,且 aij=0,i=1,2,n,求 r(A*)及 A*24 已知 n 阶矩阵25 设矩阵 A 的伴随阵 A*= ,且 ABA 一 1=BA 一 1+3E,求 B。26 设
6、矩阵 A,B 满足 A*BA=2BA 一 8E,其中 求 B27 设 A 是 n 阶可逆阵,将 A 的第 i 行和第 j 行对换得到的矩阵记为 B,证明:B可逆,并推导 A 一 1 和 B 一 1 的关系28 设 A 是 n 阶可逆阵,其每行元素之和都等于常数 a,证明:(1)a0;(2)A 一 1 的每行元素之和均为 29 (1)A,B 为 n 阶方阵,证明:考研数学二(线性代数)模拟试卷 25 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由于(A *)*=A n 一 2A,由于 A 不满秩,故A=0 于是(A *)*=O,r(A
7、 *)*)=0,故应选(A)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 B 由 A 第一行加到第 3 行(P 2 左乘 A)再将第一,二行对换(再 P1 左乘P2A)得到,故 (C)成立【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 因 B=AP2P1,B *=(AP2P1)*=P*P*A*=P1P2A*【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 =(一 2)2nA *A =4 nA n=(4A) n【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 =(一 1)nA *一2I=2 nA *=2 nA n 一 1【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试
8、题解析】 易知 P2=E,故 P 一 1=P,进一步有 (P 一 1)2016=P2016=(P2)1008=E由于右乘初等矩阵等于作相应的初等列变换,故计算结果应为将 A 第 2 列的 2 011 倍加到第 1 列,计算可知应选(B)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 如果 1, 2, 3 线性无关,由于 1, 2, 3, 4 为 4 个 3 维向量,故 1, 2, 3, 4 线性相关,则 4 必能由 1, 2, 3 线性表出,可知 是正确的令 1= ,则 1, 2, 3 性相关, 2, 3, 4 线性相关,但 1, 2, 4 线性无关可知 是错误的 由 1, 1+2,
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