2011届广东省华附、省实、广雅三校广州一模后联合适应性考试数学理卷.doc

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1、2011届广东省华附、省实、广雅三校广州一模后联合适应性考试数学理卷 选择题 设集合 （ ） A B D C D 答案： D 任意 、 ，定义运算 ，则 的 A最小值为 B最小值为C最大值为 D最大值为 答案： B 袋内有 8个白球和 2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回 1个白球，则第 4次恰好取完所有红球的概率为 A 0.0324 B 0.0434 C 0.0528 D 0.0562 答案： B 在直三棱柱 中， ， . 已知与分别为 和 的中点，与分别为线段 和 上的动点（不包括端点） . 若 ，则线段 的长度的取值范围为 A B C D 答案： A 设 A1、 A2为椭圆 的左右

2、顶点，若在椭圆上存在异于 A1、A2的点 ，使得 ，其中 O 为坐标原点，则椭圆的离心率 的取值范围是 A B C D 答案： D 函数 的图象的大致形状是 （ ） 答案： D 下列命题不正确的是 A如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线，则两平面垂直； B如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面，则两平面平行； C如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直，则这两条直线垂直； D如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 答案： C 已知函数 ，若 ， ， ，则（ ） A B C D 答案： B 填空题 （坐标系与参数方程选做题）曲

3、线 C的极坐标方程 ，直角坐标系中的点 M的坐标为（ 0， 2）， P为曲线 C上任意一点，则 的最小值是 . 答案： （几何证明选讲选做题）如图，半径为 2的 O 中， ， 为的中点， 的延长线交 O 于点 ，则线段 的长为 _ 答案： 记集合 ， ，将 M中的元素按从大到小顺序排列，则第 2005个数是 . 答案： 设 O 点在 内部，且有 ，则 的面积与的面积的比为 . 答案： 若对一切 R，复数 的模不超过 2，则实数 的取值范围为 . 答案： 已知定义域为 的函数 满足 ， ，若 成等差数列，则 的值为 答案：或 3 若框图（图 1）所给程序运行的结果 ，那么判断框中可以填入的关于

4、的判断条件是 _ _ 答案： 解答题 （本小题 12分） 已知 （其中 ）的最小正周期为 . (1) 求 的单调递增区间 ; (2) 在 中 , 分别是角 的对边 ,已知 求角 . 答案：解 :(1) 2 分 4 分 故递增区间为 6 分 (2) 即 或 又 故 舍去， . 9 分 由 得 或 , 若 ,则 . 若 ,则 . 12 分 注意：没有说明 扣两分 （本小题满分 12分） 在甲、乙等 7个选手参加的一次演讲比赛中，采用抽签的方式随机确定每个选手的演出顺序（序号为 1,2,7 ），求： （ 1）甲、乙两个选手的演出序号至少有一个为奇数的概率； （ 2）甲、乙两选手之间的演讲选手个数 的

5、分布列与期望 . 答案：解： (1)设 表示 “甲、乙的演出序号至少有一个为奇数 ”，则 表示 “甲、乙的演出序号均为偶数 ”.由等可能性事件的概率计算公式得 .4 分 (2) 的可能取值为 ,5 分 8 分 从而 的分布列为 0 1 2 3 4 5 10 分 所以 , . 12 分 （本小题 14分） 如图 2,在四面体 中 , 且(1)设 为 的中点 ,证明 :在 上存在一点 ,使 ,并计算 的值 ; (2)求二面角 的平面角的余弦值 . 答案：解法一 :（ 1）在平面 内作 交 于 ，连接.1 分 又 ， ， 。 取 为 的中点，则 4 分 在等腰 中， ， 在 中， ， 4 分 在 中

6、， ， 5 分 8 分 （ 2）连接 ， 由 ， 知： . 又 ， 又由 ， . 又 , 又 是 的中点 , , , , 为二面角 的平面角 10 分 在等腰 中， ， 在 中， ， 在 中 , . 12 分 14 分 解法二：在平面 中 ,过点 ,作 交 于 ,取 为坐标原点，分别以 ， , 所在的直线为 轴， （本小题 14分） 在平面直角坐标系 xoy中，给定三点 ，点 P到直线 BC 的距离是该点到直线 AB， AC 距离的等比中项。 （ ）求点 P的轨迹方程； （ ）若直线 L经过 的内心（设为 D），且与 P点的轨迹恰好有 3个公共点，求 L的斜率 k的取值范围。 答案：解：（ ）

7、直线 AB、 AC、 BC 的方程依次为。点 到 AB、 AC、 BC 的距离依次为。依设，即，化简得点 P的轨迹方程为 圆 S： 5 分 （ ）由前知，点 P的轨迹包含两部分 圆 S： 与双曲线 T： 的内心 D也是适合题设条件的点，由 ，解得 ，且知它在圆 S上。直线 L经过 D，且与点 P的轨迹有 3个公共点，所以， L的斜率存在，设 L的方程为 （ i）当 k=0时， L与圆 S相切，有唯一的公共点 D；此时，直线 平行于 x轴，表明 L与双曲线有不同于 D的两个公共点，所以 L恰好与点 P的轨迹有 3个公共点。 8 分 （ ii）当 时， L与圆 S有两个不同的交点。这时， L与点

8、P的轨迹恰有 3个公共点只能有两种情况： 情况 1：直线 L经过点 B或点 C，此时 L的斜率 ，直线 L的方程为。代入方程 得 ，解得 。表明直线BD与曲线 T有 2个交点 B、 E；直线 CD与曲线 T有 2个交点 C、 F。 故当 时， L恰好与点 P的轨迹有 3个公共点。 11 分 情况 2：直线 L不经过点 B和 C（即 ），因为 L与 S有两个不同的交点，所以 L与双曲线 T有且只有一个公共点。即方程组 有且只有一组实数解，消去 y并化简得 该方程有唯一实数解的充要条件是 或 解方程 得 ，解方程 得 。 综合得直线 L的斜率 k的取值范围 。 14 分 （本小题 14分） 已知

9、是方程 的两个不等实根， 函数 的定义域为 。 （ ）求 ； （ ）证明：对于 ，若 。 答案：解 :（ ）设 则 又 故 在区间 上是增函数。 3 分 6 分 （ ）证：9 分 .15分 ，而均值不等式与柯西不等式中，等号不能同时成立， 14 分 （本小题 14分） （ I）已知数列 满足 ， 满足 ，求证： 。 （ II) 已知数列 满足： a =1 且 。设 m N ， m n 2，证明（ a + ） （ m-n+1） 答案：证明： （ I）记 ，则 。 2 分 而 。 4 分 因为 ，所以 。 5 分 从而有 。 又因为 ，所以 ， 即 。从而有 。 6 分 由（ 1）和（ 2）即得 。综合得到 。 左边不等式的等号成立当且仅当 n=1时成立。 7 分 （ II）不妨设 即 与比较系数得 c=1.即 又 ,故 是首项为 公比为 的等比数列， 故 10 分 这一问是数列、二项式定理及不等式证明的综合问题 .综合性较强 . 即证 ，当 m=n 时显然成立。易验证当且仅当 m=n=2 时，等号成立。 设 下面先研究其单调性 。当 n时， 12 分 即数列 是递减数列 .因为 n 2，故只须证 即证 。事实上， 故上不等式成立。综上，原不等式成立。 14 分