人教版--全等三角形讲义.doc

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1、 1 全等三角形 全等三角形性质 图形全等： 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没 有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。“全等”用 表示，读作“全等 于” 全等三角形的定义： 两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如 DEFABC 和 全等时，点 A和点 D，点 B和点 E，点 C和点 F是对应顶点，记作 DEFABC 。 FEDABC把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对 应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 全等三角形的性质： 全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。 1.下列说法：全等图形的形状相同、大小相等

2、；全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（ ） A B C D 2.如图 , ABD ACE,则 AB的对应边是 _, BAD的对应角是 _ 3.已知 :如图 , ABE ACD, B= C,则 AEB=_,AE=_ 4.如图 : ABC DCB,AB和 DC是对应边 , A和 D是对应角 ,则其它对应边是_,对应角是 _ 5.已知 :如图 , ABC DEF,BC EF, A= D,BC=EF,则另外两组对应边是 _,另外两组对应角是 _ 2 题 3 题 4 题 5 题 2 三角形全等的条件一（ SSS） 三角形有六个条件：三条边和三

3、 个角 如果两个三角形满足上述六个条件中的一个或两个时有几种情形，能否保证两个三角形全等？ 满足一个条件： 只有一条边对应相等； 只有一个角对应相等； ABCDEFABCDEF结论： 满足两个条件： 两角对应相等；两边对应相等； 一边一角对应相等 ABCFEDAB C EDF结论： 如果两个三角形满足上述六个条件中的三个时，有几种可能的情况？ 两边一角对应相等 AB C EDF结论： AB C EDFAB C FED3 两角一边对应相等 AB C FED结论： 三边对应相等 AB C FED结论： 三个角对应相等 FEDAB C结论： 定义： 如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角

4、形全等简 写为“边边边”，或简记为（ S.S.S. ）。 AB C FED例 1. 已知：如图， DE=CE， DF=CF求证： DEF CEF CE FDAB C FED4 例 2. 已知：如图， DA=CB， DB=CA求证： DAB CBA DA BC例 3.已知：如图 AB=CD,AD=BC，求证： AD BC。 例 4已知：如图，点 A、 C、 B、 D在同一条直线上 ,AC=BD,AM=CN,BM=DN, 求证： AMB CND 5 例 6.已知 AB=CD， BF=CE， AE=CF，问 AB CD吗？ 例 6.已知：如图 ,AB=AE,AC=AD,BC=DE, C,D 在 BE

5、边上 .求证： CAE= DAB 课堂练习： 1.如图， AB=AD， CB=CD， B=30， BAD=46，则 ACD的度数是 ( ) A.120 B.125 C.127 D.104 2.如图，线段 AD 与 BC 交于点 O，且 AC=BD， AD=BC，则下面的结论中不正确的是 ( ) A. ABC BAD B. CAB= DBA C.OB=OC D. C= D 3.如图， AB=CD， BF=DE， E、 F是 AC 上两点，且 AE=CF欲证 B= D，可先运用等式的性质证明 AF=_，再用“ SSS”证明 _ _得到结论 6 4.如图 ,AD BC，垂足为 D， BD=CD.求证

6、： ABD ACD. 6.已知：如图， AB=DC， BD=AC， AC， BD 交于 O求证： AOB DOC 7.如图，已知： AB=AC， BE=CE ， E为 AD上一点，求证： BED= CED。 8.已知：如图， A、 E、 F、 B在一条直线上， AC=BD , AE=BF， CF=DE。求证： AD BC 7 课后练习： 1.工人师傅常用角尺平分任意角，做法如下： 如图： AOB是一个任意角，在 OA、 OB上分别取 OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与 M、 N重合，过角尺顶点 P的射线 OP便是AOB的平分线。你知道这样做的理由吗？ 2.已知：如图： BE=CF

7、， AB=DE， AC=DF ，求证： ABC DEF。 3.如图， AB=AC， BD=CD，求证： 1= 2 4.已知 AC=BD， AE=CF， BE=DF，问 AE CF吗？ 10.如图， AC=BD， BC=AD，求证 : ABC BAD 8 能力提高： 1.如图， AC=DF， BC=EF， AD=BE， BAC=72， F=32，则 ABC= 2.已知：如图 , E是 AD上的一点 , AB=AC , AE=BD , CE=BD+DE求证： B= CAE 3.如图： AB=DC， BE=CF， AF=DE。 (1)求证： ABE DCF;(2)CF BE. 4.如图 ,AD=BC

8、,AB=DC. 求证： A+ D=180 . 9 三角形全等的条件二 (SAS) 定义： 如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等， 那么这两个三角形全等 简 写成“边角边”或简记为（ S.A.S. ） 两边一角对应相等 AB C EDF结论： 例 1.如图， AE=DB,BC=EF,BC EF,求证 : ABC DEF 例 2.如图， AB AD， AC AE， BAE DAC，求证： ABC ADE 例 3.已知 :如图 ,AD是 BC上的中线 ,且 DF=DE求证 :BE CF 例 4.如图，已知，等腰 Rt OAB中， AOB=90o，等腰 Rt EOF中， EOF=90o，连结 AE

9、、 BF AB C FED10 3 题 求证：（ 1） AE=BF；（ 2） AE BF 例 5.如图，在 ABE中， AB AE,AD AC, BAD EAC, BC、 DE 交于点 O. 求证： (1) ABC AED； (2) OB OE . 课堂练习： 1.在 ABC和 ABC中 , 要使 ABC ABC , 需满足条件（ ） A.AB=AB,AC=AC, B= B B.AB=AB, BC=BC, A= A C.AC=AC,BC=BC, C= C D.AC=AC, BC=BC, C= B 2.如图 , 在 AOB的两边上截取 AO=BO , 在 AO和 BO 上截取 CO=DO , 连

10、结 AD和 BC交于点P , 则 AOD BOC理由是（ ） A.ASA B.SAS C.AAS D.SSS 3.如图，在 ABC 和 DEF 中，已知 AB DE ， BC EF ，根据（ SAS）判定A B C D E F ，还需的条件是（ ） A. AD B. BE C. CF D.以上三个均可以 4.如图 ,AD=AE,AB=AC,BE、 CD 交于 F,则图中相等的角共有 _对 ,（除去 DFE= BFC） ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 2 题 4 题 11 6.如果两个三角形全等 ,则不正确的是（ ） A.它们的最 小角相等 B.它们的对应外角相等 C.它们是直角三角形

11、D.它们的最长边相等 7.如图 ,已知 : ABE ACD, 1= 2, B= C,不正确的等式是（ ） A.AB=AC B. BAE= CAD C.BE=DC D.AD=DE 8.下图中全等的三角形是（ ） A.和 B.和 C.和 D.和 9.如图，已知 1 2，要使 ABC ADE，还需条件（ ） A.AB=AD， BC=DE B.BC=DE， AC=AE C. B= D， C= E D.AC=AE， AB=AD 10.已知： AD BC， AD=CB，求证： ADC CBA 11.如图， ABC中， AB AC， AD 平分 BAC，试说明 ABD ACD. 12.如图， AD BC,

12、ADC BCD.求证： BAC ABD 7 题 8 题 12 13.如图 ,已知 :AC=DF,AC FD,AE=DB,求证 : ABC DEF. 14.如图 ,在 ABC 中 , 40A B A C B A C ， ，分别以 AB,AC为边作两个等腰直角 ABD和 ACE， 使 90B A D C A E （ 1）求 DBC 的度数；（ 2）求证： BD CE 15.如图： AB=AC， AD=AE， AB AC， AD AE.求证：（ 1） B= C，（ 2） BD=CE 16.如图 BAC= DAE， ABD= ACE， BD=CE。 求证： AB=AC。 课后练习： 13 1.下面各条

13、件中，能使 ABC DEF的条件的是（ ） A.AB=DE, A= D,BC=EF B.AB=BC, B= E,DE=EF C.AB=EF, A= D,AC=DF D.BC=EF, C= F,AC=DF 2.如图， AD,BC相交于点 O， OA=OD， OB=OC下列结论正确的是（ ） A. AO B D O C B. ABO D O C C. AC D. BD 3.如图，已知 AB AC ， AD AE ， BAC DAE 下列结论不正确的有（ ） A. BAD CAE B. ABD ACE C.AB=BC D.BD=CE 4.如图所示 , ABC 与 BDE 都是等边三角形 ,ABCD

14、C.AECD D.无法确定 5.已知：如图 , CEAB , DFAB , 垂足分别为 E , F , AF=BE , 且 AC=BD , 则不正确的结论是（ ） A.Rt AEC Rt BFD B. C+ B=90 C. A= D D.AC BD. 6.如果 ABC和 DEF 全等， DEF和 GHI全等，则 ABC和 GHI_全等， 如果 ABC和 DEF不全等， DEF 和 GHI全等，则 ABC和 GHI_全等（填“一定”或“不一定”或“一定不”） 7.如图，已知 AB BD 于 B， ED BD于 D， AB=CD， BC=DE，则 ACE=_. 8.已知如图， F在正方形 ABCD

15、的边 BC边上， E在 AB的延长线上， FB EB， AF交 CE于 G，则 AGC的度数是 _. 9.如图， ABC 是不等边三角形， DE=BC，以 D ， E 为两个顶点作位置不同的三角形，使所14 作的三角形与 ABC全等，这样的三角形最多可以画出 _个 10.如图，已知 ABC 的六个元素 ,则下面甲、乙、丙三个三角形中和 ABC 全等的图形是 。 11.已知 :如图 ,AC=AB,AE=AD, 1= 2.求证 : 3= 4。 12.已知 :如图 ,AB=AC,AE平分 BAC.求证 : DBE= DCE 13.如图 ,已知 :AD BC,AD=BC求证 :AB CD 15 14.

16、已知 :如图 ,点 B,E,C,F在同一直线上 ,AB DE,且 AB=DE,BE=CF.求证 :AC DF 15.已知 :如图 ,AD是 BC上的中线 ,且 DF=DE求证 :BE CF 16.如图，在 ABC 中， D是 AB 上一点， DF交 AC 于点 E， DE=FE， AE=CE， AB与 CF有什么位置关系？说明你判断的理由。 17.如右图，已知 DE AC， BF AC，垂足分别是 E、 F， AE=CF， DC AB， （ 1）试证明： DE=BF；（ 2）连接 DF、 BE，猜想 DF与 BE的关系？并证明你的猜想的正确性 18.已知如图， B是 CE 的中点， AD=BC

17、， AB=DC DE交 AB于 F点。求证：（ 1） AD BC（ 2） AF=BF 16 19.已知 :如图 ,AC=AB,AE=AD, 1= 2.求证 : 3= 4。 能力提高： 1.观察下列图形，则第 n 个图形中三角形的个数是（ ） A.22n B.44n C.44n D.4n 2.如图 ,AD AB,CB AB,DM=CM=a， AD=h,CB=k, AMD=75， BMC=45，则 AB的长为 ( ) A. a B. k C. 2hkD. h 3.已知 :如图 ,AB=AC,AD=AE, BAC= DAE.求证 :BD=CE。 4.如图已知： ABC和 BDE是等 边三角形， D在

18、 AE延长线上。求证： BD+DC=AD 。 第 1 个 第 2 个 第 3 个 17 5.已知：如图， BE、 CF 是 ABC的高，分别在射线 BE 与 CF 上取点 P与 Q，使 BP=AC， CQ=AB。 求证：（ 1） AQ=AP；（ 2） AP AQ 6.如图， ABC 为等边三角形，点 M,N 分别在 BC,AC 上，且 BM=CN， AM 与 BN 交于 Q 点。求 AQN的度数。 7.已知 C为 AB上一点 , ACN和 BCM是正三角形 .(1)求证 :AM=BN； (2)求 AFN 的度数 . 8.如图，已知 ABC的边长为 1的正三角形， BDC 是顶角 BDC=120

19、0的等腰三角形，以 D18 为顶点作一个 600角，角的两边分别交 AB于 M，交 AC 于 N，连 MN 形成 AMN，求证： AMN的周长等于 2。 AB CDMN9.已知在 ABC 中， CB 2 ， AD平分 A 交 BC 于 D点，求证： AC=AB+BD。 ABC D10.如图， ABC是等腰直角三角形，其中 CA=CB，四边形 CDEF是正方形，连接 AF、 BD. (1)观察图形，猜想 AF与 BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想； (2)若将正方形 CDEF 绕点 C按顺时针方向旋转，使正方形 CDEF的一边落在 ABC的内部，请你画出一个变 换后的图形，并对照已知图形标记字

20、母，题 (1)中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由 . 11.五边形 ABCDE中， AB=AE， BC+DE=CD， ABC+ AED=180，求证： AD平分 CDE. 三角形全等的条件三、四（ ASA,AAS） 19 定义： 如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全 等简记为“角边角”或简记为 (A.S.A.) 。 如果两个三角形的两个角及其其中一角的对边分别对应相等，那么这两个 三角形 全等，简记为“角角边”或简记为（ A.A.S ） 两角一边对应相等 AB C FED结论： 问题：一块三角形玻璃碎成如图形状 4 块，配一

21、块与原来一样的三角形玻璃 （ 1）要不要 4 块都带去？ （ 2）带哪一块呢？ （ 3）带 D 块，带去了三角形的几个元素？另外几快呢？ 例 1.如图， BDA= CEA， AE=AD求证 :AB=AC 例 2.如图， ACB=900， AC=BC， D为 AB上一点 ,AE CD， BF CD，交 CD延长线于 F点 .求证：BF=CE. 例 3.如图在 ABC 中， ACB=90， AC=BC， AE 是 BC 的中线，过点 C 作 CF AE 于 F，过 BD B C A AB C FED20 作 BD CB交 CF的延长线于点 D。（ 1）求证： AE=CD，（ 2）若 BD=5，求

22、AC的长。 例 4.如图：在 ABC 中， ACB=90， AC=BC， D 是 AB 上一点， AE GD 于 E， BF CD 交 CD的延长线于 F。求证： AE=EF+BF。 例 5.如图，已知在 ABC 中， AD是角平分线， CF AD 交 AB 于 F，垂足为 M， CE AD交 BA的延长线于 E，求证： AC=AE=AF。 例 6.如图， ABC 中， BAC=900， AB=AC， BD 是 ABC 的平分线， BD 的延长线垂直于过 C点的直线于 E，直线 CE交 BA的延长线于 F求证： BD=2CE 课堂练习 21 1.已知：如图 , AC=CD , B= E=90

23、, AC CD , 则不正确的结论是 ( ) A. A与 D互为余角 B. A= 2 C. ABC CED D. 1= 2 2.在 ABC中， AC=5，中线 AD=4，则边 AB 的取值范围是 ( ) A.1AB9 B.3AB13 C.5AB13 D.9AB13 3.如图，点 D,E,F,B 在同一条直线上， AB CD， AE CF，且 BF=DE，若 BD=10， BF=2，则EF=_ 4.已知：如图 , 四边形 ABCD中 , AB CD , AD BC求证： ABD CDB. 5.如图 ， ABC DCB ， ACB DCB ，试说明 ABC DCB. 6.如图， 1 2， B C.

24、求证： AB AC. 7.如图：在 ABC中， AB=AC， AD 和 BE 都是高，它们相交于点 H，且 AH=2BD.求证： AE=BE. 22 8.已知 :如图 ,四边形 ABCD中 ,AD BC,F是 AB的中点 ,DF交 CB 延长线于 E , CE=CD.求证： ADE= EDC 9.如图， ABC中， D 是 AC 上一点， BE AC， BE=AD， AE分别交 BD、 BC于点 F、 G 图中有全等三角形吗？请找出来，并证明你的结论 若连结 DE，则 DE与 AB有什么关系？并说明理由 10.如图，在 ABC中， C=2 B,AD是 ABC的角平分线， 1= B,求证 AB=

25、AC+AD. 课后练习： 1.如图 , A= D,OA=OD, DOC=50 ,求 DBC的度数为 ( ) A.50 B.30 C.45 D.25 2.如图， AB CD， AD BC， AC、 BD相交于点 O。 （ 1）由 AD BC，可得 = ，由 AB CD，可得 = ，又由 ，于是 ABD CDB； （ 2）由 ，可得 AD=CB，由 ，可得 AOD COB； （ 3）图中全等三角形共有 对。 3.如图在 ABC中 ,AD BC 于 D,BE AC于 E,AD交 BE 于 F,若 BF=AC,那么 ABC 的大小是 23 4.已知：如图 , 1= 2,AB BC,AD DC,垂足分别

26、为 B、 D.求证： AB=AD 5.如图， 1 2, B D，求证 : ABC ADC 6.如图 , C D, CE DE求证 : BAD ABC 7.如图， 四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD相交于 O 点， 1= 2， 3= 4 求证：（ 1） ABC ADC ；（ 2） BO=DO 8.如图，已知点 B、 C、 E在一条直线上， AB=CD， AC=BD， DE AC，试说明 E= DBC。 9.如图， AB AC ， BD DC ， AC、 BD交于点 ACB DBC ，图中共有几对长度相等的线段，你是通过什么办法找到的？ 24 10.已知 :如图 ,AB CD, 1= 2,

27、O是 AD 的中点 ,EF、 AD交于 O求证： O也是 EF 的中点 11.如图， AD=BE,AC DF,BC EF，求证 : ABC DEF 8.已知：如图 ,FB=CE,AB ED , AC FD, F、 C在直线 BE上求证： AB=DE,AC=DF 9.已知：在 ABC中， AD为 BC边上的中线， CE AD， BF AD。求证： CE=BF。 10.已知：如图 AC CD于 C , BD CD于 D , M是 AB的中点 , 连结 CM并延长交 BD于点 F 求证： AC=BF 25 11.已知：如图 ,E、 D、 B、 F在同一条直线上 ,AD CB, BAD= BCD,DE

28、=BF.求证： AE CF. 12.已知：如图 ,AE=BF , AD BC , AD=BC.AB、 CD交于 O点求证： OE=OF 能力提高： 1.已知 :如图， AD=DC, ADC= DEB= B=90 ,四边形 ABCD的面积为 16,则 DE的长为（ ） A.5 B.4 C.3 D.2 2.三角形 ABC中， AB=AC，在 AB上取一点 D，在 AC的延长线上取一点 E，使 CE=BD，连结 DE交 BC于 G，求证： DG=GE. 26 3.已知：如图，在 ABC 中， AD 是 BAC的角平分线， E、 F分别是 AB、 AC上的点， 且 EDF+ EAF=180。求证： D

29、E DF。 4.在 等边三角形 ABC中， AE=CD， AD， BE交于 P点， BQ AD 于 Q求证： BP=2PQ 5.如图，点 M 为正 ABD 的边 AB 所在直线上的任意一点 (点 B 除外 )，作 60DMN ，射线 MN与 DBA外角的平分线交于点 N， DM与 MN 有怎样的数量关系 ? 27 三角形全等的条件五 定义： 如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角 三角形全等简记为 H L 定理（或斜边直角边） 例 1.如图，有一个直角 ABC， C=90， AC=10， BC=5，一条线段 PQ=AB， P.Q 两点分别在AC和过点 A且垂直于 AC

30、的射线 AX上运动，当 AP= 时 ,才能使 ABC与 PQA全等 . 例 2.已知：如图， AB=CD， AE=DF，且 AEBC于 E， DFBC 于 F.求证： B= C。 例 3.已知：如图 ,E,B,F,C四点 在同一直线上 , A= D=90 ,BE=FC, AB=DF求证： E= C 例 4.如图， ABBC于 B， ADDC于 D，且 CB=CD求证： ABD= ADB. 例 5.证明 :在直角三角形中， 300所对的直角边等于斜边的一半。 28 例 6.已知：如图， AD 为 ABC 的高， E 为 AC 上一点， BE 交 AD 于 F，且有 BF=AC， FD=CD，求证

31、： BE AC。 例 7.已知： Rt ABC中， ACB是直角， D是 AB上一点， BD=BC，过 D作 AB的垂线交 AC于E， 求证： CD BE. 课堂练习： 1.能使两个直角三角形全等的条件是 ( ) A. 两直角边对应相等 B. 一锐角对应相等 C. 两锐角对应相等 D. 斜边相等 2.两个三角形有以下三对元素相等 , 则不能判定全等的是 ( ) A.一边和两个角 B.两边和它们的夹角 C.三边 D.两边和一对角 3.下列说法中，错误的是（ ） A.三角形全等的判定方法对判定直角三角形全等也适用 B.已知两个锐角不能确定一个直角三角形 C.已知一个锐角和一条边不能确定一个直角三角

32、形 D.已知一个锐角和一条边可以确定一个直角三角形 3.已知：如图 , AD=BC , AE , CF 分别垂直 BD 于 E、 F , AE=CF , 则图中有 _对相等的角 (除直角外 )（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 29 4.已知：如图， AC是 BAD 和 BCD的角平分线，则 ABC ADC用 _判定 ( ) A.AAA B.ASA 或 AAS C.SSS D.SAS 5.如图， Rt ABC中， B=90， ACB=60，延长 BC到 D，使 CD=AC则 AC： BD=（ ） A 1： 1 B 3： 1 C 4： 1 D 2： 3 6.如图 , 在下列给出的四组条件下，

33、不一定能推导出 ABD EBC的条件是 ( ) A.BE=BA , BD=BC , 1= 2 B. 3= 4 , 1= 2 , AB=EB C.AB=EB , 1= 2 , AD=EC D.AB=EB , 1= 2 , C= D 7.如图，已知 AB AC， AC CD，垂足分别是 A， C， AD=BC。由此可判定全等的两个三角形是 和 8.已知：如图 , AE , FC都垂直于 BD , 垂足为 E、 F , AD=BC , BE=DF求证： OA=OC. 9.已知：如图， DN=EM，且 DNAB于 D， EMAC于 E， BM=CN求证： B= C. 10.已知：如图 , BC是 AB

34、C和 DCB 的公共边 , AB=DC , AC=DB , AE、 DF 分别垂直 BC于 E , F 求证： AE=DF 30 11.已知：如图 , AB=CD , D、 B到 AC 的距离 DE=BF 求证： AB CD 12.已知：如图 , OC=OD , ADOB 于 D , BCOA于 C.求证： EA=EB 13.如图，已知： ACB和 ADB都是直角， BC=BD， E是 AB 上任一点，求证： CE=DE 14.已知：如图， A= D=90， AC， BD交于 O， AC=BD.求证： OB=OC 15.如图，在等腰直角三角形 ABC中， ACB=90O,直线 l 经过点 C， AD l, BE l,垂足分别为 D、 E. 求证： AD=CE。