2006年高考理科数学试卷及答案（安徽卷）.pdf

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1、2006 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 理科数学 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。第卷 1 至2 页。第卷 3至 4 页。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 考生注意事项： 1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答 题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。 2答第卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3答第卷时，必须用 0.5 毫米墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。 4考试结束，监考人

2、员将试题卷和答题卡一并收回。 参考公式： 如果时间 A、B 互斥，那么 ()()()PA B PA PB+ =+ 如果时间 A、B 相互独立，那么 ( ) () ()PAB PA PB=ii 如果事件 A在一次试验中发生的概率是 P，那么n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概 率 () ( ) 1 nk kk nn Pk CP P = 球的表面积公式 2 4SR= ，其中 R 表示球的半径 球的体积公式 3 4 3 VR= ，其中 R表示球的半径 第卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。

3、 （1）复数 13 3 i i + 等于（ ） A i B i C 3 i+ D 3 i 解： 13 13 1 3(13) ii i i ii i + = + 故选A （2）设集合 22,Axx xR=， 2 |,12Byyx x= = ，则 () R CAB 等于（ ） A R B ,0 xx Rx C 0 D 解： 0,2A= ， 4,0B= ，所以 ( ) 0 RR CAB C= ，故选 B。 （ 3）若抛物线 2 2y px= 的焦点与椭圆 22 1 62 xy + = 的右焦点重合，则 p 的值为（ ） A 2 B 2 C 4 D 4 解：椭圆 22 1 62 xy +=的右焦点为(

4、2,0)，所以抛物线 2 2y px= 的焦点为(2,0)，则 4p = ，故选 D。 （ 4）设 ,aRb ，已知命题 :p ab= ；命题 2 22 : 22 ab a b q + + ，则 p 是 q成立的 （ ） A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条 件 解：命题 :p ab= 是命题 2 22 : 22 ab a b q + + 等号成立的条件，故选 B。 （5）函数 2 2, 0 ,0 xx y xx = 的反函数是（ ） A ,0 2 ,0 x x y xx = B 2, 0 ,0 xx y xx = C ,0 2 ,0 x x y xx =

5、D 2, 0 ,0 xx y xx = 的图象按向量 ,0 6 a = null 平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的 解析式是（ ） A sin( ) 6 yx =+ B sin( ) 6 yx = C sin(2 ) 3 yx =+ D sin(2 ) 3 yx = 解：将函数 sin ( 0)yx = 的图象按向量 ,0 6 a = null 平移，平移后的图象所对应的解析式为 sin ( ) 6 yx =+，由图 象知， 73 () 12 6 2 +=，所以 2 = ，因此选 C。 （7）若曲线 4 y x= 的一条切线 l与直线 480 xy+ =垂直，则 l的方程

6、为（ ） A 430 xy= B 450 xy+= C 430 xy += D 430 xy+= 解：与直线 480 xy+=垂直的直线 l为 40 xym +=，即 4 y x= 在某一点的导数为 4，而 3 4y x= ，所以 4 y x= 在(1，1)处导数为 4，此点的切线为 430 xy =，故选 A （8）设 0a ，对于函数 () sin (0 ) sin xa fx x x + = ，下列结论正确的是（ ） A有最大值而无最小值 B有最小值而无最大值 C有最大值且有最小值 D既无最大值又无最小值 解：令 sin , (0,1txt=，则函数 () sin (0 ) sin xa

7、 fx x x + = ，所以 1,(0,1 a yt t =+ 是一个减函减，故选 B。 （9）表面积为 23 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 A 2 3 B 1 3 C 2 3 D 22 3 解： 此正八面体是每个面的边长均为 a的正三角形， 所以由 2 3 823 4 a =知， 1a = ， 则此球的直径为 2 ，故选 A。 （10）如果实数 x y、 满足条件 10 10 10 xy y xy + + + + ，那么 2x y 的最大值为（ ） A 2 B 1 C 2 D 3 解：当直线 2x yt = 过点(0，-1)时， t最大，故选 B。 （11）如果 1

8、11 ABC 的三个内角的余弦值分别等于 222 ABC 的三个内角的正弦值，则 （ ） A 111 ABC 和 222 ABC 都是锐角三角形 B 111 ABC 和 222 ABC 都是钝角三角形 C 111 ABC 是钝角三角形， 222 ABC 是锐角三角形 D 111 ABC 是锐角三角形， 222 ABC 是钝角三角形 解： 111 ABC 的三个内角的余弦值均大于 0，则 111 ABC 是锐角三角形，若 222 ABC 是 锐角三角形， 由 21 1 21 1 21 1 sin cos sin( ) 2 sin cos sin( ) 2 sin cos sin( ) 2 AA

9、A B BB CC C = = = ， 得 21 21 21 2 2 2 AA B B CC = = = ， 那么， 222 2 ABC +=， 所以 222 ABC 是钝角三角形。故选 D。 （12）在正方体上任选 3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰 三角形的概 率为（ ） A 1 7 B 2 7 C 3 7 D 4 7 解：在正方体上任选 3个顶点连成三角形可得 3 8 C 个三角形，要得直角非等腰 三角形， 则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线)，共有 24 个，得 3 8 24 C ， 所以选 C。 2006 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）理

10、科 数学 第卷（非选择题 共90 分） 注意事项： 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡 上书写作答，在试题卷上书写作答无效 。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共16 分，把答案填写在答题卡的相应位 置。 （13）设常数 0a ， 4 2 1 ax x + 展开式中 3 x 的系数为 3 2 ，则 2 lim( ) n n aa a + =_。 解： 1 482 2 14 r rr r r TCaxx + = ，由 1 82 3 2 ,2, r r xx x r = =得 4 4 31 = 22 rr Ca 由知a，所以 2 1 2 lim( ) 1 1 1 2 n n

11、aa a + = = ，所以为 1。 （14） 在 ABCDnull 中， ,3AB a AD b AN NC= nullnullnullnull null nullnullnullnull null nullnullnullnull nullnullnullnull ， M 为BC 的中点， 则 MN = nullnullnullnullnull _。 （用 ab nullnull 、 表示） 解： 343A=3()AN NC AN C a b=+ nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull null

12、 null 由得 ， 1 2 AM a b=+ nullnullnullnullnullnull null ，所以 3111 ()( ) 4244 MNabab ab=+=+ nullnullnullnullnullnullnullnullnull nullnull 。 （15）函数 ( )f x 对于任意实数 x满足条件 () () 1 2fx f x += ，若 ()15,f = 则 ()()5ff =_。 解：由 () () 1 2fx f x += 得 () () 1 4() 2 f xfx fx += = + ，所以 (5) (1) 5ff=，则 ()() 11 5(5)(1) (1

13、 2) 5 ff f f f = = + 。 （16）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方 体的一个顶点 A 在平面 内，其余顶点在 的同侧，正方体上与顶点 A 相邻的三个顶点到 的距离分别为 1， 2和4， P 是正方体的其余四个顶点 中的一个，则 P 到平面 的距离可能是： 3； 4； 5； 6； 7 以上结论正确的为_ _。 （写出所有正确结论的编号 ） 解：如图，B、D、A 1到平面 的距离分别为 1、2、4，则 D、A 1的中 点到平面 的距离为 3，所以 D 1到平面 的距离为 6；B、A 1的中点到平面 的距离为 5 2 ， 所以 B 1到平面 的距离为 5；则

14、 D、B 的中点到平面 的距离为 3 2 ，所以 C 到平面 的距离 为3；C、A 1的中点到平面 的距离为 7 2 ，所以 C 1到平面 的距离为 7；而P为 C、C 1、B 1、 D1中的一点，所以选。 三、解答题：本大题共 6 小题，共74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 （17） （本大题满分 12 分）已知 310 , tan cot 43 += （）求 tan 的值； （）求 22 5sin 8sin cos 11cos 8 222 2 2sin 2 + 的值。 解：()由 10 tan cot 3 +=得 2 3tan 10tan 3 0+ +=，即 1 tan 3

15、tan 3 = =或 ，又 3 4 ，所以 1 tan 3 = 为所求。 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 第 16 题图 （） 22 5sin 8sin cos 11cos 8 222 2 2sin 2 + = 1-cos 1+cos 54sin 8 22 2cos + + = 5 5cos 8sin 11 11cos 16 22cos + = 8sin 6cos 8tan 6 22cos 22 + + = = 52 6 。 （18） （本大题满分 12 分）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对 各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同

16、的添加剂。现有 芳香度分别为 0，1，2，3，4，5 的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先要 随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。 用 表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之 和。 （）写出 的分布列； （以列表的形式给出结论，不必写计算过程） （）求 的数学期望 E 。 （要求写出计算过程或说明道理） 解： （） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 P 1 15 1 15 2 15 2 15 3 15 2 15 2 15 1 15 1 15 （） 112232221 1234567895 15 15 15 15 15 15 15 15 15 E = + + + + + + +

17、+ = （19） （本大题满分12分） 如图， P是边长为1的正六边形ABCDEF 所在平面外一点， 1PA= ，P 在平面 ABC 内的射影为 BF的中点 O。 （）证明 PA BF ； （）求面 APB与面 DPB 所成二面角的大小。 解： （）在正六边形 ABCDEF 中， ABFnull 为等腰三角形， P 在平面ABC 内的射影为 O，PO平面 ABF，AO为 PA 在 平面 ABF 内的射影；O为 BF 中点，AOBF，PABF。 （）PO平面 ABF，平面 PBF平面 ABC；而 O 为BF 中 点，ABCDEF是正六边形 ，A、O、D共线，且直线 ADBF，则 AD 平面 PB

18、F；又正六边形 ABCDEF 的边长为 1， 1 2 AO = ， 3 2 DO = ， 3 2 BO = 。 过O 在平面POB 内作OHPB于H，连AH、DH，则AHPB，DHPB，所以 AHD 为所 求二面角平面角。 在 AHOnull 中，OH= 21 7 ， 1 2 tan 21 7 AO AHO OH = 7 221 。 在 DHOnull 中， 3 21 2 tan 2 21 7 DO DHO OH =； A B C D E F O P 第 19 题图 H 而 721 428 2221 tan tan( ) 721321 1 2 221 AHD AHO DHO + =+ = =

19、（）以 O为坐标原点，建立空间直角坐标系，P(0,0，1)，A(0， 1 2 ,0)，B( 3 2 ， 0,0)，D(0,2，0)， 1 (0, , 1) 2 PA= nullnullnullnull ， 3 (,0,1) 2 PB = nullnullnullnull ， (0,2, 1)PD = nullnullnullnull 设平面 PAB的法向量为 111 (, ,1)nxy= nullnull ，则 1 nPA nullnullnullnullnullnull ， 1 nPB nullnullnullnullnullnull ，得 1 1 1 10 2 3 10 2 y x = =

20、 ， 1 23 (,2,1) 3 n = nullnull ； 设平面 PDB的法向量为 222 (, ,1)nxy= nullnullnull ，则 2 nPD nullnullnullnullnullnullnull ， 2 nPB nullnullnullnullnullnullnull ，得 2 2 210 3 10 2 y x = = ， 2 231 (,1) 32 n = nullnullnull ； 12 12 12 cos , | nn nn nn = = nullnull nullnullnull nullnull nullnullnull nullnull nullnull

21、null （20） （本大题满分 12 分）已知函数 ( )f x 在 R 上有定义，对任何实数 0a 和任何实 数 x，都有 () ()f ax af x= （）证明 ( )00f = ； （）证明 () ,0 ,0 kx x fx hx x = 时，设 () () () 1 (0)gx fx x fx = +，讨论 ()gx在 ()0,+ 内的单调性并求极值。 证明（）令 0 x= ，则 () ( )00faf= ， 0a ， ( )00f = 。 （）令 x a= ， 0a ， 0 x ，则 ( ) ( ) 2 f xxfx= 。 假设 0 x 时， ()f xkx= ()kR ，则 (

22、 ) 22 f xkx= ，而 ( ) 2 xfx xkx kx= = ， () () 2 f xxfx= ，即 ()f xkx= 成立。 令 x a= ， 0a ， 0 x ， ( ) ( ) 2 f xxfx= 假设 0 x 时， ()f xhx= ()hR ，则 ( ) 22 f xhx=，而 ( ) 2 xfx xhx hx=， () () 2 f xxfx= ，即 ()f xhx= 成立。 () ,0 ,0 kx x fx hx x = 时， () () () 11 gx fx kx fx kx =+=+， 2 22 11 () x gx k kx kx = + = 令 () 0gx

23、 = ，得 11xx=或 ； 当 (0,1)x 时， ()0gx ， ()gx是单调递增函数； 所以当 1x= 时，函数 () gx在 ( ) 0,+ 内取得极小值，极小值为 1 (1)gk k =+ （21） （本大题满分 12 分）数列 n a 的前 n项和为 n S ，已知 () 2 1 1 ,1,12, 2 nn aSnannn= = = （）写出 n S 与 1n S 的递推关系式 ( )2n ，并求 n S 关于 n的表达式； （）设 () ()( ) 1/ , nn nnn S f xxbfppR n + =，求数列 n b 的前 n项和 n T 。 解：由 () 2 1 nn

24、Snann=()2n 得： ( ) 2 1 ()1 nnn SnSS nn = ，即 () 22 1 (1) 1 nn nSnSnn =，所以 1 1 1 1 nn nn SS nn + = ，对 2n 成立。 由 1 1 1 1 nn nn SS nn + = ， 12 1 1 12 nn nn SS = ， 21 32 1 21 SS = 相加得： 1 1 21 n n SSn n + =，又 11 1 2 Sa=，所以 2 1 n n S n = + ，当 1n= 时，也成立。 （）由 () 11 1 nnn n S n f xx x nn + = + ，得 ( ) / n nn bfp

25、np=。 而 23 1 23 (1) nn n Tpp p np np =+ + + +null ， 234 1 23 (1) nn n pTp p p npnp + =+ + + +null ， 23 1 1 1 (1 ) (1 ) 1 n nnn n n pp PT p p p p p np np p + =+= null （22） （本大题满分 14 分）如图，F 为双曲线 C： () 22 22 10,0 xy ab ab =的右焦点。 P 为双曲线C右支上一点，且位于 x轴上方，M 为左准线上一点， O为坐标原点。已知四边 形 OFPM 为平行四边形， PF OF= 。 （）写出双曲

26、线 C 的离心率 e与 的关系式； （）当 1 = 时，经过焦点 F且平行于 OP的直线交 双曲线于 A、B 点，若 12AB = ，求此时的双曲线方程。 解：四边形 OFPM 是 null， | |OF PM c= = ，作 双曲线的右准线交 PM 于 H，则 2 |2 a PM PH c =+，又 22 22222 | | | 2 2 PF OF c c e e aaPH c a e cc cc = = = = ， 2 20ee=。 （）当 1 = 时， 2e= ， 2ca= ， 22 3ba= ，双曲线为 22 22 1 43 xy aa = 四边形 OFPM 是菱形，所以直线 OP 的斜率为 3 ，则直线 AB 的方程为 3( 2 )y xa=，代入到双曲线方 O F x y P M 第 22 题图 H 程得： 22 948600 xaxa+=， 又 12AB = ，由 22 12 12 1()4ABkxxx=+ + 得： 2 2 48 60 12 2 ( ) 4 99 aa =，解 得 2 9 4 a = ，则 2 27 4 b = ，所以 22 1 27 9 4 xy = 为所求。