2010年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学试卷（理科）及答案解析.pdf

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1、姓名 座位号 （在此卷上答题无效） 绝密启用并使用完毕前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数 学（理科） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分考试用时 120 分钟 注意事项： 1答卷前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对 答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致务必在 答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位 2 答第 I 卷时， 每小题选出答案后， 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 3答第卷时，必须使用 0.5 毫

2、米黑色黑水签字笔在答题卡上 书写，要求字体工整、 笔迹清晰作图题可先用铅笔在答题卡 规定的位置绘出，确认后再用 0.5 毫米的黑 色签际笔描清楚必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案 无效 ，在试题卷 、草稿纸上答题无效 4考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交 参考公式： 如果事件 A 与 B 互斥，那么 )()()( BPAPBAP +=+ 如果 A 与 B 是两个任意事件， 0)( AP ，那 么 如果事件 A 与 B 相互独立，那么 )|()()( ABPAPABP = )()()( BPAPABP 第卷（选择题 共 50 分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分

3、，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 （ 1） i是虚数单位， = + i i 33 （ A） 12 3 4 1 （ B） i 12 3 4 1 （ C） i 6 3 2 1 + （ D） i 6 3 2 1 （ 2）若集合 2 1 log| 2 1 = xxA ，则 =AC R （ A） + , 2 2 0,( （ B） +, 2 2 （ C） + , 2 2 0,( （ D） +, 2 2 （ 3）设向量 ) 2 1 , 2 1 (),0,1( = ba ，则下列结论中正确的是 （ A） | ba = （ B） 2 2 =ba （ C） bba 与 垂直 （ D

4、） ba / （ 4）若 )(xf 是 R 上周期为 5 的奇函数，且满足 ,2)2(,1)1( = ff 则 )4()3( ff = （ A） -1 （ B） 1 （ C） -2 （ D） 2 （ 5）双曲线方程为 12 22 = yx ，则它的右焦点坐标为 （ A） )0, 2 2 ( （ B） )0, 2 5 ( （ C） )0, 2 6 ( （ D） )0,3( （ 6）设 0abc ，二次函数 cbxaxxf += 2 )( 的图象可能是 （ 7）设曲线 C 的参数方程为 += += sin31 cos32 y x （ 为参数） ， 直线 l的方程为 023 =+ yx ，则曲线 C

5、 到直线 l的距 离为 10 107 的点的个数为 （ A） 1 （ B） 2 （ C） 3 （ D） 4 （ 8）一个几何全体的三视图如图，该几何体的表面积为 （ A） 280 （ B） 292 （ C） 360 （ D） 372 （ 9）动点 ),( yxA 在圆 1 22 =+ yx 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转， 12 秒旋转一周 . 已知定时 t=0 时，点 A 的坐标是 ) 2 3 , 2 1 ( ，则当 120 t 时，动点 A 的纵坐标 y 关于 t（单位：秒）的函数的单调递增区间是 （ A） 0， 1 （ B） 1， 7 （ C） 7， 12 （ D） 0， 1和 7，

6、12、 （ 10）设 n a 是任意等比数列，它的前 n 项和，前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X， Y， Z， 则下列等式中恒成立的是 （ A） YZX 2=+ （ B） )()( XZZXYY = （ C） XZY = 2 （ D） )()( XZXXYY = （在此卷上答题无效） 绝密启用并使用完毕前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数 学（理科） 第卷（非选择题 共 100 分） 考生注意事项： 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 作答，在试题卷上答题无效 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡的相应位置 （ 11）命题“对任

7、何 3|4|2|, + xxRx ”的否定是 （ 12） 6 x y y x 的展开式中， 3 x 的系数等于 （ 13） 设 yx, 满足约束条件 + ,0,0 ,048 ,022 yx yx yx 若目标函数 )0,0( += bayabxz 的最大值 为 8，则 ba+ 的最小值为 （ 14）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值 =x （ 15）甲罐中有 5 个红球， 2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 4 个红 球， 3 个白球和 3 个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐， 分别以 A 1 ， A 2 和 A 3 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球 的事件；再从乙罐中随机取出一

8、球，以 B 表示由乙罐取出的球 是红球的事件，则下列结论中正确的是 （写出所有正确结 论的编号） 5 2 )( 1 =BP ； 11 5 )|( 1 =ABP ； 事件 B 与事件 A 1 相互独立； A 1 ， A 2 ， A 3 是两两互斥的事件； )(BP 的值不能确定，因为它与 A 1 ， A 2 ， A 3 中究竟哪一个发生有关 三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解 答写在答题卡上的指定区域内 （ 16） （本小题满分 12 分） 设 ABC 是锐角三角形， cba , 分别是内角 A ， B ， C 所对边长，并且 .sin) 3 sin(

9、) 3 sin(sin 22 BBBA += （）求角 A 的值； （）若 72,12 = aACAB ，求 cb, （其中 cb xa 且 时， .12 2 + axxe x （ 18） （本小题满分 13 分） 如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形， EF/AB， EF FB， AB=2EF， ,90=BFC BF=FC， H 为 BC 的中点 . （ I）求证： FH/平面 EDB； （ II）求证： AC平面 EDB； （ III）求二面角 B DE C 的大小 . （ 19） （本小题满分 13 分） 已知椭圆 E 经过点 A（ 2， 3） ，对称轴为坐标轴，

10、焦点 F 1 ， F 2 在 x 轴上，离心率 . 2 1 =e （ I）求椭圆 E 的方程； （ II）求 21 AFF 的角平分线所在直线 l的方程； （ III）在椭圆 E 上是否存在关于直线 l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在， 说明理由 . （ 20） （本小题满分 12 分） 设数列 , 21 Laa L, n a 中的每一项都不为 0. 证明， n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何 Nn ，都有 . 111 1113221 + =+ nnn aa n aaaaaa L （ 21） （本小题满分 13 分） 品酒师需要定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如

11、下：拿出 n 瓶外 观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其 记忆淡忘之后，再让其品尝这 n 瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试 . 根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分 . 现设 n=4，分别以 4321 , aaaa 表示第一次排序时被排为 1， 2， 3， 4 的四种酒在第二 次排序时的序号，并令 .|4|3|2|1| 4321 aaaaX += 则 X 是对两次排序的偏离程度的一种描述 . （ I）写出 X 的可能值集合； （ II）假设 4321 , aaaa 等可能地为 1， 2， 3， 4 的各种排列，求 X 的分布列

12、； （ III）某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有 2X ， （ i）试按（ II）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立） ； （ ii）你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由 . 参考答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 （ 1） B （ 2） A （ 3） C （ 4） A （ 5） C （ 6） D （ 7） B （ 8） C （ 9） D （ 10） D 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡的相应位置 （ 11）存在 ,-2-4|3xxxR 使得| |+| （

13、12） 15（若只写 24 66 CC或 ，也可） （ 13） 4 （ 14） 12 （ 15） 三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解 答写在答题卡上的指定区域内 （ 16） （本小题满分 12 分） 本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，特殊角的三角函数值，向量的 数量积，利用余弦定理解三角形等有关知识，考查综合运算求解能力 . 解： （ I）因为 2 2 31 31 sin ( cos sin )( cos sin ) sin 2222 ABBBBB=+ + 222 31 3 cos sin sin , 44 4 3 sin , , .

14、 23 BBB AA A =+= = =所以 又 为锐角 所以 （ II）由 12AB AC= uuur uuur 可得 cos 12.cb A= 由（ I）知 , 3 A = 所以 24cb = 由余弦定理知 222 2cos, 27acb cbAa=+= =将 及代入，得 + 2，得 ( ) 100cb 2 +=，所以 10.cb+= 因此， c， b 是一元二次方程 2 10 24 0tt +=的两个根 . 解此方程并由 6, 4.cbc b=知 （ 17） （本小题满分 12 分） 本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等 式，考查运算能力、综合分析和

15、解决问题的能力 . （ I）解：由 () 2 2, () 2, . xx fx e x ax f x e x=+ = RR知 令 () 0, ln2. , (), ()f xx x fxfx=得 于是当 变化时 的变化情况如下表： x (,ln2) ln 2 (ln 2, )+ ()f x 0 + ()f x 单调递减 2(1 ln 2 )a + 单调递增 故 ()f x 的单调递减区间是 (,ln2) ，单调递增区间是 (ln 2, )+ ， () ln2fx x=在 处取得极小值， 极小值为 ln 2 (ln2) 2ln2 2 2(1 ln2 ).f eaa= +=+ （ II）证：设 2

16、 () 2 1, , x gx e x ax x=+ R 于是 () 2 2, . x gx e x ax =+ R 由（ I）知当 ln 2 1 , ( ) (ln 2) 2(1 ln 2 ) 0.agxg a =+时 最小值为 ,()0,()xgxgx RR于是对任意 都有 所以 在 内单调递增, 于是当 ln 2 1 , (0, ), ( ) (0),ax g + 时 对任意 都有 而 (0) 0, (0, ), ( ) 0.gxgx=+从而对任意 即 22 210, 21. xx e x ax e x ax+ +故 （ 18） （本小题满分 13 分） 本题考查空间线面平行、线面垂直、

17、面面垂直的判断与证明，考查二面角的求法以及利 用向量知识解决几何问题的能力，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力 . 综合法 （ 1）证：设 AC 与 BD 交于点 G，则 G 为 AC 的中点，连 EG， GH， 又 H 为 BC 的中点， 11 / , / , / . 22 GH AB EF AB EF GH 又 四边形 EFHG 为平行四边形， EG/FH，而 EG平面 EDB， FH/平面 EDB. （ II）证：由四边形 ABCD 为正方形，有 AB BC，又 EF/AB， EF BC. 而 EF FB， EF平面 BFC， EF FH， AB FH. 又 BF=FC， H

18、为 BC 的中点， FH BC. FH平面 ABCD， FH AC， 又 FH/BC， AC=EG. 又 AC BD， EGBD=G， AG平面 EDB. （ III）解： EF FB， BFC=90， BF平面 CDEF， 在平面 CDEF 内过点 F 作 FK DE 交 DE 的延长线于 K， 则 FKB 为二面角 B DE C 的一个平面角 . 设 EF=1，则 AB=2， FC= 2 ， DE= 3 又 EF/DC， KEF= EDC， sin EDC=sin KEF= 2 . 3 FK=EFsin KEF= 2 3 ， tan FKB= 3, BF FK = FKB=60 二面角 B

19、 DE C 为 60 . 向量法 四边形 ABCD 为正方形， AB BC，又 EF/AB， EF BC. 又 EF FB， EF平面 BFC. EF FH， AB FH. 又 BF=FC， H 为 BC 的中点， FH BC， FH平面 ABC. 以 H 为坐标原点， HB x uuur 为 轴正向， HF z uuur 为 轴正向， 建立如图所示坐标系 . 设 BH=1，则 A（ 1， 2， 0） ， B（ 1， 0， 0） ， C（ 1， 0， 0） ， D（ 1， 2， 0） ， E（ 0， 1， 1） ， F（ 0， 0， 1） . （ I）证：设 AC 与 BD 的交点为 G，连

20、GE， GH， 则 (0, 1,0), (0,0,1), (0,0,1) / / .GCE HF HFGE= = uuur uuur uuur uuur 又 GE 平面 EDB， HF 不在平面 EDB 内， FH平面 EBD， （ II）证： ( 2, 2,0), (0,0,1), 0, .ACGEACGEACGE= = = uuur uuur uuur uuur 又 AC BD， EG BD=G， AC平面 EDB. （ III）解： (1,1,1), (2,2,0).BE BD= = uuur uuur 设平面 BDE 的法向量为 111 (1, , ),nyz= 则 111 1 1 1

21、0,120,BE n y z BD n y=+= = = uuur uuur 11 1 2222 2 2 12 12 12 12 1, 0, (1, 1, 0). (0,2,0), (1,1,1), (1, , ), 0, 0, (1, 0, 1), 11 cos , , | 2 22 ,60, yz n CD CE CDE y z CD y = = = = = = = = = = = = = nn n nn nn nn nn o uuur uuur uuur 即 设平面 的法向量为 则 故 即二面角 B DE C 为 60 . （ 19） （本小题满分 13 分） 本题考查椭圆的定义及标准方

22、程， 椭圆的简单几何性质， 直线的点斜式方程与一般方程， 点到直线的距离公式，点关于直线的对称等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合 运算能力、探究意识与创新意识 . 解： （ I）设椭圆 E 的方程为 22 22 1 xy ab + = 222 2 22 22 11 ,2, 3, 22 1. 43 c eacbace a xy ce = = += 由即 得 椭圆方程具有形式 将 A（ 2， 3）代入上式，得 22 13 1, 2,c cc + =解得 椭圆 E 的方程为 22 1. 16 12 xy += （ II）解法 1：由（ I）知 12 (2,0), (2,0)FF ，所以 直线

23、AF 1 的方程为： 3 (2),3460, 4 yx xy=+ +=即 直线 AF 2 的方程为： 2.x = 由点 A 在椭圆 E 上的位置知，直线 l 的斜率为正数 . 设 (, )Pxy l为 上任一点，则 |3 4 6| |2|. 5 xy x + = 若 346510, 280 xy x xy+= +=得 （因其斜率为负，舍去） . 所以直线 l 的方程为： 210.xy= 解法 2： 12 1 2 12 12 1 (2,3), ( 2,0), (2,0), ( 4, 3), (0, 3). 11 4 (4,3) (0,3) (1,2). 53 5 | 2, : 3 2( 1),

24、2 1 0. AF F AF AF AF AF AF AF kly x xy = +=+= = = = uuur uuuur Q uuur uuuur uuur uuuur 即 （ III）解法 1： 假设存在这样的两个不同的点 11 2 2 (, ) (, ),B xy Cxy和 21 21 12 12 00 0 0 1 ,. 2 (, ), , , 22 BC yy BC l k xx x xyy BC M x y x y = = + = Q 设 的中点为 则 由于 M 在 l 上，故 00 210.xy+= 又 B， C 在椭圆上，所以有 22 22 11 22 11. 16 12 16

25、 12 xy xy + =+=与 两式相减，得 22 22 21 21 0, 16 12 xx yy += 即 1221 1221 ()()( )() 0. 16 12 xxxx yyyy+ + += 将该式写为 12 21 12 21 11 0 82 62 xx yy yy xx + + += ， 并将直线 BC 的斜率 BC k 和线段 BC 的中点，表示代入该表达式中， 得 00 00 11 0, 3 2 0. 812 xy xy= =即 2得 20 2, 3xy=，即 BC 的中点为点 A，而这是不可能的 . 不存在满足题设条件的点 B 和 C. 解法 2： 假设存在 11 2 2 (

26、, ),(, )Bx y Cx y l两点关于直线 对称 ， 则 1 ,. 2 BC lBCk= 22 1 ,1, 21612 xy BC y x m= + + =设直线 的方程为 将其代入椭圆方程 得一元二次方程 2222 1 34( )48, 120, 2 xxm xmxm+ + = + =即 则 12 x x与 是该方程的两个根， 由韦达定理得 12 ,x xm+= 于是 12 12 13 ()2 , 22 m yy xx m+= += B， C 的中点坐标为 3 (, ). 24 mm 又线段 BC 的中点在直线 3 21, 1, 4. 4 m yx m m= =上得 即 B， C 的

27、中点坐标为（ 2， 3） ，与点 A 重合，矛盾 . 不存在满足题设条件的相异两点 . （ 20） （本小题满分 12 分） 本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能 力 . 证：先证必要性 设数列 , 0, n add=的公差为 若 则所述等式显然成立， 若 0d ，则 12 23 1 32 121 12 23 3 12 23 1 11 11 11 11 1 1 () 11 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 11 1 1 () nn nn nn nn n nn aa aa aa aa a aaa daa aa aa da a a a a a aa

28、da a daa + + + + + + + =+ =+ = L L L 11 . n n aa + = 再证充分性 . 证法 1： （数学归纳法）设所述的等式对一切 n + N 都成立，首先，在等式 12 23 13 112 aa aa aa += 两端同乘 123 1 3 2 1 2 3 ,2,aaa a a a a a a+=即得 所以 成等差数列， 记公差为 21 ,.daad=+则 假设 1 (1), 1 k aakdnk=+ =+当 时，观察如下二等式 12 23 1 12 11 1 1 , kk k aa aa a a aa + =L 12 23 1 1 1 1 11 1 1 k

29、k kk k k aa aa a a aa aa + + + =L ， 将代入，得 111 11 , kkk k aa aa aa + += 在该式两端同乘 11 111 ,(1) . kk k aaa k a a ka + +=得 将 (1) , , . kk aakd a akd + =+ =+代入其中 整理后 得 由数学归纳法原理知，对一切 1 (1), n naand + =+N 都有 所以 n ad是公差为 的等差数列 . 证法 2： 直接证法 依题意有 12 23 1 1 1 11 1 , nn n n aa aa aa aa + + =L 12 23 1 1 2 1 2 11 1

30、 1 1 . nn n n n n aa aa aa a a aa + + + + + =L 得 12 12 11 11 nn n n nn a a aa aa + + + + =， 在上式两端同乘 112 1 1 1 ,(1) , nn n n aa a a n a na + + + = +得 同理可得 11 (1) , nn ana n a + = 得 12 2() nnn na n a a + =+ 即 21 1 , nnnn n aaaa a + =所以 是等差数列， （ 21） （本小题满分 13 分） 本题考查离散型随机变量及其分布列，考查在复杂场合下进行计数的能力，能过设置密 切

31、贴近生产、生活实际的问题情境，考查概率思想在现实生活中的应用，考查抽象概括 能力、应用与创新意识 . 解： （ I） X 的可能值集合为 0， 2， 4， 6， 8. 在 1， 2， 3， 4 中奇数与偶数各有两个，所以 23 ,aa中的奇数个数等于 13 ,aa中的偶数个 数，因此 13 3 4 |1 | |3 | |2 | |4 |aa aa+ +与 的奇偶性相同， 从而 23 24 (|1 | | 3 |) (| 2 | | 4 |)X aa aa=+ + 必为偶数 . X 的值非负，且易知其值不大于 8. 容易举出使得 X 的值等于 0， 2， 4， 6， 8 各值的排列的例子 . （

32、 II）可用列表或树状图列出 1， 2， 3， 4 的一共 24 种排列，计算每种排列下的 X 值， 在等可能的假定下，得到 X 0 2 4 6 8 P 1 24 3 24 7 24 9 24 4 24 （ III）（ i） 首先 41 (2)(0)(2) 24 6 PX PX PX= =+ = =， 将三轮测试都有 2X 的 概率记做 p，由上述结果和独立性假设，得 3 11 . 2166 p = （ ii）由于 15 216 1000 p = 是一个很小的概率，这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试 都有 2X 的结果的可能性很小，所以我们认为该品酒师确实有良好的味觉鉴别功能， 不是靠随机猜测 .