小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型).doc
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1、4-2-3 任意四边形、 梯形与相似模型 题库 page 1 of 17 模型三 蝴蝶模型 ( 任意四边形 模型 ) 任意四边形中的比例关系 (“ 蝴蝶定理 ” ): S 4S 3S 2S 1ODCBA1 2 4 3:S S S S或者1 3 2 4S S S S 1 2 4 3:A O O C S S S S 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径 。 通过 构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系 ;另一方面, 也可以得到与面积对应的对角线的比例关系 。 【例 1】 (小数报竞赛活动试题 )如图,某公园的外 轮廓是四边形 ABCD,被对角线 A
2、C、 BD 分成四个部分, AOB 面积为 1 平方千米, BOC 面积为 2 平方千米 , COD 的面积为 3 平方千米,公园由陆地面积是6 92 平方千米和人工湖组成,求人工湖的面积是多少平方千米? ODCBA【分析】 根据蝴蝶定理求得 3 1 2 1 . 5A O DS 平方千米,公园四边形 ABCD 的面积是 1 2 3 1 .5 7 .5 平方千米,所以人工湖的面积是 7.5 6.92 0.58平方千米 【巩固】 如图,四边形被两条对角线分成 4 个三角形,其中三个三角形的面积已知, 求:三角形 BGC 的面积; :AG GC ? ABCDG 321【解析】 根据蝴蝶定理, 1 2
3、 3BGCS ,那么 6BGCS ; 根据蝴蝶定理, : 1 2 : 3 6 1 : 3A G G C (? ) 【例 2】 四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O (如图所示 )。 如果三角形 ABD 的面积等于三角形 BCD 的任意四边形、 梯形与相似模 型 4-2-3 任意四边形、 梯形与相似模型 题库 page 2 of 17 面积的 13,且 2AO , 3DO ,那么 CO 的长度是 DO 的长度的 _倍 。 AB CDOHGAB CDO【解析】 在本题中,四边形 ABCD 为任意四边形,对于这种 ” 不良四边形 ” ,无外乎两种处理方法:利用已知条件,向已有模型靠
4、拢,从而快速解决;通过画辅助线来改造不良四边形 。 看到题目中给出条件 : 1 : 3ABD BC DSS ,这可以向模型一蝴蝶定理靠拢,于是得出一种解法 。 又观察题目中给出的已知条 件是面积的关系,转化为边的关系,可以得到第二种解法,但是第二种解法需要一个中介来改造这个 ” 不良四边形 ” ,于是可以作 AH 垂直 BD 于 H , CG 垂直 BD 于 G ,面积比转化为高之比 。再应用结论:三角形高相同,则面积之比等 于底边之比,得出结果 。 请老师注意比较两种解法,使学生体会到蝴蝶定理的优势,从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题 。 解法一: : : 1 : 3A B D B D
5、 CA O O C S S, 2 3 6OC , : 6 : 3 2 : 1O C O D 解法二:作 AH BD 于 H , CG BD 于 G 13ABD BCDSS, 13AH CG, 13AOD DOCSS, 13AO CO, 2 3 6OC , : 6 : 3 2 : 1O C O D 【例 3】 如图,平行四边形 ABCD 的对角线交于 O 点, CEF 、 OEF 、 ODF 、 BOE 的面积依次是 2、4、 4 和 6。 求:求 OCF 的面积;求 GCE 的面积 。 OGFEDCBA【解析】 根据题意可知, BCD 的面积为 2 4 4 6 16 ,那么 BCO 和 CDO
6、 的面积都是 16 2 8 ,所以 OCF 的面积为 8 4 4 ; 由于 BCO 的面积为 8, BOE 的面积为 6,所以 OCE 的面积为 8 6 2 , 根据蝴蝶定理, : : 2 : 4 1 : 2C O E C O FE G F G S S , 所以 : : 1 : 2G C E G C FS S E G F G , 那么 1 1 221 2 3 3G C E C E FSS 【例 4】 图中的四边形土地的总面积是 52 公顷,两条对角线把它分成了 4 个小三角形,其中 2 个小三角形的面积分别是 6 公顷和 7 公顷 。 那么最大的一个 三角形的面积是多少公顷 ? 4-2-3 任
7、意四边形、 梯形与相似模型 题库 page 3 of 17 76 76EDCBA【解析】 在 ABE , CDE 中有 AEB CED ,所以 ABE , CDE 的面积比为 ()AE EB : ( )CE DE 。 同理有 ADE , BCE 的面积比为 ( ) : ( )A E D E B E E C。 所以有ABESCDES=ADESBCES,也就是说在所有凸四边形中,连接顶点得到 2 条对角线,有图形分成上、下、左、右 4 个部分,有:上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积 。 即 6ABES = 7ADES ,所以有 ABE 与 ADE 的面积比为 7:6 ,ABES= 7 39
8、 2167公顷,ADES= 6 39 1867公顷 。 显然,最大的三角形的面积为 21 公顷 。 【例 5】 (2008 年清华附中入学测试题 )如图相邻两个格点间的距离是 1,则图中阴影三角形 的面积为 。 CABDOCABD【解析】 连接 AD 、 CD 、 BC 。 则可根据格点面积公式,可以得到 ABC 的面积 为: 41 1 22 , ACD 的面积 为: 33 1 3.52 ,ABD 的面积为: 42 1 32 所以 : : 2 : 3 . 5 4 : 7A B C A C DB O O D S S ,所以 4 4 1 234 7 1 1 1 1A B O A B DSS 【巩固
9、】 如图,每个小方格的边长都是 1,求三角形 ABC 的面积 。 ABCDE【解析】 因为 : 2 : 5BD CE ,且 BD CE ,所以 : 2 : 5DA AC , 525ABCS , 5 1 0277D BCS 【例 6】 (2007 年人大附中考题 )如图,边长为 1 的正方形 ABCD 中, 2BE EC , CF FD ,求三角形 AEG的面积 4-2-3 任意四边形、 梯形与相似模型 题库 page 4 of 17 AB CDEFGAB CDEFG【解析】 连接 EF 因为 2BE EC , CF FD ,所以 1 1 1 1()2 3 2 1 2D E F A B C D
10、A B C DS S S 因为 12AED ABCDSS ,根据 蝴蝶 定理, 11: : 6 : 12 1 2A G G F , 所以 6 6 1 367 7 4 1 4A G D G D F A D F A B C D A B C DS S S S S 所以 1 3 2 2 2 1 4 7 7A G E A E D A G D A B C D A B C D A B C DS S S S S S , 即 三角形 AEG 的面积是 27 【例 7】 如图,长方形 ABCD 中, : 2 : 3BE EC , : 1 : 2DF FC ,三角形 DFG 的面积为 2 平方厘米,求长方形 ABC
11、D 的面积 AB CDEFGAB CDEFG【解析】 连接 AE , FE 因为 : 2 : 3BE EC , : 1 : 2DF FC ,所以 3 1 1 1()5 3 2 1 0D E F A B C D A B C DS S S 长 方 形 长 方 形 因为 12AED A B C DSS 长 方 形, 11: : 5 : 12 1 0A G G F ,所以 5 1 0A G D G D FSS平方厘米,所以 12AFDS 平方厘米因为 16AFD A B C DSS 长 方 形,所以长方形 ABCD 的面积是 72 平方厘米 【例 8】 如图,已知正方形 ABCD 的边长为 10 厘米
12、, E 为 AD 中点, F 为 CE 中点, G 为 BF 中点,求三角形 BDG 的面积 AB CDEFGOAB CDEFG【解析】 设 BD 与 CE 的交点为 O ,连接 BE 、 DF 由蝴蝶定理可知 :B E D B C DE O O C S S,而 14BED ABCDSS, 12BCD ABCDSS, 所以 : : 1 : 2B E D B C DE O O C S S,故 13EO EC 4-2-3 任意四边形、 梯形与相似模型 题库 page 5 of 17 由于 F 为 CE 中点, 所以 12EF EC,故 : 2 : 3EO EF , : 1: 2FO EO 由蝴蝶定
13、理可知 : : 1 : 2B F D B E DS S F O E O,所以 1128B F D B E D A B C DS S S, 那么 1 1 1 1 0 1 0 6 . 2 52 1 6 1 6B G D B F D A B C DS S S (平方厘米) 【例 9】 如图,在 ABC 中, 已知 M 、 N 分别在边 AC 、 BC 上, BM 与 AN 相交于 O ,若 AOM 、 ABO 和BON 的面积分别是 3、 2、 1,则 MNC 的面积是 NMOCBA【解析】 这道题给出的条件较少,需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解 根据蝴蝶定理得 3 1 322A O M B O N
14、M O N A O BSSS S 设MONSx ,根据共边定理我们可以得 ANM ABMMNC MBCS SSS , 33 322312x x ,解得 22.5x 【例 10】 (2009 年迎春杯初赛六年级 )正六边形1 2 3 4 5 6A A A A A A的面积是 2009 平方厘米,1 2 3 4 5 6B B B B B B分别是正六边形各边的中点;那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米 B 6B 5B 4B 3B 2B 1A 6A 5 A 4A 3A 2A 1OB6B 5B 4B 3B 2B 1A 6A 5 A 4A 3A 2A 1【解析】 如图,设62BA与13BA的交点为 O
15、,则图中空白部分由 6 个与23AOA一样大小的三角形组成,只要求出了23AOA的面积,就可以求出空白部分面积,进而求出阴影部分面积 连接63AA、61BB、63BA 设1 1 6ABB的面积为 ” 1“ ,则1 2 6B A B面积为 ” 1“ ,1 2 6AAB面积为 ” 2“ ,那么6 3 6AAB面积为1 2 6AAB的 2 倍,为 ” 4 “ ,梯形1 2 3 6AAAA的面积为 2 2 4 2 12 ,2 6 3ABA的面积为 ” 6 “ ,1 2 3BAA的面积为 2 根据蝴蝶定理,1 2 6 3 2 613 : 1 : 6B A B A A BB O A O S S ,故2 3
16、616A OAS ,1 2 3127B A AS , 所以23 1 2 3 612: : 1 2 : 1 : 77A O A A A A ASS 梯 形 ,即 23AOA 的面积为梯形 1 2 3 6AAAA 面积的 17 ,故为六边形1 2 3 4 5 6A A A A A A面积的 114,那么空白部分的面积为正六边形面积的 13614 7,所以阴影部分面积为4-2-3 任意四边形、 梯形与相似模型 题库 page 6 of 17 32 0 0 9 1 1 1 4 87 (平方厘米 ) 4-2-3 任意四边形、 梯形与相似模型 题库 page 7 of 17 板块 二 梯形模型的应 用 梯
17、形中比例关系 (“ 梯形蝴蝶定理 ” ): AB CDObaS 3S 2S 1S 4 2213:S S a b 221 3 2 4: : : : : :S S S S a b a b a b; S 的对应份数为 2ab 梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上 、 下底之间关系互相转 换的渠道,通过构造模型,直接应用结论,往往在题目中有事半功倍的效果 (具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明 ) 【例 11】 如图,2 2S ,3 4S,求梯形的面积 S 4S 3S 2S 1【解析】 设1S为 2a 份,3S为 2b 份,根据梯形蝴蝶定理, 23 4Sb,所以 2b ;又因
18、为2 2S a b ,所以1a ;那么 21 1Sa, 4 2S a b ,所以梯形面积 1 2 3 4 1 2 4 2 9S S S S S ,或者根据梯形蝴蝶定理, 221 2 9S a b 【巩固】 (2006 年南京智力数学冬令营 )如下图,梯形 ABCD 的 AB 平行于 CD ,对角线 AC , BD 交于 O ,已知 AOB 与 BOC 的面积分别为 25 平方厘米与 35 平方厘米,那么梯形 ABCD 的面积是 _平方厘米 3525OA BCD【解析】 根据梯形蝴蝶定理, 2: : 2 5 : 3 5A O B B O CS S a a b,可得 : 5:7ab ,再根据梯形蝴
19、蝶定理,2 2 2 2: : 5 : 7 2 5 : 4 9A O B D O CS S a b ,所以 49DOCS (平方厘米 )那么 梯形 ABCD 的面积为2 5 3 5 3 5 4 9 1 4 4 (平方厘米 ) 【例 12】 梯形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O ,已知梯形上底为 2,且三角形 ABO 的面积等于三角形 BOC 面积的 23,求三角形 AOD 与三角形 BOC 的面积之比 4-2-3 任意四边形、 梯形与相似模型 题库 page 8 of 17 OAB CD【解析】 根据梯形蝴蝶定理, 2: : 2 : 3A O B B O CS S a b b,可
20、以求出 : 2:3ab , 再根据梯形蝴蝶定理, 2 2 2 2: : 2 : 3 4 : 9A O D B O CS S a b 通过利用已有几何模型,我们轻松解决了这个问题,而没有像以前一样,为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设,所以,请同学们一定要牢记几何模型的结论 【例 13】 (第十届华杯赛 )如下图,四 边形 ABCD 中,对角线 AC 和 BD 交于 O 点,已知 1AO ,并且35ABDC B D 三 角 形 的 面 积三 角 形 的 面 积,那么 OC 的长是多少? ABCDO【解析】 根据蝴蝶定理, A B D A OC B D C O三 角 形 的 面 积三 角 形
21、的 面 积,所以 35AOCO,又 1AO ,所以 53CO 【例 14】 梯形的下底是上底的 1.5 倍,三角形 OBC 的面积是 29cm ,问三角形 AOD 的面积是多少? AB CDO【解析】 根据梯形蝴蝶定理, : 1 : 1 .5 2 : 3ab, 2 2 2 2: : 2 : 3 4 : 9A O D B O CS S a b , 所以 24 cmAODS 【巩固】 如图,梯形 ABCD 中, AOB 、 COD 的面积分别为 1.2 和 2.7 ,求梯形 ABCD 的面积 OD CBA【解析】 根据梯形蝴蝶定理, 22: : 4 : 9A O B A C O DS S a b,
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