2006年高考理科数学试卷及答案（湖北卷）.pdf

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1、2006 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数学 （理工农医类） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 4 页，共 4 页.共 150 分.考试用时 120分钟. 祝考试顺利 第卷 （选择题 共50 分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码 粘贴在答题卡上的指定位置。 2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。 3.考试结束，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回。 一、选择题：本大题共10

2、 小题，每小题 5分，共50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知向量 ( )1,3=a ， b 是不平行于 x 轴的单位向量，且 3=ba ，则 b = A. 2 1 , 2 3 B. 2 3 , 2 1 C. 4 33 , 4 1 D. ( )0,1 2.若互不相等的实数 a 、 b 、 c 成等差数列， c 、 a 、 b 成等比数列，且 103 =+ cba ，则 a = A.4 B.2 C.-2 D.-4 3.若 ABC 的内角 A 满足 3 2 2sin =A ，则 =+ AA cossin A. 3 15 B. 3 15 C. 3 5 D. 3 5

3、 4.设 () x x xf + = 2 2 lg ，则 + x f x f 2 2 的定义域为 A. ()()4,00,4 B. ( ) ( )4,11,4 C. ()()2,11,2 D. ( ) ( )4,22,4 5.在 24 3 1 + x x 的展开式中， x 的幂的指数是整数的项共有 A.3 项 B.4 项 C.5 项 D.6 项 6.关于直线 m 、 n 与平面 、 ，有下列四个命题： /,/ nm 且 / ，则 nm / ； nm , 且 ，则 nm ； /,nm 且 / ，则 nm ； nm ,/ 且 ，则 nm / . 其中真命题的序号是： A. 、 B. 、 C. 、

4、D. 、 7.设过点 ()yxP , 的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A 、 B 两点，点 Q与点 P 关 于 y 轴对称， O为坐标原点，若 PABP 2= ，且 1= ABOQ ，则 P 点的轨迹方程是 A. ()0,01 2 3 3 22 =+ yxyx B. ()0,01 2 3 3 22 = yxyx C. ()0,013 2 3 22 = yxyx D. ()0,013 2 3 22 =+ yxyx 8.有限集合 S 中元素个数记作 card()S ，设 A、 B 都为有限集合，给出下列命题： =BA 的充要条件是 card()BA = card( )A + c

5、ard( )B ； BA 的必要条件是 card()A card( )B ； BA 的充分条件是 card()A card( )B ； BA = 的充要条件是 card()=A card( )B . 其中真命题的序号是 A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 9.已知平面区域 D 由以 ()3,1A 、 ()2,5B 、 ( )1,3C 为顶点的三角形内部和边界组成 .若在区域 D 上 有无穷多个点 ()yx, 可使目标函数 myxz += 取得最小值，则 =m A. 2 B. 1 C. 1 D. 4 10.关于 x 的方程 () 011 2 2 2 =+ kxx ，给出下列四个命题： 存在实

6、数 k ，使得方程恰有 2 个不同的实根； 存在实数 k ，使得方程恰有 4 个不同的实根； 存在实数 k ，使得方程恰有 5 个不同的实根； 存在实数 k ，使得方程恰有 8 个不同的实根 . 其中 假 命题的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第卷 （非选择题 共 100 分） 注意事项： 第卷用 0.5 毫米黑色的签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上 .答在试题卷上无效 . 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 .把答案填在答题卡相应位置上 . 11.设 x 、 y 为实数，且 ii y i x 31 5 211 = + ，则 x + y =_. 12

7、.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为 0.80.现有 5 人接种该疫苗，至少有 3 人出现发热反 应的概率为_.（精确到 0.01） 13.已知直线 0125 =+ ayx 与圆 02 22 =+ yxx 相切，则 a 的值为_. 14.某工程队有 6 项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙 必须在工程乙完成后进行，又工程丁必须在丙完成后立即进行，那么安排这 6 项工程的不同 的排法种数是_.（用数字作答） 15.将杨辉三角中的每一个数 r n C 都换成分数 () r n Cn 1 1 + ， 就得到一个如右图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角 形 . 从莱布尼

8、茨三角形可以看出 () () r n x n r n nCCnCn 1 1 1 1 1 1 = + + + ，其中 x =_. 令 () 22 1 1 11 60 1 30 1 12 1 3 1 nn n CnnC a + += ， 则 n n a lim =_. 三、解答题：本大题共6 小题，共75 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分 12 分） 设函数 () ( )cbaxf += ，其中向量 ( ) ( )xxbxxa cos3,sin,cos,sin = ()Rxxxc = ,sin,cos . （）求函数 ()xf 的最大值和最小正周期； （） 将函数

9、( )xfy = 的图像按向量 d 平移， 使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称， 求长度最小的 d . 17.（本小题满分 13 分） 已知二次函数 ()xfy = 的图像经过坐标原点，其导函数为 ( ) 26 = xxf .数列 n a 的前 n 项和为 n S ，点 ()( ) * , NnSn n 均在函数 ( )xfy = 的图像上 . （）求数列 n a 的通项公式； （）设 1 3 + = nn n aa b ， n T 是数列 ( ) n b 的前 n 项和，求使得 20 m T n 对所有 * Nn 都成立 的最小正整数 m . 18.（本小题满分 12 分） 如图， 在

10、棱长为 1 的正方体 1111 DCBAABCD 中， p 是侧棱 1 CC 上的一点， mCP = . （）试确定 m ，使得直线 AP 与平面 11 BBDD 所 成角的正切值为 23 ； （）在线段 11 CA 上是否存在一个定点 Q，使得对 任意的 m ， QD 1 在平面 1 APD 上的射影垂直于 AP . 并证明你的结论 . 19.（本小题满分 10 分） 在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布 ()100,70N .已知成 绩在 90 分以上（含 90 分）的学生有 12 名 . （）试问此次参赛的学生总数约为多少人？ （）若该校计划奖励竞赛成绩排在前

11、50 名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？ 可供查阅的（部分）标准正态分布表 ( ) ( ) 00 xxPx =+ ba b y a x 的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且 4=x 为它的右准线 . （）求椭圆的方程； （）设 P 为右准线上不同于点（ 4， 0）的任意一点，若直线 AP 、 BP 分别与椭圆相交于 异于 A、 B 的点 M 、 N ，证明点 B 在以 MN 为直径的圆内 . （此题不要求在答题卡上画图） 21.（本小题满分 14 分） 设 3=x 是函数 () ( ) ( )Rxebaxxxf x += 32 的一个极值点 . （）求 a 与 b 的关系式（用 a 表

12、示 b ） ，并求 ( )xf 的单调区间； （）设 0a ， () x eaxg += 4 25 2 .若存在 4,0, 21 使得 ( )()1 21 1 时方程有 2 个不等的根； （ 2）当 0t1 时方程有 4 个根； （ 3）当 t=1 时，方程有 3 个根。 故当 t=0 时，代入方程，解得 k=0 此时方程有两个不等根 t=0 或 t=1,故此时原方程有 5 个根；当方程有两个不等正根时，即 1 0 4 k 此时方程有两根且均小于 1 大于 0，故相应 的满足方程 2 1x t=的解有 8 个，即原方程的解有 8 个；当 1 4 k = 时，方程有两个相等正根 t 1 2 ，相

13、应的原方程的解有 4 个；故选 B。 14、解：考查有条件限制的排列问题，其中要求部分元素间的相对顺序确定；据题意由于 丁必需在丙完成后立即进行，故可把两个视为一个大元素，先不管其它限制条件使其与其他四 人进行排列共有 5 5 A 种排法，在所在的这些排法中，甲、乙、丙相对顺序共有 3 3 A 种，故满足条 件的排法种数共有 5 5 3 3 20 A A = 。 15、解：本题考查考生的类比归纳及推理能力，第一问对比杨辉三角的性质通过观察、类 比、 归纳可知莱布尼茨三角形中每一行中的任一数都等于其 “脚下” 两数的和， 故此时 1x r=+， 第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的

14、倒数第三项的和，即 () 012 3 2 234 1 111 1 1 345 1 n nn a CCC nC nC =+ + + 根据第一问所推出的结论只需在原式基础 上增加一项 () 1 1 1 n n nC + ，则由每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，结合给出的数表 可逐次向上求和为 1 2 ，故 () 1 11 21 n n n a nC = + ，从而 () 1 11 1 lim lim 21 2 n n xx n a nC = = + 。 三、解答题： 16、点评：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的 基本知识，考查推理和运算能力。 解：

15、( )由题意得， f(x) a(b+c)=(sinx, cosx)(sinx cosx,sinx 3cosx) sin 2 x 2sinxcosx+3cos 2 x 2+cos2x sin2x 2+ 2 sin(2x+ 4 3 ). 所以， f(x)的最大值为 2+ 2 ， 最小正周期是 2 2 . （）由 sin(2x+ 4 3 ) 0 得 2x+ 4 3 k. ，即 x 8 3 2 k ,k Z， 于是 d（ 8 3 2 k ， 2） ， ,4) 8 3 2 ( 2 += k d k Z. 因为 k 为整数，要使 d 最小，则只有 k 1，此时 d（ 8 ， 2）即为所求 . 17 点评：

16、本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算 技能，考查分析问题的能力和推理能力。 解： （）设这二次函数 f(x) ax 2 +bx (a 0) ,则 f(x)=2ax+b,由于 f(x)=6x 2,得 a=3 , b= 2, 所以 f(x) 3x 2 2x. 又因为点 (, )( ) n nS n N 均在函数 ()y fx= 的图像上，所以 n S 3n 2 2n. 当 n 2 时 ， a n S n S n 1 （ 3n 2 2n） )1(2)13 2 nn（ 6n 5. 当 n 1 时， a 1 S 1 31 2 2 61 5， 所以， a n 6n 5 （

17、nN ） （）由（）得知 1 3 + = nn n aa b 5)1(6)56( 3 nn ) 16 1 56 1 ( 2 1 + nn ， 故 T n = n i i b 1 2 1 + + ) 16 1 56 1 (.) 13 1 7 1 () 7 1 1( nn 2 1 （ 1 16 1 +n ） . 因此，要使 2 1 （ 1 16 1 +n ） 20 m （ nN ）成立的 m,必须且仅须满足 2 1 20 m ，即 m 10，所以满足要求的最小正整数 m 为 10. 18、点评：本小题主要考查线面关系、直线于平面所成的角的有关知识及空间想象能力和推 理运算能力，考查运用向量知识解决

18、数学问题的能力。 解法 1： （）连 AC，设 AC 与 BD 相交于点 O,AP 与平面 11 BDD B 相交于点， ,连结 OG， 因为 PC平面 11 BDD B ，平面 11 BDD B 平面 APC OG, 故 OG PC，所以， OG 2 1 PC 2 m . 又 AO BD,AO BB1，所以 AO平面 11 BDD B ， 故 AGO 是 AP 与平面 11 BDD B 所成的角 . 在 Rt AOG 中， tanAGO 23 2 2 2 = m GO OA ，即 m 3 1 . 所以，当 m 3 1 时，直线 AP 与平面 11 BDD B 所成的角的正切值为 32. （）

19、可以推测，点 Q 应当是 A I C I 的中点 O 1 ，因为 D 1 O 1 A 1 C 1 , 且 D 1 O 1 A 1 A ，所以 D 1 O 1 平面 ACC 1 A 1 ， 又 AP平面 ACC 1 A 1 ，故 D 1 O 1 AP. 那么根据三垂线定理知， D 1 O 1 在平面 APD 1 的射影与 AP 垂直。 解法二： ( )建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1， 0， 0)， B(1， 1， 0)， P(0， 1， m)， C(0， 1， 0)， D(0， 0， 0)， B 1 (1， 1， 1)， D 1 (0， 0， 1) 所以 1 ( 1, 1,0), (0

20、,0,1), ( 1,1, ), ( 1,1,0).BD BB AP m AC= = = = nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull 又由 1 0, 0AC BD AC BB= = nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull 知， AC nullnullnullnull 为平面 11 BBDD的一个法向量。 设 AP 与平面 11 BBDD 所成的角为 ，则 2 2 sin cos( ) 2 22 AP AC

21、 AP AC m = = + nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnull 。依题 意有 2 2 23 , 22 1(32) m = + + 解得 1 3 m = 。故当 j P O 1 D 1 C 1 B 1 A 1 D C BA z y x O D1 C1 C D A B A1 B1 P G 1 3 m = 时，直线 AP 与平面 11 BBDD所成的角的正切值为 32。 （）若在 A 1 C 1 上存在这样的点 Q，设此点的横坐标为 x ，则 Q(x， 1 x ， 1)， 1 (,1 ,0)DQ x

22、x= nullnullnullnullnull 。依题意，对任意的 m 要使 D 1 Q 在平面 APD 1 上的射影垂直于 AP，等价于 D 1 Q AP 1 1 0(1)0 . 2 AP D Q x x x =+= nullnullnullnull nullnullnullnullnull 即 Q 为 A 1 C 1 的中点时， 满足题设要求。 19 点评：本小题主要考查正态分布，对独立事件的概念和标准正态分布的查阅，考查运 用概率统计知识解决实际问题的能力。 解： （）设参赛学生的分数为 ，因为 N(70， 100)，由条件知， P( 90) 1 P（ 90） 1 F(90) 1 ) 1

23、0 7090 ( 1 (2) 1 0.9772 0.228. 这说明成绩在 90 分以上（含 90 分）的学生人数约占全体参赛人数的 2.28，因此， 参赛总人数约为 0228.0 12 526（人） 。 （）假定设奖的分数线为 x 分，则 P( x) 1 P（ x） 1 F(x) 1 ) 10 70 ( x 526 50 0.0951， 即 ) 10 70 ( x 0.9049，查表得 10 70 x 1.31，解得 x 83.1. 故设奖得分数线约为 83.1 分。 20点评：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数 学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。

24、解： （）依题意得 a 2c， c a 2 4，解得 a 2， c 1，从 而 b 3 .故椭圆的方程为 1 34 22 =+ yx . （）解法 1：由（）得 A（ 2， 0） ， B（ 2， 0） .设 M（ x 0 ， y 0 ） . M 点在椭圆上， y 0 4 3 （ 4 x 0 2 ） . 1 又点 M 异于顶点 A、 B， 2x 0 0， BM BP 0，则 MBP 为锐角，从而 MBN 为钝角， 故点 B 在以 MN 为直径的圆内。 解法 2：由（）得 A（ 2， 0） ， B（ 2， 0） .设 M（ x 1 ， y 1 ） ， N（ x 2 ， y 2 ） ， 则 2x 1

25、 2， 2x 2 2，又 MN 的中点 Q 的坐标为（ 2 21 xx + ， 2 21 yy + ） ， 依题意，计算点 B 到圆心 Q 的距离与半径的差 2 BQ 2 4 1 MN ( 2 21 xx + 2） 2 （ 2 21 yy + ） 2 4 1 (x 1 x 2 ) 2 (y 1 y 2 ) 2 （ x 1 2) (x 2 2) y 1 y 1 3 又直线 AP 的方程为 y )2( 2 1 1 + + x x y ，直线 BP 的方程为 y )2( 2 2 2 x x y ， 而点两直线 AP 与 BP 的交点 P 在准线 x 4 上， 2 6 2 6 2 2 1 1 = +

26、x y x y ，即 y 2 2 )23 1 12 + x yx（ 4 又点 M 在椭圆上，则 1 34 2 1 2 1 =+ yx ，即 )4( 4 3 2 1 2 1 xy = 5 于是将 4 、 5 代入 3 ，化简后可得 2 BQ 2 4 1 MN 0)2)(2 4 5 21 xx（ . 从而，点 B 在以 MN 为直径的圆内。 21 点评：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识 解决问题的能力。 解： （） f (x) x 2 (a 2)x b a e 3 x , 由 f (3)=0，得 3 2 (a 2)3 b a e 3 3 0，即得 b 3 2a，

27、则 f (x) x 2 (a 2)x 3 2a a e 3 x x 2 (a 2)x 3 3a e 3 x (x 3)(x a+1)e 3 x . 令 f (x) 0，得 x 1 3 或 x 2 a 1，由于 x 3 是极值点， 所以 x+a+1 0， 那么 a 4. 当 a3 x 1 ，则 在区间（， 3）上， f (x)0， f (x)为增函数； 在区间（ a 1，）上， f (x) 4 时， x 2 3 x 1 ，则 在区间（， a 1）上， f (x)0， f (x)为增函数； 在区间（ 3，）上， f (x)0 时， f (x)在区间（ 0， 3）上的单调递增，在区间（ 3， 4）上

28、单调 递减，那么 f (x)在区间 0， 4上的值域是 min(f (0)， f (4) )， f (3)， 而 f (0)（ 2a 3） e 3 0， f (3) a 6， 那么 f (x)在区间 0， 4上的值域是 （ 2a 3） e 3 ， a 6. 又 2 25 () ( ) 4 x gx a e=+ 在区间 0， 4上是增函数， 且它在区间 0， 4上的值域是 a 2 4 25 ， （ a 2 4 25 ） e 4 ， 由于（ a 2 4 25 ）（ a 6） a 2 a 4 1 （ 2 1 a ） 2 0，所以只须仅须 （ a 2 4 25 ）（ a 6） 0，解得 0a 2 3

29、. 故 a 的取值范围是（ 0， 2 3 ） 。 湖北省 2006 高考试题理科命题点评 试卷在对数学基础知识全面考查的同时，不刻意追求知识点的全面覆盖，突出了对支撑数学学科知识体系的 重点知识进行重点考查。选择题和填空题的前几题都相当容易，对于稳定考生情绪，鼓舞答卷士气具有强烈的 推进作用，注重考查考生的基础知识、基本技能，全卷的区分度比较好。与去年相比，全卷难度有所增加，例 如选择题第 10 题、填空题第 15 题突出考查考生的思维的科学性、严谨性、抽象性、逻辑推理能力。总体来看 试卷的亮点就是稳中求变变而不怪，变中求新新而不偏 . 1、题量及其分布的变化 此次试题最大的一个变化就是将试题

30、的题量设置为 21 个题 ，其中选择题变为 10 个小题，减少了 2 个，填空题 增加了 1 个变为 5 个，此前在各地的模拟试题中，这种题量的设置并不少见，相信考生早有准备，这样做突出 体现了对主观题的考查力度，使高考具有更大的区分度，这样考生能有更多的时间去思考，给学生以充分时间 进行发挥，这既体现了高考的创新立意，更体现了命题指导思想的科学化、人性化，应是以后高考命题的趋势。 2、重点知识作为重点考，热点问题不回避。如第 17 题数列，考查是数列的公式法求通项及裂项法求和及恒成 立一类常见问题； 第 18 题立体几何仍可以通过建立空间坐标系解答问题中的与直线和平面所成角及垂直有关的 问题

31、，体现了向量的工具性作用；第 16 题将三角与平面向量结合这类题目是常见题型，但考查知识非常全面如 三角函数的化简、三角函数的图象与性质及向量平移知识；第 21 题导数题这些都是高考的热点内容，都做了重 点考查，第 20 题考查解析几何，第二问题的转化相信大多数考生也能突破，但与考前常练习的与平面向量的结 合没有体现出来，特别值得一提的是与以往不同的是以前对概率知识的考查本次变为对统计知识的正态分布的 考查，对以后高考复习提出了一定的要求，更加体现了数学的应用性功能。 3、 几个知识点的考题减少，分值降低：不等式、二项式定理、概率、平面向量、证明等知识点与题型有所减 少，分值降低。 总体来看试卷突出了对数学的计算能力、逻辑思维能力、空间想象能力、分析问题和解决问题能力等核心数 学能力的考查，倡导理性的数学思维，不刻意追求知识点的覆盖面，控制了创新题的数量，整卷试题平和传统， 背景公平，突出了在立意上创新，在解法上常见，着力考查充分运用数学的基础知识、基本方法、基本技能来 解答数学基本问题的能力，以此来检查考生的数学素质。