2018年华侨港澳台联考数学真题答案.pdf

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1、1绝密启用前2018年中华人民共和国普通高等学校联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试数学一、选择题：本大题共12小题；每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知全集 1,2,3,4,5,6U ， 1,2,6A， 2,4,5B ，则 UC A B （A） 4,5（B） 1,2,3,4,5,6（C） 2,4,5（D） 3,4,5【点评】考查补集和交集的概念、集合的简单运算，属于简单题。【解析】补集就是剩余的元素，交集就是共同的元素，由已知得 3,4,5UC A，而 2,4,5B ，故 UC A B 4,5。【答案】A（2）要得到cosy x，则要将siny x

2、（A）向左平移个单位（B）向右平移个单位（C）向左平移2个单位（D）向右平移2个单位【点评】考查三角函数的平移、诱导公式，但要注意平移的次序，属于简单题。【解析】法一，平移前先利用诱导公式化成同名同符号，由cos sin 2y x x ，由博飞重点强调过的平移口诀：左加右减，得要将siny x向左平移2个单位。法二：博飞重点强调过的如果感觉化成同名三角函数有困难，则不同名的三角函数平移过程中，只需要把最大值（最高点）平移过去可以了，就像两座一样的山，只需山峰重叠就可以了，siny x在2x 有最大值，而cosy x在0x 有最大值，故2x 向左平移2个单位变成0x 。【答案】C（3）设1 32

3、 2z i ，则2z z 2（A）1（B）0（C）1（D）2【点评】考查复数的简单运算，属于简单题。【解析】直接套公式得 2 22 1 3 1 3 3 11 12 2 2 2 2 2z z z z i i i 。【答案】A（4）若函数 2 1f x ax 图像上点 1, 1f处的切线平行于直线2 1y x ，则a （A）1（B）0（C）14（D）1【点评】考查导数的应用，切线方程的求法，属于简单题。【解析】 2f x ax ，在点 1, 1f处的切线平行于直线2 1y x ，则 1 2 2f a ，故1a 。【答案】D（5）已知为第二象限的角，且3tan 4 ，则sin cos （A）75（B

4、）34（C）15（D）15【点评】考查同角三角函数值之间的关系，象限角的符号，属于简单题。【解析】法一：sin 3tan cos 4 ，带入2 2sin cos 1 ，由为第二象限的角，则正弦为正、余弦为负，得3 4sin ,cos5 5 ，则sin cos 15。法二：也可以利用博飞说的快速做此类题的方法，画个直角三角形，找出长度比（不用管正负号），然后利用象限角的符号，秒得3 4sin ,cos5 5 ，【答案】C（6）已知0a b ，则（A）12 2 ba （B）12 2 ba （C）2 2a b（D）2 2a b【点评】考查指数函数的性质，指数不等式，属于简单题。【解析】因为0a b

5、，则a b，又因为2xy 是递增函数，则12 2 2 ba b 。【答案】B（7）甲、乙、丙、丁、戊站成一排，甲不在两端的概率（A）45（B）35（C）25（D）15【点评】考查排列组合概率问题、有特殊要求的优先考虑，属于简单题。3【解析】法一，正面考虑，甲不在两端，还有3个位置，故44553 35Ap A .法二，反面考虑，总的减去在两端，故44552 31 5Ap A 。【答案】B（8）2( ) ln( 3 2)f x x x 的递增区间是（A） ,1（B）31,2 （C）3,2 （D） 2,【点评】考查复合函数的单调性，利用我们强调的口诀：同增异减，但要注意定义域，属于简单题。我们说过此

6、类型常考的就两种题型：二次函数复合指数函数，二次函数复合对数函数。【解析】先考虑定义域，2 3 2 0x x ，得2x 或1x，而lny t是增函数，只需要找2 3 2t x x 在定义域上的增区间，为 2,。【答案】D（9）已知椭圆2 22 2 1x ya b 过点34,5 和43, 5 ，则椭圆离心率e（A）2 65（B）65（C）15（D）25【点评】考查椭圆的性质，解方程，属于中档题。【解析】椭圆过点，则点满足椭圆方程，可得2 22 216 9 1259 16 125a ba b ，观察特点，解得22 251ab 。【答案】A（10）过抛物线2 2y x的焦点且与x轴垂直的直线与抛物线

7、交于M N、两点，O为坐标原点，则OM ON （A）34（B）14（C）14（D）34【点评】考查抛物线的性质，向量的运算，属于简单题。4【解析】2 2y x的焦点坐标是1,02 ，则垂直x轴的直线是12x ，带入2 2y x得1y ，故1 1 3,1 ,12 2 4OM ON 。【答案】D（11）若四面体棱长都相等，则相邻两侧面所成的二面角的余弦值为（A）14（B）13（C）12（D）23【点评】考查正四面体的性质，属于简单题。【解析】四面体棱长都相等就是正四面体，利用博飞总结的性质：如果正四面体的棱长是a，则其高是63 a，面上的高是32 a，易得正弦值为2 23，故余弦值为13。因此套博

8、飞的结论快速而准确。【答案】B（12）已知等比数列 na的前n项和为nS，4=1S，8=3S，则9 10 11 12a a a a （A）8（B）6（C）4（D）2【点评】考查等比数列的性质，属于简单题。【解析】法一，利用博飞强调的等比（等差）数列的分段和原理：等比（等差）数列的2 3 2, ,n n n n nS S S S S 依然是等比（等差）数列，经常练的题，显然9 10 11 12 12 8 4a a a a S S .法二，可以直接解方程，等比数列要做除法，8 48 44 1 1 31S q qS q ，故4 2q ，因此12 312 44 1 1 2 71 1 2S qS q ，

9、故12 7S ，所以9 10 11 12 12 8 4a a a a S S 。【答案】C二、填空题：本大题共6小题；每小题5分.（13）坐标原点关于直线6 0x y 的对称点的坐标为_.【点评】考查点关于直线的对称问题，博飞总结的常考的六种对称关系之一，属于简单题。【解析】设坐标原点关于直线6 0x y 的对称点的坐标为 ,a b，点关于直线对称就是利用5垂直平分，得1 16 02 2baa b ，解得66ab 。【答案】 6 6，（14）已知三棱锥O ABC的体积为1，1 1 1A B C、分别为OA OB OC、的中点，则三棱锥1 1 1O ABC的体积为_.【点评】考查立体几何中体积问

10、题，中位线，属于简单题。【解析】利用博飞总结的性质：中位线是边长的一半，面积之比是边长比的平方，体积之比是边长比的立方，秒得。【答案】18（15）多项式 3 41 1x x 中2x的系数为_.（用数字填写答案）【点评】考查二项式定理，最近四年必考题，属于简单题。【解析】2x的系数为两个式子中2x的系数相加，故为2 23 4 9C C .【答案】9（16）过点 2, 3,1且与平面3 5 0x y z 和2 3 0x y z 都垂直的平面方程为_.【点评】考查空间平面方程的求法，联考必考题，属于中档题。【解析】求平面方程的关键是找该平面的法向量，有两种方法，套上博飞总结的两种方法之一即得，平面垂

11、直就是其法向量垂直，法一：利用叉乘，所求平面的法向量 1 2 1, 1,3 1,2, 3 1, 2, 1n n n ，再套上平面的点法式方程得2 7 0x y z ；法二：待定系数法求法向量，设法向量 , ,n x y z，则 , , 1, 1,3 0, , 1,2, 3 0x y zx y z ，找其一组得1,2,1xyz ，再套上平面的点法式方程得2 7 0x y z 。【答案】2 7 0x y z （17）关于x的多项式3 2 1x x ax 被2x除的余式和被2x除的余式相等，则a 6_.【点评】考查多项式除法，余式定理，联考必考题，属于简单题。【解析】利用多项式除法中的余式定理，设

12、3 2 1f x x x ax ，则 2 2f f ，得4a 。【答案】4（18）长方体1 1 1 1ABCD ABC D，4AB AD ，1 8AA ，E F G、为1 1 1AB AB DD、的中点，H为1 1AD上一点，则1 1AH ，求异面直线FH与EG所成角的余弦值_.【点评】考查立体几何中异面直线所成的角，空间想象力，属于中档题。【解析】法一，平移到一个三角形中，求出三边，利用余弦定理，即得.法二，建立空间直角坐标系，用向量分别表示两条直线，套两向量的夹角公式，即得。【答案】4 515三、解答题：本大题共4小题；每小题15分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（19）（15分

13、）在ABC中，角A B C、对应边a b c、，外接圆半径为1，已知 2 22 sin sin sinA C a b B .（1）证明2 2 2a b c ab ；（2）求角C和边c.【点评】考查正弦定理、余弦定理、解三角形，属于简单题。第（1）默写正弦定理带入即得，第（2）问用第（1）问的结论即得，博飞平常练过很多遍的题型。【解析】（1）由正弦定理得2 2sin sin sina b c RA B C ，所以sin 2aA、sin 2bB 、sin 2cC ，带入 2 22 sin sin sinA C a b B ，得 2 22 4 4 2a c ba b ，化简得2 2 2a b c a

14、b 。（2）由（1）得2 2 2 1cos 2 2 2a b c abC ab ab ，故3C ，所以32sin 2 32c C 。（20）（15分）已知数列 na的前n项和为nS，1 2a ，0na ， 1 1 2n n na S S .（1）求nS；（2）求1 2 2 3 11 1 1n nS S S S S S .【点评】考查凑等差（或等比）数列，裂项法，属于中等题。博飞总结归纳过的题型，每次测试必出的题型。这类题属于na（或1na ）与nS关系式类型，看到此类题后，先看所求问题，就两种考法：若先求na，往下写一下作差，找na与1na 的关系；若先求nS，则把na（或1na ）7换掉，找

15、nS与1nS 的关系。显然此题第（1）问先求nS，说过的三步走，先用1 1n n na S S 换掉，然后整理，最后下结论。第（2）问考查博飞总结过的裂项法，联考经常考的就两种：一次式乘一次式型，根式加根式型，显然此问是加号，必然是根式加根式型，分母有理化，秒得。【解析】解（1）由 1 1 2n n na S S ，得 1 1 2n n n nS S S S ，即2 21 2n nS S ，故数列 2nS是等差数列，公差是2，首项是 22 21 1 2 2S a ，所以 2 2 2 1 2nS n n ，因此2nS n。（2）因为 11 1 2 122 2 1n n n nS S n n ，所

16、以 1 2 2 3 11 1 1 2 22 1 3 2 1 1 12 2n n n n nS S S S S S 。（21）（15分）双曲线2 2 112 4x y ，1 2F F、为其左右焦点，C是以2F为圆心且过原点的圆.（1）求C的轨迹方程；（2）动点P在C上运动，M满足1 2FM MP ，求M的轨迹方程.【点评】考查双曲线的性质，轨迹方程的求法，属于中等题。联考必考的圆锥曲线大题，博飞总结归纳过有两种题型：第一种是套我们的万用模板解决直线与圆锥曲线相交中的中点、长度、面积，过定点等问题（此种题型经常出），第二种是利用关联点关系求轨迹问题（隔三四年就会出一次，比如2014年、2010年，

17、考前预测2018年很可能考，果真如此）。第（1）问求圆的方程，只需找出圆心和半径即可写出。第（2）问利用向量相等，把两点的关系表示一下，可以相互表示，带入第（1）问即得，就是套用博飞总结的此类关联点方法模板。【解析】解（1）由已知得2 212, 4a b ，故2 2 4c a b ，所以 1 24,0 (4,0)F F、，因为C是以2F为圆心且过原点的圆，故圆心为 4,0，半径为4，所以C的轨迹方程为 2 24 16x y 。（2）设动点 ,M x y， 0 0,P x y，则 1 4,FM x y ， 0 0,MP x x y y ，由1 2FM MP ，得 0 04, 2 ,x y x x

18、 y y ，即 004 22x x xy y y ，解得00 3 4232xx yy ，8因为点P在C上，所以 2 20 04 16x y ，带入得2 23 4 34 162 2x y ，化简得2 24 643 9x y 。（22）（15分）1 2x x R、， 0 0f ，且 1 2 1 2 1 22 2f x f x f x x f x x .（1）求 0f；（2）求证 f x为偶函数；（3）若 0f ，求证 f x为周期函数.【点评】考查抽象函数的证明，看提示赋值，属于难题。此题前两问比较简单，第三稍微有些难度，但对好学生也不算难，没有博飞每次测试出的最后一道选择题抽象函数难。博飞总结过

19、的抽象函数证明，主要就是赋值和变换，第（1）问考查总结的抽象函数赋值法，如果题干中函数里面是加号，则利用0+0=0，都赋值为0，如果题干中函数里面是乘号，则利用1*1=1，都赋值为1，秒得。第（2）问证明奇函数或偶函数，就是找 f x与 f x的关系，并且用上第（1）的 0f值，显然要赋成相反数。第（3）问此类题的关键是看题干中给的值如何出现，然后两个值要相差，然后转化为博飞总结过的证明抽象函数周期性的两种题型之一，若 f x a f x 或 1f x a f x ，则 f x是2T a的周期函数，秒得。记得考完，有个学生出来说，用博飞总结的要点方法，高三上学期复习函数的时候就能搞定，太简单了

20、。【解析】解（1）由 1 2 1 2 1 22 2f x f x f x x f x x ，令1 2 0x x ，得 0 0 0 0f f f f ，解得 0 0f 或 0 2f ，因为 0 0f ，所以 0 2f 。（2）令1 2xx ，2 2xx ，得 0 2f x f x f f x f x ，即 f x f x ，故 f x为偶函数。（3）令1 2xx ，2 2xx ，得 2 0f x f x f x f ，故 2f x f x ，则 4 2f x f x ，所以 4f x f x ，因此 f x是以4为周期的周期函数。或1x x ，2x x，得 2 2 2 2 0f x f x f x f ，故 2 2 2f x f x ，即 2f t f t ，利用结论则2 2 4T 。