高考圆锥曲线难题集粹.doc

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1、高考复习讲义 - 1 - 高考数学圆锥曲线训练 1.已知 ABC 的顶点 AB， 在椭圆 2234xy上， C 在直线 2l y x： 上，且 AB l （ ）当 AB 边通过坐标原点 O 时，求 AB 的长及 ABC 的面积； （ ）当 90ABC，且斜边 AC 的长最大时，求 AB 所在直线的方程 解：（ ）因为 AB l ，且 AB 边通过点 (00)， ，所以 AB 所在直线的方程为 yx 设 AB， 两点坐标分别为1 1 2 2( ) ( )x y x y， ， ，由 2234xyyx ， 得 1x 所以122 2 2A B x x 又因为 AB 边上的高 h 等于原点到直线 l 的

2、距离所以 2h ， 1 22ABCS A B h （ ）设 AB 所在直线的方程为 y x m ， 由 2234xyy x m ， 得 224 6 3 4 0x m x m 因为 AB， 在椭圆上，所以 21 2 6 4 0m 设 AB， 两点坐标分别为1 1 2 2( ) ( )x y x y， ， ，则12 32mxx ， 212344mxx ， 所以 2123 2 622mA B x x 又因为 BC 的长等于点 (0 )m， 到直线 l 的距离，即 22mBC 所以 2 2 2 222 1 0 ( 1 ) 1 1A C A B B C m m m 所以当 1m 时， AC 边最长，（这

3、时 12 64 0 ） 此时 AB 所在直线的方程为 1yx 2.如图，椭圆 C ： 22 1 ( 0 )xy abab 的一个焦点为 F（ 1， 0），且过点 (20)， （）求椭圆 C 的方程； （）若 AB 为垂直于 x 轴的动弦，直线 l ： 4x 与 x 轴交 于点 N ，直线 AF 与 BN 交于点 M （ ）求证：点 M 恒在椭圆 C 上； （ ）求 AMN 面积的最大值 y x A B M F N l O 高考复习讲义 - 2 - （ ） 由题设 2a ， 1c ，从而 2 2 2 3b a c 所以椭圆 C 的方程为 22143xy （ ）（ ） 由题意得 (10)F ， ，

4、 (40)N ， ， 设 ()A m n， ，则 ( )( 0 )B m n n， ， 22143mn AF 与 BN 的方程分别为： ( 1 ) ( 1 ) 0n x m y ， ( 4 ) ( 4 ) 0n x m y 设00()M x y，则有 00( 1 ) ( 1 ) 0( 4 ) ( 4 ) 0n x m yn x m y ， ， 由 ， 得 0 5825mx m ，0 325ny m 由于 22 2200 ( 5 8 ) 34 3 4 ( 2 5 ) ( 2 5 )xy mnmm 22( 5 8 ) 34 ( 2 5 ) ( 2 5 )mnmm222(5 8 ) 1 24 ( 2

5、 5 )mnm222( 5 8 ) 3 6 94 ( 2 5 )mmm 1 所以点 M 恒在椭圆 C 上 （ ）设 AM 的方程为 1x ty，代入 22143xy得 22( 3 4 ) 6 9 0t y ty 设11()A x y，22()M x y，则有：12 2 634tyy t ，12 2 934yy t 221 2 1 2 1 2 24 3 3 3( ) 434ty y y y y yt 令 23 4 ( 4 )t ，则 22124 3 1 1 1 1 1 14 3 4 324yy ， 因为 4 ， 1104 ，所以当 114，即 4 ， 0t 时， 12yy有最大值 3 ，此时 A

6、M 过点 F AMN 的面积1 2 1 21322A M NS F N y y y y 有最大值 92 y x A B M F N O y x A B M F N O 高考复习讲义 - 3 - 3.设椭圆中心在坐标原点， A(2,0)、 B(0,1)是它的两个顶点，直线 y=kx(k0)与 AB 相交于点 D，与椭圆相 交 于 E、 F两点 . ( )若 ED =6DF ， 求 k 的值； )求四边形 AEBF 面积的最大值 。 22（ ）解：依题设得椭圆的方程为 2 2 14x y， 直线 AB EF， 的方程分别为 22xy， ( 0)y kx k 2 分 如图，设0 0 1 1 2 2(

7、 ) ( ) ( )D x k x E x k x F x k x， ， ， ， ，其中12xx， 且12xx，满足方程 22(1 4 ) 4kx， 故21 2214xx k 由 6ED DF 知0 1 2 06 ( )x x x x ，得0 2 1 2 21 5 1 0( 6 )777 1 4x x x x k ； 由 D 在 AB 上知0022x kx，得0 212x k 所以22 1 0127 1 4k k ， 化简得 22 4 2 5 6 0kk ， 解得 23k或 38k 6 分 （ ） 解 法 一 ： 根 据 点 到 直 线 的 距 离 公 式 和 式知，点 EF， 到 AB 的距

8、离分别为2111 222 2 (1 2 1 4 )5 5 (1 4 )x k x kkhk ， 2222 222 2 (1 2 1 4 )5 5 (1 4 )x k x kkhk 9 分 又 22 1 5AB ，所以四边形 AEBF 的面积为 121 ()2S A B h h21 4 (1 2 )52 5 (1 4 )kk 22(1 2 )14kk221 4 4214kkk22 当 21k ，即当 12k时，上式取等号所以 S 的最大值为 22 12 分 解法二：由题设， 1BO ， 2AO 设11y kx，22y kx，由 得2 0x ，210yy ， D F B y x A O E 高考复

9、习讲义 - 4 - 故四边形 AEBF 的面积为 B E F A E FS S S 222xy 9 分 222( 2 )xy 222 2 2 244x y x y 22( 4 )xy 22 当222xy时，上式取等号所以 S 的最大值为 22 12 分 4.已知曲线1 1 ( 0 )xyC a bab ：所围成的封闭图形的面积为 45，曲线1C的内切圆半径为 253记2C为以曲线1C与坐标轴的交点为顶点的椭圆 （ ）求椭圆2C的标准方程；（ ）设 AB 是过椭圆2C中心的任意弦， l 是 线段 AB 的垂直平分线 M 是 l 上异于椭圆中心的点 （ 1）若 MO OA （ O 为坐标原点），当

10、点 A 在椭圆2C上运动时，求点 M 的轨迹方程； （ 2）若 M 是 l 与椭圆2C的交点，求 AMB 的面积的最小值 22解：（ ）由题意得222 4 5253ababab ，又 0ab ， 解得 2 5a ， 2 4b 因此所求椭圆的标准方程为 22154xy （ ）（ 1）假设 AB 所在的直线斜率存在且不为零，设 AB 所在直线方程为 ( 0)y kx k， ()AAA x y， 解方程组 22154xyy kx ，得 222045Ax k ， 2222045Aky k ， 所以 222 222 2 22 0 2 0 2 0 ( 1 )4 5 4 5 4 5AAkkO A x y k

11、 k k 设 ()M x y， ，由题意知 ( 0 )M O O A， 所以 222M O O A ，即 22 2 222 0 (1 )45 kxy k ， 因为 l 是 AB 的垂直平分线， 高考复习讲义 - 5 - 所以直线 l 的方程为 1yxk，即 xky， 因此22 222 2 2 22 2222 0 12 0 ( )4545xy xyxyx yxy ， 又 220xy， 所以 2 2 25 4 2 0xy ， 故 22245xy 又当 0k 或不存在时，上式仍然成立 综上所述， M 的轨迹方程为 22 2 ( 0 )45xy （ 2）当 k 存在且 0k 时，由（ 1）得 2220

12、45Ax k ， 2222045Aky k ， 由221541xyyxk ，解得 2222054Mkx k ， 222054My k ， 所以 22 2222 0 (1 )45AAkO A x y k ， 22228 0 (1 )4 45 kA B O A k ， 2222 0 (1 )54kOM k 解法一：由于 222 14A M BS A B O M221 8 0 (1 ) 2 0 (1 )4 4 5 5 4kk 22224 0 0 (1 )( 4 5 )(5 4 )kkk222224 0 0 (1 )4 5 5 42kkk 222221 6 0 0 (1 ) 4 08 1 (1 ) 9

13、kk ， 当且仅当 224 5 5 4kk 时等号成立，即 1k 时等号成立，此时 AMB 面积的最小值是 409AMBS 当 0k ， 1 4 02 5 2 2 529A M BS 当 k 不存在时， 1 4 05 4 2 5A M BS 高考复习讲义 - 6 - 综上所述， AMB 的面积的最小值为 409 解法二：因为2 2 2 2221 1 1 12 0 ( 1 ) 2 0 ( 1 )4 5 5 4kkO A O M 2224 5 5 4 92 0 (1 ) 2 0kkk ， 又221 1 2O A O MO A O M ， 409O A O M ， 当且仅当 224 5 5 4kk

14、时等号成立，即 1k 时等号成立， 此时 AMB 面积的最小值是 409AMBS 当 0k ， 1 4 02 5 2 2 529A M BS 当 k 不存在时， 1 4 05 4 2 5A M BS 综上所述， AMB 的面积的最小值为 409 5.已知抛物线 C ： 22yx ，直线 2y kx交 C 于 AB， 两点， M 是线段 AB 的中点，过 M 作 x 轴的垂线交C 于点 N （）证明：抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行； （）是否存在实数 k 使 0NA NB ，若存在，求 k 的值；若不存在，说明理由 解法一：（）如图，设 211( 2 )A x x， 222( 2

15、)B x x，把 2y kx代入 22yx 得 22 2 0x kx ， 由韦达定理得122kxx，12 1xx， 1224NM xx kxx ， N 点的坐标为 248kk， 设抛物线在点 N 处的切线 l 的方程为 284kky m x ， 将 22yx 代入上式得 222048m k kx m x ， 直线 l 与抛物线 C 相切， 22 2 2 28 2 ( ) 048m k km m m k k m k ， mk即 l AB （）假设存在实数 k ，使 0NA NB ，则 NA NB ，又 M 是 AB 的中点， 1| | | |2M N A B 由（）知 1 2 1 2 1 21

16、1 1( ) ( 2 2 ) ( ) 4 2 2 2My y y k x k x k x x x A y 1 1 2 M N B O 高考复习讲义 - 7 - 221 422 2 4kk MN x 轴， 2 2 2 16| | | | 24 8 8MN k k kM N y y 又 2 2 21 2 1 2 1 2| | 1 | | 1 ( ) 4A B k x x k x x x x 22 2 211 4 ( 1 ) 1 1 622kk k k 2 221 6 1 1 1 684k kk ，解得 2k 即存在 2k ，使 0NA NB 解法二：（）如图，设 221 1 2 2( 2 ) (

17、2 )A x x B x x， ， ，把 2y kx代入 22yx 得 22 2 0x kx 由韦达定理得1 2 1 2 12kx x x x ， 1224NM xx kxx ， N 点的坐标为 248kk， 22yx ， 4yx， 抛物线在点 N 处的切线 l 的斜率为 44k k， l AB （）假设存在实数 k ，使 0NA NB 由（）知 22221 1 2 2224 8 4 8k k k kN A x x N B x x ， ， ，则 22221 2 1 2224 4 8 8k k k kN A N B x x x x 22221 2 1 244 4 1 6 1 6k k k kx

18、x x x 1 2 1 2144 4 4 4k k k kx x x x 221 2 1 2 1 2 1 21 4 ( )4 1 6 4k k kx x x x x x k x x 221 1 4 ( 1 )4 2 1 6 2 4k k k k kk 2 23131 6 4k k 0 ， 高考复习讲义 - 8 - 21016k ， 23304 k ，解得 2k 即存在 2k ，使 0NA NB 6.抛物线 2yx 和三个点0 0 0 0 0( , ) ( 0 , ) ( , )M x y P y N x y、 、20 0 0( , 0 )y x y，过 点 M 的 一条直线交 抛物线 于A 、

19、 B 两点， AP BP、 的延长线 分别交曲线 C 于 EF、 （ 1） 证明 E F N、 、 三点共线； （ 2） 如果 A 、 B 、 M 、 N 四点共线， 问： 是否存在0y， 使以线段 AB 为直径的圆与 抛物线 有异于 A 、 B 的交点 ？ 如果存在，求出0y的取值范围，并求出 该交点到 直线 AB 的距离；若不存在 ，请说明理由 22（ 1）证明：设 221 1 2 2( , ) ( , )A x x B x x、， ( , ) ( , )E E F FE x y B x y、则直线 AB 的方程： 22 212 1112xxy x x xxx 即：1 2 1 2()y x

20、 x x x x 因00( , )M x y在 AB 上，所以0 1 2 0 1 2()y x x x x x 又直线 AP 方程： 210 01xyy x yx 由210012xyy x yxxy 得： 2210 010xyx x yx 所以 221 0 0 01 21 1 1,E E Ex y y yx x x yx x x 同理， 200222,FFyyxyxx 所以直线 EF 的方程： 2012 01 2 1 2() yxxy y xx x x x yxPNOMAEBF高考复习讲义 - 9 - 令0xx得0 1 2 0 012 ( ) yy x x x yxx 将 代入上式得0yy，即

21、 N 点在直线 EF 上 所以 ,E F N 三点共线 （ 2）解：由已知 A B M N、 、 、 共线，所以 0 0 0 0, , ( , )A y y B y y以 AB 为直径的圆的方程： 2200x y y y 由 22 002x y y yxy 得 220 0 02 1 0y y y y y 所以0yy（舍去），0 1yy要使圆与 抛物线 有异于 ,AB的交点， 则0 10y 所以存在0 1y ，使以 AB 为直径的圆 与 抛物线 有异于 ,AB的交点 ,TTT x y则0 1Tyy，所以交点 T 到 AB 的距离为 0 0 0 11Ty y y y 7.如图，矩形 ABCD 的两

22、条对角线相交于点 (20)M ， ， AB 边所在直线的方程为 3 6 0xy 点 ( 11)T ， 在 AD 边所在直线上 （ I）求 AD 边所在直线的方程； （ II）求矩形 ABCD 外接圆的方程； （ III）若动圆 P 过点 ( 20)N ， ，且与矩形 ABCD 的外接圆外切，求动圆 P 的圆心的轨迹方程 解：（ I）因为 AB 边所在直线的方程为 3 6 0xy ，且 AD 与 AB 垂直，所以直线 AD 的斜率为 3 又因为点 ( 11)T ， 在直线 AD 上， 所以 AD 边所在直线的方程为 1 3( 1)yx 即 3 2 0xy （ II）由 3 6 03 2 = 0x

23、yxy ，解得点 A 的坐标为 (0 2)， ， 因为矩形 ABCD 两条对角线的交点为 (20)M ， 所以 M 为矩形 ABCD 外接圆的圆心 又 22( 2 0 ) ( 0 2 ) 2 2AM D T N O A B C M x y 高考复习讲义 - 10 - 从而矩形 ABCD 外接圆的方程为 22( 2 ) 8xy （ III）因为动圆 P 过点 N ，所以 PN 是该圆的半径，又因为动圆 P 与圆 M 外切， 所以 22P M P N， 即 22P M P N 故点 P 的轨迹是以 MN， 为焦点，实轴长为 22的双曲线的左支 因为实半轴长 2a ，半焦距 2c 所以虚半轴长 22

24、 2b c a 从而动圆 P 的圆心的轨迹方程为 22 1 ( 2 )22xy x 8.如图，已知 (10)F ， ，直线 :1lx ， P 为平面上的动点，过点 P 作 l 的垂线，垂足为点 Q ，且Q P Q F F P F Q （）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （）过点 F 的直线交轨迹 C 于 AB， 两点，交直线 l 于点 M （ 1）已知1MA AF，2MB BF，求12的值； （ 2）求 MA MB 的最小值 解法一：（）设点 ()P x y， ，则 ( 1 )Qy ， ，由 Q P Q F F P F Q 得： ( 1 0 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 )x y x

25、y y ， ， ， ，化 简得 2:4C y x （）（ 1）设直线 AB 的方程为： 1( 0 )x m y m 设11()A x y，22()B x y，又 21Mm， 联立方程组 2 41yxx my ，消去 x 得： 2 4 4 0y m y ， 2( 4 ) 1 2 0m ， 121244y y myy，由1MA AF，2MB BF得： 1 1 12yym ，2 2 22yym ，整理得： O y x 1 1 l F P B Q M F O A x y 高考复习讲义 - 11 - 1 121 my ，2 221 my ， 12122 1 12m y y 121222 yym y y

26、242 4mm 0 解法二：（）由 Q P Q F F P F Q 得： ( ) 0F Q P Q P F， ( ) ( ) 0P Q P F P Q P F ， 220P Q P F ， PQ PF 所以点 P 的轨迹 C 是抛物线，由题意，轨迹 C 的方程为： 2 4yx （）（ 1）由已知1MA AF，2MB BF，得120 则： 12M A A FM B B F 过点 AB， 分别作准线 l 的垂线，垂足分别为1A，1B， 则有： 11M A A A A FM B B B B F 由得： 12A F A FB F B F，即120 （）（ 2）解：由解法一， 22121 MMM A M

27、 B m y y y y 221 2 1 2(1 ) ( )MMm y y y y y y 2 224(1 ) 4 4mmmm 2 24(1 ) 4m m 高考复习讲义 - 12 - 2222114 ( 2 ) 4 2 2 1 6mmmm 当且仅当 221m m ，即 1m 时等号成立，所以 MA MB 最小值为 16 9.已知椭圆 C:2222byax =1(a b 0)的离心率为36,短轴一个端点到右焦点的距离为 3 . ( )求椭圆 C 的方程 ; ( )设直线 l 与椭圆 C 交于 A、 B 两点，坐标原点 O 到直线 l 的距离为23，求 AOB 面积的最大值 . 解：（）设椭圆的半

28、焦距为 c ，依题意 633caa ，1b， 所求椭圆方程为 2 2 13x y （）设11()A x y，22()B x y， （ 1）当 AB x 轴时， 3AB （ 2）当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y kx m 由已知2321mk ，得 223 ( 1)4mk 把 y kx m代入椭圆方程，整理得 2 2 2( 3 1 ) 6 3 3 0k x k m x m ， 12 2631kmxx k ， 212 23( 1)31mxx k 2 2221(1 ) ( )A B k x x 2 2 222 2 23 6 1 2 ( 1 )( 1 )( 3 1 ) 3 1k

29、m mkkk 2 2 2 2 22 2 2 21 2 ( 1 ) ( 3 1 ) 3 ( 1 ) ( 9 1 )( 3 1 ) ( 3 1 )k k m k kkk 242 221 2 1 2 1 23 3 ( 0 ) 3 419 6 1 2 3 696k kkk kk 高考复习讲义 - 13 - 当且仅当 2219k k ，即 33k 时等号成立 当 0k 时 ， 3AB ， 综上所述max 2AB 当 AB 最大时， AOB 面积取最大值m a x1 3 32 2 2S A B 07 天津 （ 22） （本小题满分 14 分） 设椭圆 22 1 ( 0 )xy abab 的左、右焦点分别为

30、12F F A， ，是椭圆上的一点，2 1 2AF F F，原点 O 到直线1AF的距离为113OF （ ）证明 2ab ；（ ）求 (0 )tb ， 使得下述命题成立：设圆 2 2 2xyt上任意点00()M x y，处的切线交椭圆于1Q，2Q两点，则12OQ OQ （ ）证法一：由题设2 1 2AF F F及1( 0)Fc ，2( 0)Fc，不妨设点 ()Ac y， ，其中 0y ，由于点 A 在椭圆上，有 221cyab， 2 2 2221a b yab ， 解得 2bya，从而得到 2bAca， 直线2AF的方程为 2 ()2by x cac，整理得 2220b x a c y b c

31、 由题设，原点 O 到直线1AF的距离为113OF，即 24 2 23 4c b cb a c ， 将 2 2 2c a b代入原式并化简得 222ab ，即 2ab 证法二：同证法一，得到点 A 的坐标为 2bca， 过点 O 作1OB AF，垂足为 H ，易知1 1 2F B C F F A ，故 211BO F AOF F A由椭圆定义得122A F A F a，又113BO OF，所以 A O 1F 2F H x y 高考复习讲义 - 14 - 2212132F A F AF A a F A ， 解得2 2aFA，而 22bFA a ，得 2 2baa ，即 2ab （ ）解法一：圆

32、2 2 2xyt上的任意点00()M x y，处的切线方程为 200x x y y t 当 (0 )tb ， 时，圆 2 2 2xyt上的任意点都在椭圆内，故此圆在点 A 处的切线必交椭圆于两个不同的点1Q和2Q，因此点1 1 1()Q x y，2 2 2()Q x y，的坐标是方程组 2002 2 222x x y y txyb 的解当0 0y 时，由 式得 200t x xyy 代入 式，得 22220022t x xxby，即 2 2 2 2 4 2 20 0 0 0( 2 ) 4 2 2 0x y x t x x t b y ， 于是 2012 220042txxxxy ， 4 2 2

33、012 2200222t b yxxxy2 201 1212t x x t x xyyyy 4 2 20 1 2 0 1 2201 ()t x t x x x x xy 2 4 2 24 2 200002 2 2 2 20 0 0 0 04 2 2122t x t b yt x t xy x y x y 4 2 20220022t b xxy 若12OQ OQ，则 4 2 2 4 2 2 4 2 2 20 0 0 01 2 1 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 02 2 2 3 2 ( ) 02 2 2t b y t b x t b x yx x y yx y x y x y 所以

34、， 4 2 2 2003 2 ( ) 0t b x y 由 2 2 200xyt，得 4 2 23 2 0t b t在区间 (0 )b， 内此方程的解为 63tb 当0 0y 时，必有0 0x ，同理求得在区间 (0 )b， 内的解为 63tb 另一方面，当 63tb时，可推出1 2 1 2 0x x y y，从而12OQ OQ 高考复习讲义 - 15 - 综上所述， 6 ( 0 )3t b b，使得所述命题成立 10.设1F、2F分别是椭圆 2 2 14x y的左、右焦点 （）若 P 是第一象限内该椭圆上的一点，且12 54PF PF ，求点 P 的作标； （）设过定点 (0,2)M 的直线

35、 l 与椭圆交于同的两点 A 、 B ，且 AOB 为锐角（其中 O 为作标原点），求直线 l 的斜率 k 的取值范围 （） 2a ， 1b ， 3c 1( 3,0)F ，2( 3,0)F设 ( , )Px y ( 0, 0)xy则 2212 5( 3 , ) ( 3 , ) 3 4P F P F x y x y x y ， 又 2 2 14x y， 联立22227414xyx y ，解得22113 34 2xxy y ， 3(1, )2P （）显然 0x 不满足题设条件可设 l 的方程为 2y kx，设11( , )A x y，22( , )B x y 联立 2 2 2 2 2 21 4 (

36、 2 ) 4 ( 1 4 ) 1 6 1 2 042x yx k x k x k xy k x 12 21214xx k ，12 21614kxx k 由 22(1 6 ) 4 (1 4 ) 1 2 0kk 221 6 3 (1 4 ) 0kk ， 24 3 0k ，得 2 34k 又 AOB 为锐角 c o s 0 0A O B O A O B ，1 2 1 2 0O A O B x x y y 又 21 2 1 2 1 2 1 2( 2 ) ( 2 ) 2 ( ) 4y y k x k x k x x k x x 1 2 1 2x x y y 2 1 2 1 2(1 ) 2 ( ) 4k

37、x x k x x 2 221 2 1 6( 1 ) 2 ( ) 41 4 1 4 kkkkk 2221 2 (1 ) 2 1 6 41 4 1 4k k kkk 224 (4 ) 014kk 21 44 k 综 可知 23 44 k， k 的取值范围是 33( 2 , ) ( , 2 )22 高考复习讲义 - 16 - 11.在平面直角坐标系 xOy 中，过定点 (0 )Cp， 作直线与抛物线 2 2x py （ 0p ）相交于 AB， 两点 （ I）若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点，求 ANB 面积的最小值； （ II）是否存在垂直于 y 轴的直线 l ，使得 l 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出 l 的方程；若不存在，说明理由 解法 1：（ ）依题意，点 N 的坐标为 (0 )Np， ，可设1 1 2 2( ) ( )A x y B x y， ， ， 直线 AB 的方程为 y kx p，与 2 2x py 联立得 2 2x pyy kx p ，消去 y 得 222 2 0x p k x p 由韦达定理得122x x pk， 212 2x x p 于是121 22A M N B C N A C NS S S p