2010年四川省高考数学（文史类）试卷及答案解析.pdf

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1、第 1 页共 13 页 2010 年四川省高考数学（文史类）试题 第卷 本试卷共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 一、选择题 1、设集合 3, 5, 6,8A= ,集合 4,5,7,8B = ,则 ABI 等于（ ） （A） 3, 4, 5, 6, 7, 8 (B) 3, 6 (C) 4,7 （D） 5,8 2、函数 2 logy x= 的图象大致是（ ） （A） (B) (C) (D) 3、抛物线 2 8y x= 的焦点到准线的距离是（ ） （A）1 (B) 2 (C) 4 (D) 8 4、一个单位有职工 800 人，其中

2、具有高级职称的 160 人，具有中级职称的 320 人，具有初级职 称的 200 人，其余人员 120 人。为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为 40 的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别是（ ） （A）12,24,15,9 (B)9,12,12,7 (C)8,15,12,5 (D)8 ,16,10,6 5、函数 2 () 1f xxmx=+的图象关于直线 1x= 对称的充要条件是（ ） （A） 2m= （B） 2m= （C） 1m= （D） 1m= 6、设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外， 2 16,BCABACABAC=+= uuur uuu

3、r uuur uuur uuur ,则 AM = uuuur ( ) (A) 8 (B) 4 (C) 2 (D) 1 7、将函数 sinyx= 的图象上所有的点向右平行移动 10 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸 长到原来的 2 倍（纵坐标不变）所得图象的解析式是（ ） （A） sin(2 ) 10 yx = （B） sin(2 ) 5 yx = （C） 1 sin( ) 210 yx = （D） 1 sin( ) 220 yx = 8、某工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品，由乙车间加工出 B 产品。甲车间加工一箱原料需 耗费工时 10 小时可加工出 7 千克 A 产品，每千克 A 产品获

4、利 40 元；乙车间加工一箱原料需耗费工 时 6 小时可加工出 4 千克 B 产品，每千克 B 产品获利 50 元。甲、乙两车间每天共能完成至多 70 箱 第 2 页共 13 页 原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过 480 小时，甲、乙两车间每天总获利最大的 生产计划为（ ） （A）甲车间加工原料 10 箱，乙车间加工原料 60 箱； （B）甲车间加工原料 15 箱，乙车间加工原料 55 箱； (C) 甲车间加工原料 18 箱，乙车间加工原料 50 箱； (D) 甲车间加工原料 40 箱，乙车间加工原料 30 箱； 9、由 1,2,3,4,5,组成没有重复数字且 1、2 都不与

5、5 相邻的五位数的个数是（ ） （A）36 (B) 32 (C)28 (D)24 10、椭圆 22 22 1( 0) xy ab ab +=的右焦点为 F,其右准线与 x 轴交点为 A，在椭圆上存在点 P 满 足线段 AP 的垂直平分线过点 F,则椭圆离心率的取值范围是（ ） （A） 2 (0, 2 (B) 1 (0, 2 (C)2 1,1) (D) 1 ,1) 2 11、设 0ab，则 2 11 () a ab a a b + 的最小值是（ ） （A）1 (B) 2 (C)3 (D) 4 12、半径为 R 的球 O的直径 AB 垂直于平面 ，垂足为 B， BCD 是平面 内边长为 R 的正三

6、 角形，线段 AC、AD 分别与球面交于点 M、N，那么 M、N 两点间的球面距离是（ ） （A） 17 arccos 25 R （B） 18 arccos 25 R (C) 1 3 R (D) 4 15 R 第卷 本卷共 10 小题，共 90 分 二、填空题 ：本大题共 4 小题，共 16 分， 把答案填在题中横线上。 13、 4 2 ()x x 的展开式中的常数项为 （用数字作答） 14、直线 250 xy+=与圆 22 8xy+=相交于 A、B 两点，则 AB = 15、二面角 l 的大小是 60， ,AB B l，AB 与 l所成的角为 30，则 AB 与平面 所成角的正弦值是 16、

7、设 S 为复数集 C 的非空子集，若对任意 的 ,x yS ,都有 ,x yx yxy S+ ,则称 S 为封闭集，下列命题： 集合 3,Sabab=+ 为整数 为封闭集； 若 S 为封闭集，则一定有 0 S ； 封闭集一定是无限集； 若 S 为封闭集，则满足 STR的任意集合 T 也是封闭集。 第 3 页共 13 页 其中真命题是 （写出所有真命题的序号） 三、解答题 ：本大题共 6 个小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17、(本小题满分 12 分)某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样， 购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶：字样即为中奖，中奖

8、概率为 1 6 ，甲、乙、丙三位同学每人购 买了一瓶该饮料， （）求三位同学都没的中奖的概率； （）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率。 18、(本小题满分 12 分)已知正方体 ABCD A B C D 中，点 M 是棱 AA 的中点，点 O是对 角线 BD 的中点， （）求证：OM 为异面直线 AA 与 BD 的公垂线； （）求二面角 M BC B 的大小； 第 4 页共 13 页 19、(本小题满分 12 分) ()证明两角和的余弦公式 () : cos( ) cos cos sin sinC + + =； 由 () C + 推导两角和的正弦公式 () : sin( ) sin cos

9、 cos sinS + + =+。 （）已知 4 cos 5 = ， 3 (, ) 2 ， 1 tan , ( , ) 32 = 求 cos( ) + 。 第 5 页共 13 页 20、 （本小题满分 12 分）已知等差数列 n a 的前 3 项和为 6,前 8 项和为4. （）求数列 n a 的通项公式； （）设 1 (4 ) ( 0, ) n nn baqqnN = ，求数列 n b 的前 n 项和 n S 。 第 6 页共 13 页 21、(本小题满分 12 分)已知定点 ( 1,0), (2,0)AF ,定直线 1 : 2 lx= ，不在 x轴上的动点 P 与点 F 的距离是它到直线

10、l的距离的 2 倍，设点 P 的轨迹为 E，过点 F 的直线交 E 于 B、C 两点，直线 AB、 AC 分别交 l于点 M、N. ()求 E 的方程； （） 试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F,并说明理由。 第 7 页共 13 页 22、(本小题满分 14 分)设 1 () ( 0, 1), () 1 x x a f xaagx a + = 且 是 ()f x 的反函数， （）求 ()gx （）当 2,6x 时，恒有 2 () log (1)(7) a t gx x x 成立，求 t的取值范围。 （）当 1 0 2 a时，试比较 (1) (2) ( )f ffn+ +L 与 4n+

11、的大小，并说明理由。 第 8 页共 13 页 2010 年四川省高考数学（文史类）试题 参 考 解 答 一、选择题：本题考查基本概念和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C C D A C C B A D D A 11、解析：由 2 11 () da ab a a b =+ 22 112()2 2 22 ( ) aa ab b ab a a b a a = + + + 22 6 112()2 62 22 ( ) aa ab b ab a a b a a = 624=，当且仅当 22ab=时，取等 号 12、解析：先求

12、2 tan 2, 5 AB R BAC AC R BC R = =,所以 25 cos 5 BAC=,由余弦定理 得 22 2 25 2 5 RRAM RAM=+ , 得 25 45 2 55 AM R R= = ，由相似三角形得 4 5 AM MN MNR AC R =,则球心角余弦值为 22 2 4 () 17 5 cos 22 25 RR R MON R + = = , 故有 null 17 arccos 25 MN r= 二、填空题 ：本题考查基础知识和基本运算，每小题 4 分，满分 16 分。 13、24 14、 23 15、 3 4 (16) 三、解答题： 17、解析 ： （）设甲

13、、乙、丙中奖的事件分别为 A、B、C,那么 1 () () () 6 PA PB PC= =, 3 5 125 ( ) ()()() () 6 216 PABC PAPBPC = = = . 答：三位同学都没有中奖的概率是 125 216 。 （6 分） （） 23 151 25 1 ( ) ) 13() () 666 27 PABC ABC ABC ABC + + = = 答：三位同学中至少有两位没有中奖的概率为 25 27 18、解法一 ：连接 AC,取 AC 中点 K，则 K 为 BD 中点，连接 OK，因为点 M 是棱 AA 的中点，点 第 9 页共 13 页 O是 BD 的中点， 1

14、 2 AM DD OK=,AM 1 2 BD OK , MOAK= ,MO AK . 由 AA AK ,得 MOAA . 因为 ,AK BD AK BB,所以 AK 平面 BDD B AK BD , MOBD . 又 OM 与异面直线 AA 和 BD 都相交， 故 OM 为异面直线 AA 和 BD 的公垂线。 （5 分） （）取 BB 的中点 N，连接 MN，则 MN 平面 BCC B , 过点 N 作 NH BC 于 H，连接 MH，则由 三垂线定理得 BCMH ,从而 MHN 为二面角 M BC B 的平面角。 设 1AB= ,则 12 2 1, sin 45 22 4 MN NH BN=

15、 =， 在 RtMNH 中， 1 tan 2 2 2 4 MN MHN NH =. 故二面角 M BC B的大小为 arctan 2 2 。 （12 分） 解法二 ：以点 D 为坐标原点，建立如图所示的空间坐标系 Dxyz ，设 1AB = ,则 (1, 0, 0), (1,1, 0)AB, (0,1,0)C , (1, 0,1), (0,1,1), (0, 0,1)ACD. ()因为点 M 是棱 AA 的中点，点 O是 BD 的中点。 1 111 (1, 0, ), ( , , ) 2 222 MO 11 ( , , 0), (0, 0,1), ( 1, 1,1) 22 OM AA BD=

16、= = uuuur uuur uuuur , 11 0, 00 22 OM AA OM BD= =+= uuuur uuur uuuur uuuur , , OM AA OM BD, 又 OM 与异面直线 AA 和 BD 都相交， 故 OM 为异面直线 AA 和 BD 的公垂线。 （5 分） （）设平面 BMC 的法向量为 1 (, ,)nxyz= ur ， 1 (0, 1, ), ( 1,0,1) 2 BM BC= = uuuur uuuur 1 1 0 0 nBM nBC = = ur uuuur ur uuuur ,即 1 0 2 0 yz xz + = += ，取 2z = ，则 2,

17、 1x y= = ，从而 1 (2,1,2)n = ur 。 第 10 页共 13 页 取平面 BCB的一个法向量为 2 (0,1,0)n = uur ， 12 12 12 11 cos , 3 91 nn nn nn = = = uruur ur uur ur uur 。 由图可知二面角 M BC B 的平面角为锐角， 故二面角 M BC B的大小为 1 arccos 3 。 （12 分） 19、解析 ： （）如图，在直角标系 xoy内作单位圆 O，并作出角 , 与 ，使角 的始 边为 Ox 轴，交 O于点 1 P ,终边交 O于点 2 p ；角 的始边为 2 OP ,终边交 O于 3 P

18、,角 的始 边为 1 OP ,终边交 O于 4 P . 则 12 (1,0), (cos ,sin )PP ， 3 (cos(),sin()P + 4 (cos( ),sin( )P 由 13 24 PP PP= 及两点间距离公式得 22 cos( ) 1 sin ( ) + + 22 cos( ) cos sin( ) sin = + 展开并整理，得 22 ( ) 22(coscos sinsin)cos += ， cos( ) cos cos sin sin += （4 分） 由易得， cos( ) sin ,sin( ) cos 22 = = ， sin( ) cos ( ) cos(

19、) ( ) += + = + cos( )cos( ) sin( )sin( ) 22 = cos cos sinsin = + sin( ) cos cos sinsin += + （6 分） （）由已知 4 cos 5 = ， 3 (, ) 2 ， 3 sin 5 = ； 由 1 tan , ( , ) 32 = ，得 310 10 cos ,sin 10 10 = = ， 4 3 10 3 10 3 10 cos( ) cos cos sin sin ( ) ( ) ( ) 5 10 5 10 10 += = = 。 （12 分） 20、解析： （ ）设 n a 的公差为 d ，由已知得

20、 1 1 336 828 4 ad ad += + = 。解得 1 3, 1ad=， 第 11 页共 13 页 故 3( 1) 4 n an n= = （5 分） （）由()的解答可得 1n n bnq = ，于是 012 2 1 123 (1) nn n Sqqq nqnq = + + + + +L 当 1q 时，上式两边同乘以 q可得 1 123 12 3 (1) n n n qS q q q n q n q = + +L 上述两式相减可得 12 1 1 (1) 1 1 n nn n q qSnq qq q nq q = L 1 1( 1) 1 nn nqnq q + + + = 所以 1

21、 2 1( 1) (1) nn n nqnq S q + + + = ，当 1q = 时 (1) 123 2 n nn Sn + =+ +=L 。 综上所述， 1 2 (1) ,( 1) 2 (1) 1 ,( 1) (1) n nn nn q S nq n q q q + + = = + + （12 分） 21、解析： （）设 (, )Pxy，则 22 1 (2) 2( ) 2 xyx += ，化简得： 2 2 1( 0) 3 y xy= （4 分） （）由当直线 BC 与 x 轴不垂直时，设 BC 的方程为 (2)( 0)ykx k= ，与双曲线方 程 2 2 1( 0) 3 y xy=联立

22、消去 y 得 22 2 2 (3 ) 4 (4 3) 0kx kx k +=， 由题意知 2 30k且 0 ，设 11 2 2 (, ),(, )B xy Cxy，则 2 12 2 4 3 k xx k += ， 2 12 2 43 3 k xx k + = ， 22 12 1 2 12 1 2 ( 2)( 2) 2( ) 4yy k x x k xx x x= + 22 2 22 438 4 33 kk k kk + = + 2 2 9 3 k k = 。 12 ,1xx ，所以直线 AB 的方程为 1 1 (1) 1 y yx x = + + ，因此 M 点的坐标为 1 1 31 (, )

23、 22( 1) y x + 。 1 1 33 (, ) 22( 1) y FM x = + uuuur ，同理可得 2 2 33 (, ) 22( 1) y FN x = + uuur 第 12 页共 13 页 因此 2 2 12 22 12 22 81 933 9 3 ()() 0 434224(1)(1)4 4( 1) 33 k yy k FM FN kkxx kk =+ =+ = + + uuuur uuur 当直线 BC 与 x 轴垂直时， 设 BC 的方程为 2x = ， 则 (2,3), (2, 3)BC ,AB 的方程为 1y x=+， 因此 M 的坐标为 13 (,) 22 M

24、 ， 33 (,) 22 FM = uuuur ,同理得 33 (,) 22 FN = uuur ,因此 3333 ()()() 0 2222 FM FN =+= uuuur uuur 。 综上 0FM FN= uuuur uuur ， FM FN uuuur uuur ，即 FM FN ,故以线段 MN 为直径的圆过点 F. (12 分) 22、解析： （）由题意得 1 0 1 x y a y = + ， 故 1 () log , ( , 1) (1, ) 1 a x gx x x =+ + U ， （3 分） （） 由 1 () log 1 a x gx x = + 2 log (1)(7

25、) a t x x 得 当 1a 时， 1 1 x x + 2 0 (1)(7) t xx ，又 因为 2,6x ，所以 2 0(1)(7)tx x 。令 232 () ( 1)(7 ) 9 15 7, 2,6hx x x x x x x= =+ + 则 2 ( ) 3 18 15 3( 1)( 5)hx x x x x= + = ，列表如下： x 2 (2,5) 5 (5,6) 6 t 0 t 5 极大值 32 25 所以 () 5hx = 最小值 ， 05t， 当 01a时， ， 1 0 1 x x + 2 (1)(7) t x x ， 综上，当 1a 时， 05t；当 01a 。 （9

26、分） （）设 1 1 a p = + ，则 1P ， 第 13 页共 13 页 当 1n= 时， 12 (1) 1 3 5 1 a f ap + =+ ， 当 2n 时，设 2,kkN 时，则 122 12 () 1 1 1 (1 ) 1 . k kk k KK K a fk a p Cp Cp Cp + =+ =+ + + 所以 12 2444 1()1 1 1 (1) 1 kk fk CC kk kk + =+ =+ + ， 从而 44 (2) (3) ( ) 1 1 21 f ffnn n n + + L 。 所以， (1) (2) (3) ( ) (1) 1 4fff fnfn n+L 综上， 总有 (1) (2) (3) ( ) 4fff fnn+L 。（14 分）