2020年江苏省高考数学试卷及答案解析.docx

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1、试 卷 第 1页 ， 总 24页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 绝密启用前2020年江苏省高考数学试卷试卷副标题考 试 范 围 ： xxx； 考 试 时 间 ： 100分 钟 ； 命 题 人 ： xxx学 校 :_姓 名 ： _班 级 ： _考 号 ： _题 号 一 二 总 分得 分注 意 事 项 ：1 答 题 前 填 写 好 自 己 的 姓 名 、 班 级 、 考 号 等 信 息 $2 请 将 答 案 正 确 填 写 在 答 题 卡 上第 I 卷 （ 选 择 题 ）请 点 击 修 改 第 I卷 的 文 字 说 明 第 II 卷 （ 非 选 择 题 ）请 点

2、 击 修 改 第 II卷 的 文 字 说 明评 卷 人 得 分 一 、 填 空 题1 已 知 集 合 1,0,1,2, 0,2,3A B ， 则 A B _.【 答 案 】 0,2【 解 析 】【 分 析 】 根 据 集 合 的 交 集 即 可 计 算 .【 详 解 】 1,0,1,2A , 0,2,3B 0,2A BI故 答 案 为 ： 0,2 .【 点 睛 】本 题 考 查 了 交 集 及 其 运 算 ， 是 基 础 题 型 2 已 知 i是 虚 数 单 位 ， 则 复 数 (1 i)(2 i)z 的 实 部 是 _.【 答 案 】 3【 解 析 】【 分 析 】 试 卷 第 2页 ， 总

3、 24页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 根 据 复 数 的 运 算 法 则 ， 化 简 即 可 求 得 实 部 的 值 .【 详 解 】 复 数 1 2z i i 22 2 3z i i i i 复 数 的 实 部 为 3.故 答 案 为 ： 3.【 点 睛 】本 题 考 查 复 数 的 基 本 概 念 ， 是 基 础 题 3 已 知 一 组 数 据 4,2 ,3 ,5,6a a 的 平 均 数 为 4， 则 a的 值 是 _. 【 答 案 】 2【 解 析 】【 分 析 】根 据 平 均 数 的 公 式 进 行 求 解 即 可 【 详 解 】 数 据 4,2 ,3

4、,5,6a a 的 平 均 数 为 4 4 2 3 5 6 20a a ， 即 2a .故 答 案 为 ： 2. 【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 平 均 数 的 计 算 和 应 用 ， 比 较 基 础 4 将 一 颗 质 地 均 匀 的 正 方 体 骰 子 先 后 抛 掷 2次 ， 观 察 向 上 的 点 数 ， 则 点 数 和 为 5的 概率 是 _.【 答 案 】 19【 解 析 】【 分 析 】分 别 求 出 基 本 事 件 总 数 ， 点 数 和 为 5的 种 数 ， 再 根 据 概 率 公 式 解 答 即 可 【 详 解 】根 据 题 意 可 得 基 本 事 件 数 总 为 6

5、 6 36 个 .点 数 和 为 5的 基 本 事 件 有 1,4 ， 4,1 ， 2,3 ， 3,2 共 4个 . 出 现 向 上 的 点 数 和 为 5的 概 率 为 4 136 9P . 试 卷 第 3页 ， 总 24页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 故 答 案 为 ： 19.【 点 睛 】本 题 考 查 概 率 的 求 法 ， 考 查 古 典 概 型 、 列 举 法 等 基 础 知 识 ， 考 查 运 算 求 解 能 力 ， 是 基 础题 5 如 图 是 一 个 算 法 流 程 图 ， 若 输 出 y的 值 为 2 ， 则 输 入 x的 值 是 _.

6、 【 答 案 】 3【 解 析 】【 分 析 】根 据 指 数 函 数 的 性 质 ， 判 断 出 1y x ， 由 此 求 得 x的 值 .【 详 解 】由 于 2 0 x ， 所 以 1 2y x ， 解 得 3x .故 答 案 为 ： 3【 点 睛 】 本 小 题 主 要 考 查 根 据 程 序 框 图 输 出 结 果 求 输 入 值 ， 考 查 指 数 函 数 的 性 质 ， 属 于 基 础 题 .6 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 若 双 曲 线 22xa 25y =1(a 0)的 一 条 渐 近 线 方 程 为 y= 52 x，则 该 双 曲 线 的 离 心 率 是

7、 _.【 答 案 】 32【 解 析 】【 分 析 】根 据 渐 近 线 方 程 求 得 a， 由 此 求 得 c， 进 而 求 得 双 曲 线 的 离 心 率 . 【 详 解 】 试 卷 第 4页 ， 总 24页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 双 曲 线 2 22 15x ya ， 故 5b .由 于 双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 方 程 为 52y x ， 即5 22b aa ， 所 以 2 2 4 5 3c a b ， 所 以 双 曲 线 的 离 心 率 为 32ca .故 答 案 为 ： 32【 点 睛 】本 小 题 主 要 考 查 双 曲 线 的 渐

8、近 线 ， 考 查 双 曲 线 离 心 率 的 求 法 ， 属 于 基 础 题 .7 已 知 y=f(x)是 奇 函 数 ， 当 x0时 ， 23f x x ， 则 f(-8)的 值 是 _.【 答 案 】 4 【 解 析 】【 分 析 】先 求 (8)f ， 再 根 据 奇 函 数 求 ( 8)f 【 详 解 】 23(8) 8 4f ， 因 为 ( )f x 为 奇 函 数 ， 所 以 ( 8) (8) 4f f 故 答 案 为 ： 4【 点 睛 】本 题 考 查 根 据 奇 函 数 性 质 求 函 数 值 ， 考 查 基 本 分 析 求 解 能 力 ， 属 基 础 题 . 8 已 知 2

9、sin ( )4 =23 ， 则 sin2 的 值 是 _.【 答 案 】 13【 解 析 】【 分 析 】直 接 按 照 两 角 和 正 弦 公 式 展 开 ， 再 平 方 即 得 结 果 .【 详 解 】2 22 2 1sin ( ) ( cos sin ) (1 sin2 )4 2 2 2 Q 1 2 1(1 sin2 ) sin22 3 3 故 答 案 为 ： 13【 点 睛 】本 题 考 查 两 角 和 正 弦 公 式 、 二 倍 角 正 弦 公 式 ， 考 查 基 本 分 析 求 解 能 力 ， 属 基 础 题 . 试 卷 第 5页 ， 总 24页外 装 订 线 学校:_姓名：_班

10、级 ：_考号：_ 内 装 订 线 9 如 图 ， 六 角 螺 帽 毛 坯 是 由 一 个 正 六 棱 柱 挖 去 一 个 圆 柱 所 构 成 的 已 知 螺 帽 的 底 面 正六 边 形 边 长 为 2cm， 高 为 2cm， 内 孔 半 径 为 0.5cm， 则 此 六 角 螺 帽 毛 坯 的 体 积 是 _cm.【 答 案 】 12 3 2【 解 析 】【 分 析 】 先 求 正 六 棱 柱 体 积 ， 再 求 圆 柱 体 积 ， 相 减 得 结 果 .【 详 解 】正 六 棱 柱 体 积 为 236 2 2=12 34 圆 柱 体 积 为 21( ) 22 2 所 求 几 何 体 体 积

11、 为 12 3 2故 答 案 为 ： 12 3 2【 点 睛 】 本 题 考 查 正 六 棱 柱 体 积 、 圆 柱 体 积 ， 考 查 基 本 分 析 求 解 能 力 ， 属 基 础 题 .10 将 函 数 y= sin(2 )43 x 的 图 象 向 右 平 移 6 个 单 位 长 度 ， 则 平 移 后 的 图 象 中 与 y 轴 最近 的 对 称 轴 的 方 程 是 _.【 答 案 】 524x 【 解 析 】【 分 析 】先 根 据 图 象 变 换 得 解 析 式 ， 再 求 对 称 轴 方 程 ， 最 后 确 定 结 果 .【 详 解 】3sin2( ) 3sin(2 )6 4 1

12、2y x x 72 ( ) ( )12 2 24 2kx k k Z x k Z 当 1k 时 524x 试 卷 第 6页 ， 总 24页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 故 答 案 为 ： 524x 【 点 睛 】本 题 考 查 三 角 函 数 图 象 变 换 、 正 弦 函 数 对 称 轴 ， 考 查 基 本 分 析 求 解 能 力 ， 属 基 础 题 .11 设 an是 公 差 为 d 的 等 差 数 列 ， bn是 公 比 为 q 的 等 比 数 列 已 知 数 列 an+bn的 前 n项 和 2 2 1( )nnS n n n N ， 则 d+q 的 值 是

13、_【 答 案 】 4【 解 析 】【 分 析 】结 合 等 差 数 列 和 等 比 数 列 前 n项 和 公 式 的 特 点 ， 分 别 求 得 ,n na b 的 公 差 和 公 比 ， 由 此 求 得 d q .【 详 解 】设 等 差 数 列 na 的 公 差 为 d ， 等 比 数 列 nb 的 公 比 为 q， 根 据 题 意 1q .等 差 数 列 na 的 前 n项 和 公 式 为 21 112 2 2n n n d dP na d n a n ，等 比 数 列 nb 的 前 n项 和 公 式 为 1 1 111 1 1n nn b q b bQ qq q q ，依 题 意 n

14、n nS P Q ， 即 2 2 1 112 1 2 2 1 1n nb bd dn n n a n qq q ， 通 过 对 比 系 数 可 知 1 1 12 122 11d daqb q 11 2021daqb ， 故 4d q .故 答 案 为 ： 4【 点 睛 】本 小 题 主 要 考 查 等 差 数 列 和 等 比 数 列 的 前 n项 和 公 式 ， 属 于 中 档 题 .12 已 知 2 2 45 1( , )x y y x y R ， 则 2 2x y 的 最 小 值 是 _【 答 案 】 45 【 解 析 】 试 卷 第 7页 ， 总 24页外 装 订 线 学校:_姓名：_班

15、级 ：_考号：_ 内 装 订 线 【 分 析 】根 据 题 设 条 件 可 得 42 215 yx y ， 可 得 4 22 2 22 21 1 4+ 55 5y yx y yy y ， 利 用 基 本 不 等 式 即可 求 解 .【 详 解 】 2 2 45 1x y y 0y 且 42 215 yx y 4 2 22 2 22 2 21 1 4 1 4 4+ 25 5 55 5 5y y yx y yy y y ， 当 且 仅 当 221 455 yy ， 即2 23 1,10 2x y 时 取 等 号 . 2 2x y 的 最 小 值 为 45 .故 答 案 为 ： 45 .【 点 睛

16、】本 题 考 查 了 基 本 不 等 式 在 求 最 值 中 的 应 用 .利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 时 ， 一 定 要 正 确 理 解和 掌 握 “一 正 ， 二 定 ， 三 相 等 ”的 内 涵 ： 一 正 是 ， 首 先 要 判 断 参 数 是 否 为 正 ； 二 定 是 ， 其 次 要 看 和 或 积 是 否 为 定 值 （ 和 定 积 最 大 ， 积 定 和 最 小 ） ； 三 相 等 是 ， 最 后 一 定 要 验 证 等号 能 否 成 立 （ 主 要 注 意 两 点 ， 一 是 相 等 时 参 数 否 在 定 义 域 内 ， 二 是 多 次 用 或 时 等 号能 否

17、 同 时 成 立 ） .13 在 ABC 中 ， 4 3 =90AB AC BAC ， ， ， D 在 边 BC 上 ， 延 长 AD 到 P， 使 得AP=9， 若 3( )2PA mPB m PC （ m 为 常 数 ） ， 则 CD 的 长 度 是 _ 【 答 案 】 185【 解 析 】【 分 析 】根 据 题 设 条 件 可 设 0PA PD ， 结 合 32PA mPB m PC 与 , ,B D C三 点 共 线 ，可 求 得 ， 再 根 据 勾 股 定 理 求 出 BC ， 然 后 根 据 余 弦 定 理 即 可 求 解 . 试 卷 第 8页 ， 总 24页 外 装 订 线 请

18、不要在装订 线内答题 内 装 订 线 【 详 解 】 , ,A D P三 点 共 线 ， 可 设 0PA PD ， 32PA mPB m PC ， 32PD mPB m PC ， 即 32 mmPD PB PC ，若 0m 且 32m ， 则 , ,B D C 三 点 共 线 ， 32 1mm ， 即 32 ， 9AP ， 3AD ， 4AB , 3AC , 90BAC ， 5BC ，设 CD x ， CDA ， 则 5BD x ， BDA . 根 据 余 弦 定 理 可 得 2 2 2cos 2 6AD CD AC xAD CD ， 22 2 2 5 7cos 2 6 5xAD BD ABA

19、D BD x ， cos cos 0 ， 25 7 06 6 5xx x ， 解 得 185x ， CD的 长 度 为 185 .当 0m 时 ， 32PA PC ， ,C D重 合 ， 此 时 CD的 长 度 为 0，当 32m 时 ， 32PA PB ， ,B D重 合 ， 此 时 12PA ， 不 合 题 意 ， 舍 去 .故 答 案 为 ： 0或 185 .【 点 睛 】本 题 考 查 了 平 面 向 量 知 识 的 应 用 、 余 弦 定 理 的 应 用 以 及 求 解 运 算 能 力 ， 解 答 本 题 的 关 键 是 设 出 0PA PD 14 在 平 面 直 角 坐 标 系 x

20、Oy 中 ， 已 知 3( 0)2P ， ， A， B 是 圆 C： 2 21( ) 362x y 上 的 两个 动 点 ， 满 足 PA PB ， 则 PAB面 积 的 最 大 值 是 _ 试 卷 第 9页 ， 总 24页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 【 答 案 】 10 5【 解 析 】【 分 析 】根 据 条 件 得 PC AB ,再 用 圆 心 到 直 线 距 离 表 示 三 角 形 PAB面 积 ， 最 后 利 用 导 数 求 最大 值 .【 详 解 】PA PB PC AB Q设 圆 心 C到 直 线 AB 距 离 为 d ， 则 2 3 1|

21、 |=2 36 ,| | 14 4AB d PC 所 以 2 2 21 2 36 ( 1) (36 )( 1)2PABS d d d d V令 2 2 2(36 )( 1) (0 6) 2( 1)( 2 36) 0 4y d d d y d d d d （ 负 值舍 去 ）当 0 4d 时 ， 0y ； 当 4 6d 时 ， 0y ， 因 此 当 4d 时 ， y取 最 大 值 ， 即 PABS取 最 大 值 为 10 5，故 答 案 为 ： 10 5【 点 睛 】 本 题 考 查 垂 径 定 理 、 利 用 导 数 求 最 值 ， 考 查 综 合 分 析 求 解 能 力 ， 属 中 档 题

22、.评 卷 人 得 分 二 、 解 答 题15 在 三 棱 柱 ABC-A1B1C1中 ， AB AC， B1C 平 面 ABC， E， F 分 别 是 AC， B1C 的中 点 （ 1） 求 证 ： EF 平 面 AB1C1； 试 卷 第 10页 ， 总 24页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 （ 2） 求 证 ： 平 面 AB1C 平 面 ABB1【 答 案 】 （ 1） 证 明 详 见 解 析 ； （ 2） 证 明 详 见 解 析 .【 解 析 】【 分 析 】（ 1） 通 过 证 明 1/EF AB ， 来 证 得 /EF 平 面 1 1ABC .（ 2） 通 过

23、 证 明 AB 平 面 1ABC ， 来 证 得 平 面 1ABC 平 面 1ABB .【 详 解 】（ 1） 由 于 ,E F 分 别 是 1,AC BC 的 中 点 ， 所 以 1/EF AB . 由 于 EF 平 面 1 1ABC , 1AB 平 面 1 1ABC ， 所 以 /EF 平 面 1 1ABC .（ 2） 由 于 1BC 平 面 ABC， AB 平 面 ABC， 所 以 1BC AB .由 于 1,AB AC AC BC C ， 所 以 AB 平 面 1ABC ,由 于 AB 平 面 1ABB ， 所 以 平 面 1ABC 平 面 1ABB . 【 点 睛 】本 小 题 主

24、要 考 查 线 面 平 行 的 证 明 ， 考 查 面 面 垂 直 的 证 明 ， 属 于 中 档 题 .16 在 ABC 中 ， 角 A， B， C 的 对 边 分 别 为 a， b， c， 已 知 3, 2, 45a c B （ 1） 求 sinC的 值 ； （ 2） 在 边 BC 上 取 一 点 D， 使 得 4cos 5ADC ， 求 tan DAC 的 值 试 卷 第 11页 ， 总 24页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 【 答 案 】 （ 1） 5sin 5C ； （ 2） 2tan 11DAC .【 解 析 】【 分 析 】（ 1） 利 用 余

25、 弦 定 理 求 得 b， 利 用 正 弦 定 理 求 得 sinC.（ 2） 根 据 cos ADC 的 值 ， 求 得 sin ADC 的 值 ， 由 （ 1） 求 得 cosC 的 值 ， 从 而 求 得sin ,cosDAC DAC 的 值 ， 进 而 求 得 tan DAC 的 值 .【 详 解 】（ 1） 由 余 弦 定 理 得 2 2 2 22 cos 9 2 2 3 2 52b a c ac B ， 所 以5b .由 正 弦 定 理 得 sin 5sinsin sin 5c b c BCC B b .（ 2） 由 于 4cos 5ADC ， ,2ADC ， 所 以2 3sin

26、1 cos 5ADC ADC .由 于 ,2ADC ， 所 以 0,2C ， 所 以 2 2 5cos 1 sin 5C C . 所 以 sin sinDAC DAC sin ADC C sin cos cos sinADC C ADC C 3 2 5 4 5 2 55 5 5 5 25 .由 于 0,2DAC ， 所 以 2 11 5cos 1 sin 25DAC DAC .所 以 sin 2tan cos 11DACDAC DAC . 【 点 睛 】本 小 题 主 要 考 查 正 弦 定 理 、 余 弦 定 理 解 三 角 形 ， 考 查 三 角 恒 等 变 换 ， 属 于 中 档 题 .

27、 试 卷 第 12页 ， 总 24页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 17 某 地 准 备 在 山 谷 中 建 一 座 桥 梁 ， 桥 址 位 置 的 竖 直 截 面 图 如 图 所 示 ： 谷 底 O 在 水 平线 MN 上 ， 桥 AB 与 MN 平 行 ， OO为 铅 垂 线 (O在 AB 上 ).经 测 量 ， 左 侧 曲 线 AO 上任 一 点 D 到 MN 的 距 离 1h (米 )与 D 到 OO的 距 离 a(米 )之 间 满 足 关 系 式 21 140h a ； 右侧 曲 线 BO 上 任 一 点 F 到 MN 的 距 离 2h (米 )与 F 到

28、OO的 距 离 b(米 )之 间 满 足 关 系 式32 1 6800h b b .已 知 点 B 到 OO的 距 离 为 40米 . （ 1） 求 桥 AB 的 长 度 ；（ 2） 计 划 在 谷 底 两 侧 建 造 平 行 于 OO的 桥 墩 CD 和 EF， 且 CE 为 80米 ， 其 中 C， E在 AB 上 (不 包 括 端 点 ).桥 墩 EF 每 米 造 价 k(万 元 )、 桥 墩 CD 每 米 造 价 32k(万 元 )(k0).问 OE 为 多 少 米 时 ， 桥 墩 CD 与 EF 的 总 造 价 最 低 ?【 答 案 】 （ 1） 120米 （ 2） 20O E 米【

29、 解 析 】【 分 析 】（ 1） 根 据 A,B高 度 一 致 列 方 程 求 得 结 果 ； （ 2） 根 据 题 意 列 总 造 价 的 函 数 关 系 式 ， 利 用 导 数 求 最 值 ， 即 得 结 果 .【 详 解 】（ 1） 由 题 意 得 2 31 1| | 40 6 40 | | 8040 800O A O A | | | | | | 80 40 120AB O A O B 米（ 2） 设 总 造 价 为 ( )f x 万 元 ， 21| | 80 16040O O ， 设 | |O E x ，3 21 3 1( ) (160 6 ) 160 (80 ) ,(0 40)80

30、0 2 40f x k x x k x x 3 2 21 3 3 6( ) (160 ), ( ) ( ) 0 20800 80 800 80f x k x x f x k x x x (0舍 去 ) 当 0 20 x 时 ， ( ) 0f x ； 当 20 40 x 时 ， ( ) 0f x ， 因 此 当 20 x= 时 ， ( )f x取 最 小 值 ，答 ： 当 20O E 米 时 ， 桥 墩 CD与 EF的 总 造 价 最 低 . 试 卷 第 13页 ， 总 24页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 【 点 睛 】本 题 考 查 实 际 成 本 问 题

31、 、 利 用 导 数 求 最 值 ， 考 查 基 本 分 析 求 解 能 力 ， 属 中 档 题 .18 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 椭 圆 2 2: 14 3x yE 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1， F2，点 A 在 椭 圆 E 上 且 在 第 一 象 限 内 ， AF2 F1F2， 直 线 AF1与 椭 圆 E 相 交 于 另 一 点 B （ 1） 求 AF1F2的 周 长 ；（ 2） 在 x 轴 上 任 取 一 点 P， 直 线 AP 与 椭 圆 E 的 右 准 线 相 交 于 点 Q， 求 OP QP 的 最小 值 ；（ 3） 设 点 M 在 椭

32、 圆 E 上 ， 记 OAB 与 MAB 的 面 积 分 别 为 S1， S2， 若 S2=3S1， 求 点M 的 坐 标 【 答 案 】 （ 1） 6； （ 2） -4； （ 3） 2,0M 或 2 12,7 7 .【 解 析 】 【 分 析 】（ 1） 根 据 椭 圆 定 义 可 得 1 2 4AF AF ， 从 而 可 求 出 1 2AFF 的 周 长 ；（ 2） 设 0,0P x ， 根 据 点 A在 椭 圆 E上 ， 且 在 第 一 象 限 ， 2 1 2AF FF ， 求 出 31,2A ，根 据 准 线 方 程 得 Q点 坐 标 ， 再 根 据 向 量 坐 标 公 式 ， 结 合

33、 二 次 函 数 性 质 即 可 出 最 小 值 ；（ 3） 设 出 设 1 1,M x y ， 点 M 到 直 线 AB 的 距 离 为 d ， 由 点 O到 直 线 AB 的 距 离 与2 13S S ， 可 推 出 95d ， 根 据 点 到 直 线 的 距 离 公 式 ， 以 及 1 1,M x y 满 足 椭 圆 方 程 ， 解 方 程 组 即 可 求 得 坐 标 .【 详 解 】（ 1） 椭 圆 E的 方 程 为 2 2 14 3x y 试 卷 第 14页 ， 总 24页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 1 1,0F , 2 1,0F由 椭 圆 定 义 可

34、得 ： 1 2 4AF AF . 1 2AFF 的 周 长 为 4 2 6 （ 2） 设 0,0P x ， 根 据 题 意 可 得 0 1x . 点 A在 椭 圆 E上 ， 且 在 第 一 象 限 ， 2 1 2AF FF 31,2A 准 线 方 程 为 4x 4, QQ y 20 0 0 0 0,0 4, 4 2 4 4QOP QP x x y x x x ， 当 且 仅 当 0 2x 时 取 等 号 . OP QP 的 最 小 值 为 4 .（ 3） 设 1 1,M x y ， 点 M 到 直 线 AB 的 距 离 为 d . 31,2A ， 1 1,0F 直 线 1AF 的 方 程 为

35、3 14y x 点 O到 直 线 AB 的 距 离 为 35， 2 13S S 2 1 1 3 13 3 2 5 2S S AB AB d 95d 1 13 4 3 9x y 2 21 1 14 3x y 联 立 解 得 11 20 xy ， 11 27127xy . 2,0M 或 2 12,7 7 . 试 卷 第 15页 ， 总 24页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 【 点 睛 】本 题 考 查 了 椭 圆 的 定 义 ， 直 线 与 椭 圆 相 交 问 题 、 点 到 直 线 距 离 公 式 的 运 用 ， 熟 悉 运 用 公式 以 及 根 据 2 13

36、S S 推 出 95d 是 解 答 本 题 的 关 键 .19 已 知 关 于 x 的 函 数 ( ), ( )y f x y g x 与 ( ) ( , )h x kx b k b R 在 区 间 D 上 恒 有( ) ( ) ( )f x h x g x （ 1） 若 2 22 2 ( )f x x x g x x x D ， ， ， ， 求 h(x)的 表 达 式 ；（ 2） 若 2( ) 1 ( ) ln ( ) , (0 )f x x x g x k x h x kx k D ， ， ， ， 求 k 的 取 值 范 围 ；（ 3） 若 4 2 2 3 4 22 4 8 4 3 2 (

37、0 2)f x x x g x x h x t t x t t t ， ， ， , 2, 2D m n ， 求 证 ： 7n m 【 答 案 】 （ 1） 2h x x ； （ 2） 0,3k ； （ 3） 证 明 详 见 解 析【 解 析 】【 分 析 】 （ 1） 求 得 f x 与 g x 的 公 共 点 ， 并 求 得 过 该 点 的 公 切 线 方 程 ， 由 此 求 得 h x 的 表达 式 .（ 2） 先 由 0h x g x ， 求 得 k 的 一 个 取 值 范 围 ， 再 由 0f x h x ， 求 得 k 的另 一 个 取 值 范 围 ， 从 而 求 得 k 的 取 值

38、 范 围 .（ 3） 先 由 f x h x ， 求 得 t 的 取 值 范 围 ， 由 方 程 0g x h x 的 两 个 根 ， 求 得n m 的 表 达 式 ， 利 用 导 数 证 得 不 等 式 成 立 .【 详 解 】（ 1） 由 题 设 有 2 22 2x x kx b x x 对 任 意 的 xR恒 成 立 . 令 0 x ， 则 0 0b ， 所 以 0b .因 此 2 2kx x x 即 2 2 0 x k x 对 任 意 的 xR恒 成 立 ，所 以 22 0k ， 因 此 2k .故 2h x x . 试 卷 第 16页 ， 总 24页 外 装 订 线 请不要在装订 线

39、内答题 内 装 订 线 （ 2） 令 1 ln 0F x h x g x k x x x ， 01F .又 1xF x k x .若 k 0 ， 则 F x 在 ( )0,1 上 递 增 ， 在 ( )1,+ 上 递 减 ， 则 1 0F x F ， 即 0h x g x ， 不 符 合 题 意 .当 0k 时 ， 0,F x h x g x h x g x ， 符 合 题 意 .当 0k 时 ， F x 在 ( )0,1 上 递 减 ， 在 ( )1,+ 上 递 增 ， 则 1 0F x F ，即 0h x g x ， 符 合 题 意 . 综 上 所 述 ， 0k .由 2 1f x h x

40、 x x kx k 2 1 1 0 x k x k 当 1 02kx ， 即 1k 时 ， 2 1 1y x k x k 在 ( )0,+ 为 增 函 数 ，因 为 0 0 1 0f h k ，故 存 在 0 0,x ， 使 0f x h x ， 不 符 合 题 意 .当 1 02kx ， 即 1k 时 ， 2 0f x h x x ， 符 合 题 意 .当 1 02kx ， 即 1k 时 ， 则 需 21 4 1 0k k ， 解 得 1 3k . 综 上 所 述 ， k 的 取 值 范 围 是 0,3k .（ 3） 因 为 4 2 3 4 2 22 4 3 2 4 8x x t t x t

41、 t x 对 任 意 , 2, 2x m n 恒成 立 ， 4 2 3 4 22 4 3 2x x t t x t t 对 任 意 , 2, 2x m n 恒 成 立 ，等 价 于 2 2 2( ) 2 3 2 0 x t x tx t 对 任 意 , 2, 2x m n 恒 成 立 .故 2 22 3 2 0 x tx t 对 任 意 , 2, 2x m n 恒 成 立 .令 2 2( ) 2 3 2M x x tx t ， 当 20 1t ， 28 8 0, 1 1t t ，此 时 2 2 1 7n m t ，当 21 2t ， 28 8 0t ， 试 卷 第 17页 ， 总 24页外 装

42、 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 但 2 3 4 24 8 4 3 2x t t x t t 对 任 意 的 , 2, 2x m n 恒 成 立 .等 价 于 2 3 2 24 4 3 4 2 0 x t t x t t 对 任 意 的 , 2, 2x m n 恒 成立 . 2 3 2 24 4 3 4 2 0 x t t x t t 的 两 根 为 1 2,x x ，则 4 231 2 1 2 3 2 8, 4t tx x t t x x ，所 以 21 2 1 2 1 2= 4n m x x x x x x 6 4 25 3 8t t t .令 2 , 1,2t

43、 ， 则 3 25 3 8n m . 构 造 函 数 3 25 3 8 1,2P ， 23 10 3 3 3 1P ，所 以 1,2 时 ， 0P ， P 递 减 ， max 1 7P P .所 以 max 7n m ， 即 7n m .【 点 睛 】本 小 题 主 要 考 查 利 用 的 导 数 求 切 线 方 程 ， 考 查 利 用 导 数 研 究 不 等 式 恒 成 立 问 题 ， 考 查 利用 导 数 证 明 不 等 式 ， 考 查 分 类 讨 论 的 数 学 思 想 方 法 ， 属 于 难 题 . 20 已 知 数 列 *( )na n N 的 首 项 a1=1， 前 n 项 和 为

44、 Sn 设 与 k 是 常 数 ， 若 对 一 切正 整 数 n， 均 有 1 1 11 1k k kn n nS S a 成 立 ， 则 称 此 数 列 为 “k”数 列 （ 1） 若 等 差 数 列 na 是 “1”数 列 ， 求 的 值 ；（ 2） 若 数 列 na 是 “ 3 23 ”数 列 ， 且 an 0， 求 数 列 na 的 通 项 公 式 ；（ 3） 对 于 给 定 的 ， 是 否 存 在 三 个 不 同 的 数 列 na 为 “3”数 列 ， 且 a n0?若 存 在 ， 求 的 取 值 范 围 ； 若 不 存 在 ， 说 明 理 由 ，【 答 案 】 （ 1） 1（ 2）

45、 21, 13 4 , 2n nna n （ 3） 0 1 【 解 析 】【 分 析 】 试 卷 第 18页 ， 总 24页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 （ 1） 根 据 定 义 得 +1 1n n nS S a ， 再 根 据 和 项 与 通 项 关 系 化 简 得 1 1n na a ， 最 后根 据 数 列 不 为 零 数 列 得 结 果 ；（ 2） 根 据 定 义 得 1 1 12 2 2+1 +13( )3n n n nS S S S ， 根 据 平 方 差 公 式 化 简 得 +1=4n nS S ， 求得 nS ， 即 得 na ；（ 3） 根 据 定 义 得 1 1 13 3 3+1 1n n nS S a ， 利 用 立 方 差 公 式 化 简 得 两 个 方 程 ， 再 根 据 方 程解 的 个 数 确 定 参 数 满 足 的 条 件 ， 解 得 结 果【 详 解 】 （ 1） +1 1 1 1 1 11 0 1n n n n n nS S a a a a a