2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷及答案-重庆卷.pdf

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1、2007 年普通高等学校招生考试（重庆卷） 数学（理工科） 本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 .在每小题给出的四个备选项中，只 有一项是符合题目要求的 . 1、若等差数列 n a 的前 3 项和 9 3 =S 且 1 1 =a ，则 2 a 等于（ ） A、 3 B、 4 C、 5 D、 6 2、命题“若 1 2 x ，则 11 x ”的逆否命题是（ ） A、若 2 x 1，则 x 1或 x 1 B、若 11 x ，则 1 2 x 或 1x D、若 x 1或 x 1 ，则 2 x 1 3、若三个平面两两相交，且三条交线

2、互相平行，则这三个平面把空间分成（ ） A、5部分 B、6部分 C、7部分 D、8部分 4、若 n x x ) 1 ( + 展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的常数项为（ ） A、10 B、20 C、30 D、120 5、在 ABC 中， nullnull 75,45,3 = CAAB ，则 BC 等于（ ） A、 33 B、 2 C、2 D、 33+ 6、从 5 张 100 元，3 张 200 元，2 张 300 元的奥运预赛门票中任取 3 张，则所取 3 张中至 少有 2 张价格相同的概率为（ ） A、 4 1 B、 120 79 C、 4 3 D、 24 23 7、若 a是 b21

3、+ 与 b21 的等比中项，则 |2| 2 ba ab + 的最大值为（ ） A、 15 52 B、 4 2 C、 5 5 D、 2 2 8、设正数 ba, 满足 nn nn n ba aba 2 lim 1 11 + + + 等于（ ） A、0 B、 4 1 C、 2 1 D、1 9、已知定义域为 R 的函数 )(xf 在 ),8( + 上为减函数，且函数 )8( += xfy 为偶函数，则 （ ） A、 )7()6( ff B、 )9()6( ff C、 )9()7( ff D、 )10()7( ff D C B A 10、如右图，在四边形 ABCD 中， 4| =+ DCBDAB ， 4

4、| =+ DCBDBDAB ， 0= DCBDBDAB ，则 ACDCAB + )( 的值为（ ） A、2 B、 22 C、4 D、 24 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分.把答案填写在答卷相应位置上. 11、复数 3 2 2 i i + 的虚部为_ _. 12、已知 、yx 满足 + ,1 ,42 ,1 x yx yx 则函数 yxz 3+= 的最大值是_. 13、若函数 12)( 2 2 = + aaxx xf 的定义域为 R，则 a的取值范围为_ _. 14、设 n a 为公比 1q 的等比数列，若 2004 a 和 2006 a 是方程 0384 2 =+

5、xx 的两根，则 =+ 20072006 aa _. 15、某校要求每位学生从 7 门课程中选修 4 门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的 选课方案有_种.（以数字作答） 16、过双曲线 4 22 = yx 的右焦点 F 作倾斜角为 null 105 的直线，交双曲线于 P、Q 两点，则 | FQFP 的值为_ _. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 76 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17（本小题满分 13 分，其中（）小问 9 分， （）小问 4 分） 设 xxxf 2sin3cos6)( 2 = . （）求 )(xf 的最大值及最小正周期； （）若锐角 满足 323

6、( =f ，求 5 4 tan 的值. C E D A 1 B 1 C 1 B A 18（本小题满分 13 分，其中（）小问 4 分， （）小问 9 分） 某单位有三辆汽车参加某种事故保险.单位年初向保险公司缴纳每辆 900 元的保险金， 对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获 9000 元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一 次）.设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为 1/9、1/10、1/11，且各车是否发生 事故相互独立.求一年内该单位在此保险中： （）获赔的概率； （）获赔金额 的分布列与期望. 19（本小题满分 13 分，其中（）小问 8 分， （）小问 5 分） 如右图，在直三

7、棱柱 111 CBAABC 中， null 90,1,2 1 = ABCABAA ；点 D、 E 分 别在 D、ABB 11 上，且 DAEB 11 ，四棱锥 1 ABDAC 与直三棱柱的体积之比为 5:3 . （）求异面直线 DE 与 11 CB 的距离； （）若 2=BC ，求二面角 111 BDCA 的平面角的正切值. 20（本小题满分 13 分，其中（） 、 （） 、 （）小问分别为 6、 4、 3 分） 已知函数 )0(ln)( 44 += xcbxxaxxf 在 1=x 处取得极值 a3 ，其中 a、 b 为 常数 . （）试确定 a、 b 的值； （）讨论函数 )(xf 的单调区

8、间； （）若对任意 0 x ，不等式 2 2)( cxf 恒成立，求 c的取值范围 . 21（本小题满分 12 分，其中（）小问 5 分， （）小问 7 分） 已知各项均为正数的数列 n a 的前 n 项和 n S 满足 1 1 S ，且 + += NnaaS nnn ),2)(1(6 . （）求 n a 的通项公式； （）设数列 n b 满足 1)12( = n b n a ，并记 n T 为 n b 的前 n项和，求证： + + NnaT nn ),3(log13 2 . y x l O F P 3 P 2 P 1 22（本小题满分 12 分，其中（）小问 4 分， （）小问 8 分） 如

9、右图，中心在原点 O 的椭圆的右焦点为 )0,3(F ，右准线 l的方程为： 12=x . （）求椭圆的方程； （）在椭圆上任取三个不同点 321 、P、PP ，使 133221 FPPFPPFPP = ，证明： | 1 | 1 | 1 321 FPFPFP + 为定值，并求此定值 . 2007 年普通高等学校招生考试（重庆卷） 数学参考答案（理工科） 一、选择题 ADCBA CBBDC 二、填空题： 11、 5 4 12、 7 13、 0,1 14、 18 15、 25 16、 3 38 三、解答题： 17、解： （） x x xf 2sin3 2 2cos1 6)( + = 32sin32

10、cos3 += xx 3)2sin 2 1 2cos 2 3 (32 += xx 3) 6 2cos(32 += x 故 )(xf 的最大值为 332 + ； 最小正周期 = 2 2 T . （）由 323)( =f 得 3233) 6 2cos(32 =+ ，故 1) 6 2cos( =+ . 又由 2 0 得 66 2 6 += xxxxf .令 0)( / =xf ，解得 1=x . 当 10 x 时， 0)( / x 时， 0)( xf ，此时 )(xf 为增函数 . 因此 )(xf 的单调递减区间为 )1,0( ，而 )(xf 的单调递增区间为 ),1( + . （）由（）知， )(

11、xf 在 1=x 处取得极小值 cf = 3)1( ，此极小值也是最小值 . 要使 )0(2)( 2 xcxf 恒成立，只需 2 23 cc . 即 032 2 cc ，从而 0)1)(32( + cc . 解得 2 3 c 或 1c . 所以 c的取值范围为 ), 2 3 1,( + 21、（） 解： 由 )2)(1( 6 1 1111 += aaSa ， 解得 1 1 =a 或 2 1 =a .由假设 1 11 = Sa ， 因 此 2 1 =a . 又由 )2)(1( 6 1 )2)(1( 6 1 1111 += + nnnnnnn aaaaSSa ，得 0)3)( 11 =+ + nn

12、nn aaaa ，即 03 1 = + nn aa 或 nn aa = +1 . 因 0 n a ，故 nn aa = +1 不成立，舍去 . 因此 3 1 = + nn aa ，从而 n a 是公差为 3，首项为 2 的等差数列，故 n a 的通项 为 13 = na n . （）证法一：由 1)12( = n b n a 可解得 13 3 log) 1 1(log 22 =+= n n a b n n 从而 ) 13 3 5 6 2 3 (log 2215 =+= n n bbbT nn nullnull . 因此 23 2 ) 13 3 5 6 2 3 (log)3(log13 3 22

13、 + =+ nn n aT nn null . 令 23 2 ) 13 3 5 6 2 3 ()( 3 + = nn n nf null ，则 2 3 3 )23)(53( )33( ) 23 33 ( 53 23 )( )1( + + = + + + + = + nn n n n n n nf nf . 因 079)23)(53()33( 23 +=+ nnnn ，故 )()1( nfnf + . 特别地 1 20 27 )1()( = fnf ，从而 0)(log)3(log13 22 =+ nfaT nn ， 即 )3(log13 2 + nn aT . 证法二：同证法一求得 n b 及

14、 n T . A Q 1 y x l O F P 3 P 2 P 1 由二项式定理知，当 0c 时，不等式 cc 31)1( 3 + 成立 . 由此不等式有 333 2 ) 13 1 1() 5 1 1() 2 1 1(2log13 +=+ n T n null )3(log)23(log) 13 23 5 8 2 5 2(log) 13 1 1() 5 3 1)( 2 3 1(2log 2222 +=+= + = + n an n n n nullnull . 证法三：同证法一求得 n b 及 n T . 令 13 23 7 8 4 5 , 3 13 6 7 3 4 , 13 3 5 6 2

15、 3 + + = + = = n n C n n B n n A nnn nullnullnull . 因 13 23 3 13 13 3 + + + n n n n n n ，因此 2 23 3 + = n CBAA nnnn . 从而 )3(log)23(log2log2log) 13 3 5 6 2 3 (2log13 222 3 2 3 2 +=+= =+ nnnnnn anCBAA n n T null 证法四：同证法一求得 n b 及 n T . 下面用数学归纳法证明： )3(log13 2 + nn aT . 当 1=n 时， 5log)3(log, 4 27 log13 212

16、21 =+=+ aT ，因此 )3(log13 2 + nn aT ，结 论成立 . 假设结论当 kn = 时成立，即 )3(log13 2 + kk aT ，则当 1+= kn 时， )3(log313)3(log13 121121 +=+ + kkkkk abTaT 2 3 21122 )23)(53( )33( log3)3(log)3(log + + =+ + kk k baa kkk . 因 079)23)(53()33( 23 +=+ kkkk ，故 0 )23)(53( )33( log 2 3 2 + + kk k . 从而 )3(log13 121 + + kn aT .这就

17、是说当 1+= kn 时结论也成立 . 综上 )3(log13 2 + nn aT 对任何 + Nn 成立 . 22、解： （）设椭圆方程为 1 2 2 2 2 =+ b y a x . 因焦点为 )0,3(F ，故半焦距 3=c .又右 准线 l的方程为 c a x 2 = ，从而由已知 36,12 2 2 = a c a ， 因此 3327,6 22 = caba . 故所求椭圆方程为 1 2736 22 =+ yx . （）记椭圆的右顶点为 A，并设 )3,2,1( = iAFP ii ，不失一般性，假设 3 2 0 1 ，且 3 4 , 3 2 1312 +=+= . 又设 i P 在

18、 l上的射影为 i Q ，因椭圆的离心率 2 1 = a c e ， 从而有 )3,2,1()cos|9( 2 1 )cos|(| 2 = iFPeFPc c a eQPFP iiiiiii . 解得 )3,2,1()cos 2 1 1( 9 2 | 1 =+= i FP i i . 因此 ) 3 4 cos() 3 2 cos(cos 2 1 3 9 2 | 1 | 1 | 1 111 321 +=+ FPFPFP ， 而 0cos 2 3 cos 2 1 cos 2 3 cos 2 1 cos) 3 4 cos() 3 2 cos(cos 11111111 =+=+ ， 故 3 2 | 1 | 1 | 1 321 =+ FPFPFP 为定值 .