2018年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学及答案解析.docx

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1、2018年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 (上 海 卷 )数 学一 、 填 空 题 (本 大 题 共 有 12 题 ， 满 分 54 分 ， 第 16题 每 题 4 分 ， 第 712题 每 题 5 分 )考 生应 在 答 题 纸 的 相 应 位 置 直 接 填 写 结 果 .1.行 列 式 4 12 5 的 值 为 _.解 析 ： 行 列 式 4 12 5 =4 5 2 1=18.答 案 ： 182.双 曲 线 2 2 14x y 的 渐 近 线 方 程 为 _. 解 析 ： 双 曲 线 2 2 14x y 的 a=2， b=1， 焦 点 在 x轴 上而 双 曲 线

2、 222 2 1yxa b 的 渐 近 线 方 程 为 by xa 双 曲 线 2 2 14x y 的 渐 近 线 方 程 为 12y x答 案 ： 12y x3.在 (1+x) 7的 二 项 展 开 式 中 ， x2项 的 系 数 为 _(结 果 用 数 值 表 示 ).解 析 ： 二 项 式 (1+x)7展 开 式 的 通 项 公 式 为1 7r rrT C x ，令 r=2， 得 展 开 式 中 x2的 系 数 为 27C =21.答 案 ： 214.设 常 数 a R， 函 数 f(x)=1og 2(x+a).若 f(x)的 反 函 数 的 图 象 经 过 点 (3， 1)， 则 a=

3、_.解 析 ： 常 数 a R， 函 数 f(x)=1og2(x+a).f(x)的 反 函 数 的 图 象 经 过 点 (3， 1)， 函 数 f(x)=1og2(x+a)的 图 象 经 过 点 (1， 3)， log2(1+a)=3，解 得 a=7.答 案 ： 75.已 知 复 数 z 满 足 (1+i)z=1 7i(i是 虚 数 单 位 )， 则 |z|=_.解 析 ： 由 (1+i)z=1 7i，得 1 7 11 7 6 8 3 41 21 1i ii iz ii i i ，则 2 23 4 5z . 答 案 ： 56.记 等 差 数 列 an的 前 n项 和 为 Sn， 若 a3=0，

4、 a6+a7=14， 则 S7=_.解 析 ： 等 差 数 列 an的 前 n项 和 为 Sn， a3=0， a6+a7=14， 11 12 05 6 14a da d a d ，解 得 a1= 4， d=2， S7=7a1+ 7 62 d = 28+42=14.答 案 ： 147.已 知 2， 1， 1 12 2 ， ， 1， 2， 3， 若 幂 函 数 f(x)=x 为 奇 函 数 ， 且 在 (0， + )上递 减 ， 则 =_.解 析 ： 2， 1， 1 12 2 ， ， 1， 2， 3，幂 函 数 f(x)=x 为 奇 函 数 ， 且 在 (0， + )上 递 减 ， a 是 奇 数

5、 ， 且 a 0， a= 1.答 案 ： 18.在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 点 A( 1， 0)、 B(2， 0)， E、 F 是 y 轴 上 的 两 个 动 点 ， 且 2EF ，则 AE BF 的 最 小 值 为 _.解 析 ： 根 据 题 意 ， 设 E(0， a)， F(0， b)； 2EF a b ； a=b+2， 或 b=a+2；且 1 2AE a BF b ， ， ， ； 2AE BF ab ；当 a=b+2 时 ， 22 2 2 2AE BF b b b b ； b2+2b 2的 最 小 值 为 8 4 34 ； AE BF 的 最 小 值 为 3， 同 理

6、 求 出 b=a+2 时 ， AE BF 的 最 小 值 为 3.答 案 ： 39.有 编 号 互 不 相 同 的 五 个 砝 码 ， 其 中 5 克 、 3 克 、 1 克 砝 码 各 一 个 ， 2 克 砝 码 两 个 ， 从 中 随机 选 取 三 个 ， 则 这 三 个 砝 码 的 总 质 量 为 9 克 的 概 率 是 _(结 果 用 最 简 分 数 表 示 ). 解 析 ： 编 号 互 不 相 同 的 五 个 砝 码 ， 其 中 5 克 、 3克 、 1 克 砝 码 各 一 个 ， 2克 砝 码 两 个 ，从 中 随 机 选 取 三 个 ， 3 个 数 中 含 有 1 个 2； 2个

7、 2， 没 有 2， 3 种 情 况 ，所 有 的 事 件 总 数 为 ： 35C =10，这 三 个 砝 码 的 总 质 量 为 9克 的 事 件 只 有 ： 5， 3， 1 或 5， 2， 2两 个 ，所 以 ： 这 三 个 砝 码 的 总 质 量 为 9 克 的 概 率 是 ： 2 110 5 .答 案 ： 1510.设 等 比 数 列 a n的 通 项 公 式 为 an=qn 1(n N*)， 前 n 项 和 为 Sn.若 1 1lim 2nn nSa ， 则 q=_.解 析 ： 等 比 数 列 an的 通 项 公 式 为 an=qn-1(n N*)， 可 得 a1=1，因 为 1 1

8、lim 2nn nSa ， 所 以 数 列 的 公 比 不 是 1， 1 11 nn a qS q ， an+1=qn.可 得 11 11 1 1 1lim lim lim 1 1 21n n nn nn n nqq q q q qq q q ，可 得 q=3.答 案 ： 311.已 知 常 数 a 0， 函 数 22 xxf x ax 的 图 象 经 过 点 P(p， 65 )， Q(q， 15 ).若 2 p+q=36pq，则 a=_.解 析 ： 函 数 22 xxf x ax 的 图 象 经 过 点 P(p， 65 )， Q(q， 15 ).则 ： 2 2 6 1 15 52 2p qp

9、 qap aq ，整 理 得 ： 22 2 2 2 12 2 2p q p q p qp q p qaq apaq ap a pq ，解 得 ： 2 p+q=a2pq，由 于 ： 2p+q=36pq，所 以 ： a2=36，由 于 a 0，故 ： a=6.答 案 ： 612.已 知 实 数 x 1、 x2、 y1、 y2满 足 ： x12+y12=1， x22+y22=1， x1x2+y1y2= 12 ， 则 1 1 2 21 12 2x y x y 的 最 大 值 为 _.解 析 ： 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，OA=(x1， y1)， OB =(x2， y2)，由 x12

10、+y12=1， x22+y22=1， x1x2+y1y2= 12 ，可 得 A， B 两 点 在 圆 x2+y2=1 上 ，且 OA OB =1 1 cos AOB= 12 ，即 有 AOB=60 ，即 三 角 形 OAB为 等 边 三 角 形 ，AB=1，1 1 2 21 12 2x y x y 的 几 何 意 义 为 点 A， B 两 点 到 直 线 x+y 1=0的 距 离 d1与 d2之 和 ，显 然 A， B 在 第 三 象 限 ， AB所 在 直 线 与 直 线 x+y=1平 行 ，可 设 AB： x+y+t=0， (t 0)，由 圆 心 O 到 直 线 AB 的 距 离 2td

11、， 可 得 22 1 2t =1， 解 得 t= ，即 有 两 平 行 线 的 距 离 为 61 2 32 22 ，即 1 1 2 21 12 2x y x y 的 最 大 值 为 2 3 .答 案 ： 2 3二 、 选 择 题 (本 大 题 共 有 4 题 ， 满 分 20 分 ， 每 题 5 分 )每 题 有 且 只 有 一 个 正 确 选 项 .考 生 应 在答 题 纸 的 相 应 位 置 ， 将 代 表 正 确 选 项 的 小 方 格 涂 黑 .13.设 P 是 椭 圆 22 15 3yx 上 的 动 点 ， 则 P 到 该 椭 圆 的 两 个 焦 点 的 距 离 之 和 为 ( )

12、A.2 2B.2 3C.2 5D.4 2解 析 ： 椭 圆 22 15 3yx 的 焦 点 坐 标 在 x 轴 ， a= 5，P 是 椭 圆 22 15 3yx 上 的 动 点 ， 由 椭 圆 的 定 义 可 知 ： 则 P 到 该 椭 圆 的 两 个 焦 点 的 距 离 之 和为 2a=2 5 .答 案 ： C14.已 知 a R， 则 “ a 1” 是 “ 1a 1” 的 ( ) A.充 分 非 必 要 条 件B.必 要 非 充 分 条 件C.充 要 条 件D.既 非 充 分 又 非 必 要 条 件解 析 ： a R， 则 “ a 1” “ 1a 1” ，“ 1a 1” “ a 1 或 a

13、 0” ， “ a 1” 是 “ 1a 1” 的 充 分 非 必 要 条 件 .答 案 ： A15. 九 章 算 术 中 ， 称 底 面 为 矩 形 而 有 一 侧 棱 垂 直 于 底 面 的 四 棱 锥 为 阳 马 ， 设 AA 1是 正 六棱 柱 的 一 条 侧 棱 ， 如 图 ， 若 阳 马 以 该 正 六 棱 柱 的 顶 点 为 顶 点 、 以 AA1为 底 面 矩 形 的 一 边 ， 则这 样 的 阳 马 的 个 数 是 ( ) A.4B.8C.12D.16解 析 ： 根 据 正 六 边 形 的 性 质 ， 则 D1 A1ABB1， D1 A1AFF1满 足 题 意 ， 而 C1，

14、E1， C， D， E， 和D1一 样 ， 有 2 6=12，当 A1ACC1为 底 面 矩 形 ， 有 2 个 满 足 题 意 ，当 A 1AEE1为 底 面 矩 形 ， 有 2 个 满 足 题 意 ，故 有 12+2+2=16答 案 ： D16.设 D 是 含 数 1的 有 限 实 数 集 ， f(x)是 定 义 在 D 上 的 函 数 ， 若 f(x)的 图 象 绕 原 点 逆 时 针 旋 转 6 后 与 原 图 象 重 合 ， 则 在 以 下 各 项 中 ， f(1)的 可 能 取 值 只 能 是 ( )A. 3B. 32C. 33D.0解 析 ： 设 D是 含 数 1的 有 限 实

15、数 集 ， f(x)是 定 义 在 D上 的 函 数 ，若 f(x)的 图 象 绕 原 点 逆 时 针 旋 转 6 后 与 原 图 象 重 合 ，故 f(1)= 3cos 6 2 .答 案 ： B 三 、 解 答 题 (本 大 题 共 有 5题 ， 满 分 76 分 )解 答 下 列 各 题 必 须 在 答 题 纸 的 相 应 位 置 写 出 必 要的 步 骤 .17.已 知 圆 锥 的 顶 点 为 P， 底 面 圆 心 为 O， 半 径 为 2.(1)设 圆 锥 的 母 线 长 为 4， 求 圆 锥 的 体 积 ；(2)设 PO=4， OA、 OB 是 底 面 半 径 ， 且 AOB=90

16、， M 为 线 段 AB的 中 点 ， 如 图 .求 异 面 直 线 PM与 OB 所 成 的 角 的 大 小 . 解 析 ： (1)由 圆 锥 的 顶 点 为 P， 底 面 圆 心 为 O， 半 径 为 2， 圆 锥 的 母 线 长 为 4 能 求 出 圆 锥 的 体积 .(2)以 O 为 原 点 ， OA 为 x 轴 ， OB 为 y 轴 ， OP 为 z 轴 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 利 用 向 量 法 能求 出 异 面 直 线 PM与 OB 所 成 的 角 .答 案 ： (1) 圆 锥 的 顶 点 为 P， 底 面 圆 心 为 O， 半 径 为 2， 圆 锥 的 母

17、线 长 为 4， 圆 锥 的 体 积 2 2 2 21 1 8 32 4 23 3 3V r h .(2) PO=4， OA， OB是 底 面 半 径 ， 且 AOB=90 ，M为 线 段 AB的 中 点 ， 以 O为 原 点 ， OA 为 x 轴 ， OB为 y 轴 ， OP为 z轴 ，建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， P(0， 0， 4)， A(2， 0， 0)， B(0， 2， 0)，M(1， 1， 0)， O(0， 0， 0)，PM=(1， 1， 4)， OB =(0， 2， 0)，设 异 面 直 线 PM 与 OB所 成 的 角 为 ，则 2 2cos 618 2PM OBPM

18、 OB . =arccos 26 . 异 面 直 线 PM 与 OB所 成 的 角 的 为 arccos 26 .18.设 常 数 a R， 函 数 f(x)=asin2x+2cos 2x.(1)若 f(x)为 偶 函 数 ， 求 a 的 值 ；(2)若 3 14f ， 求 方 程 f(x)=1 2 在 区 间 ， 上 的 解 . 解 析 ： (1)根 据 函 数 的 奇 偶 性 和 三 角 形 的 函 数 的 性 质 即 可 求 出 ，(2)先 求 出 a 的 值 ， 再 根 据 三 角 形 函 数 的 性 质 即 可 求 出 .答 案 ： (1) f(x)=asin2x+2cos2x， f

19、( x)= asin2x+2cos2x， f(x)为 偶 函 数 ， f( x)=f(x)， asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x， 2asin2x=0， a=0；(2) 3 14f ， 2sin 2cos 1 3 12 4a a ， a= 3 ， f(x)= 3 sin2x+2cos2x= 3 sin2x+cos2x+1=2sin(2x+ 6 )+1， f(x)=1 2 ， 2sin(2x+ 6 )+1=1 2 ， 2sin 2 6 2x ， 2 26 4x k ， 或 52 26 4x k ， k Z， x= 512 k ， 或 x=1312 +k ， k Z， x ，

20、， x= 512 或 x= 712 或 x= 12 19.某 群 体 的 人 均 通 勤 时 间 ， 是 指 单 日 内 该 群 体 中 成 员 从 居 住 地 到 工 作 地 的 平 均 用 时 .某 地 上班 族 S中 的 成 员 仅 以 自 驾 或 公 交 方 式 通 勤 .分 析 显 示 ： 当 S 中 x%(0 x 100)的 成 员 自 驾 时 ，自 驾 群 体 的 人 均 通 勤 时 间 为 30 0 3018002 90 30 100 xf x x xx ， ， (单 位 ： 分 钟 )，而 公 交 群 体 的 人 均 通 勤 时 间 不 受 x影 响 ， 恒 为 40 分 钟

21、 ， 试 根 据 上 述 分 析 结 果 回 答 下 列 问 题 ：(1)当 x 在 什 么 范 围 内 时 ， 公 交 群 体 的 人 均 通 勤 时 间 少 于 自 驾 群 体 的 人 均 通 勤 时 间 ？(2)求 该 地 上 班 族 S 的 人 均 通 勤 时 间 g(x)的 表 达 式 ； 讨 论 g(x)的 单 调 性 ， 并 说 明 其 实 际 意 义 .解 析 ： (1)由 题 意 知 求 出 f(x) 40时 x的 取 值 范 围 即 可 ；(2)分 段 求 出 g(x)的 解 析 式 ， 判 断 g(x)的 单 调 性 ， 再 说 明 其 实 际 意 义 .答 案 ： (1

22、)由 题 意 知 ， 当 30 x 100时 ，f(x)=2x+1800 x 90 40， 即 x2 65x+900 0，解 得 x 20或 x 45， x (45， 100)时 ， 公 交 群 体 的 人 均 通 勤 时 间 少 于 自 驾 群 体 的 人 均 通 勤 时 间 ；(2)当 0 x 30时 ，g(x)=30 x%+40(1 x%)=40 10 x ； 当 30 x 100 时 ，g(x)=(2x+180 x 90) x%+40(1 x%)= 2 13 5850 10 x x ； 240 1013 5850 10 xg x x x ；当 0 x 32.5 时 ， g(x)单 调

23、递 减 ；当 32.5 x 100时 ， g(x)单 调 递 增 ；说 明 该 地 上 班 族 S 中 有 小 于 32.5%的 人 自 驾 时 ， 人 均 通 勤 时 间 是 递 减 的 ；有 大 于 32.5%的 人 自 驾 时 ， 人 均 通 勤 时 间 是 递 增 的 ；当 自 驾 人 数 为 32.5%时 ， 人 均 通 勤 时 间 最 少 .20.设 常 数 t 2.在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 点 F(2， 0)， 直 线 l： x=t， 曲 线 ： y 2=8x(0 x t， y 0).l与 x 轴 交 于 点 A、 与 交 于 点 B.P、 Q 分

24、别 是 曲 线 与 线 段 AB 上 的 动 点 .(1)用 t 表 示 点 B 到 点 F 的 距 离 ；(2)设 t=3， |FQ|=2， 线 段 OQ的 中 点 在 直 线 FP 上 ， 求 AQP的 面 积 ；(3)设 t=8， 是 否 存 在 以 FP、 FQ为 邻 边 的 矩 形 FPEQ， 使 得 点 E 在 上 ？ 若 存 在 ， 求 点 P 的 坐标 ； 若 不 存 在 ， 说 明 理 由 .解 析 ： (1)方 法 一 ： 设 B 点 坐 标 ， 根 据 两 点 之 间 的 距 离 公 式 ， 即 可 求 得 |BF|；方 法 二 ： 根 据 抛 物 线 的 定 义 ， 即

25、 可 求 得 |BF|；(2)根 据 抛 物 线 的 性 质 ， 求 得 Q 点 坐 标 ， 即 可 求 得 OD的 中 点 坐 标 ， 即 可 求 得 直 线 PF的 方 程 ，代 入 抛 物 线 方 程 ， 即 可 求 得 P点 坐 标 ， 即 可 求 得 AQP的 面 积 ；(3)设 P 及 E 点 坐 标 ， 根 据 直 线 k PF kFQ= 1， 求 得 直 线 QF 的 方 程 ， 求 得 Q 点 坐 标 ， 根 据FP FQ FE ， 求 得 E 点 坐 标 ， 则 22 248 8 64 8y yy ， 即 可 求 得 P点 坐 标 .答 案 ： (1)方 法 一 ： 由 题

26、 意 可 知 ： 设 B(t， 2 2 t)，则 22 8 2BF t t t ， |BF|=t+2；方 法 二 ： 由 题 意 可 知 ： 设 B(t， 2 2 t)，由 抛 物 线 的 性 质 可 知 ： |BF|=t+ 2p =t+2， |BF|=t+2；(2)F(2， 0)， |FQ|=2， t=3， 则 |FA|=1， |AQ|= 3 ， Q(3， 2 )， 设 OQ的 中 点 D， D( 3 22 2， )，3 02 33 22QFk 则 直 线 PF 方 程 ： y= 3(x 2)，联 立 2 3 28y xy x ， 整 理 得 ： 3x2 20 x+12=0，解 得 ： x=

27、 23 ， x=6(舍 去 )， AQP的 面 积 S= 1 7 7 332 3 6 ； (3)存 在 ， 设 2 28 8y mP y E m ， ， ， ， 则 22 28 1681628PF FQy y yk k yy y ， ，直 线 QF方 程 为 y= 2168 yy (x 2)， yQ= 2168 yy (8 2)= 248 34 yy ， Q(8， 248 34 yy )，根 据 FP FQ FE ， 则 E( 2 248 368 4y yy ， )， 22 248 8 64 8y yy ， 解 得 ： y 2=165 ， 存 在 以 FP、 FQ为 邻 边 的 矩 形 FPE

28、Q， 使 得 点 E在 上 ， 且 P( 2 4 55 5， ). 21.给 定 无 穷 数 列 an， 若 无 穷 数 列 bn满 足 ： 对 任 意 n N*， 都 有 |bn an| 1， 则 称 bn与an“ 接 近 ” .(1)设 an是 首 项 为 1， 公 比 为 12 的 等 比 数 列 ， bn=an+1+1， n N*， 判 断 数 列 bn是 否 与 an接近 ， 并 说 明 理 由 ；(2)设 数 列 an的 前 四 项 为 ： a1=1， a2=2， a3=4， a4=8， bn是 一 个 与 an接 近 的 数 列 ， 记 集 合M=x|x=bi， i=1， 2，

29、3， 4， 求 M中 元 素 的 个 数 m；(3)已 知 a n是 公 差 为 d 的 等 差 数 列 ， 若 存 在 数 列 bn满 足 ： bn与 an接 近 ， 且 在 b2 b1，b3 b2， ， b201 b200中 至 少 有 100个 为 正 数 ， 求 d 的 取 值 范 围 .解 析 ： (1)运 用 等 比 数 列 的 通 项 公 式 和 新 定 义 “ 接 近 ” ， 即 可 判 断 ；(2)由 新 定 义 可 得 an 1 bn an+1， 求 得 bi， i=1， 2， 3， 4 的 范 围 ， 即 可 得 到 所 求 个 数 ；(3)运 用 等 差 数 列 的 通

30、 项 公 式 可 得 an， 讨 论 公 差 d 0， d=0， 2 d 0， d 2， 结 合 新 定义 “ 接 近 ” ， 推 理 和 运 算 ， 即 可 得 到 所 求 范 围 .答 案 ： (1)数 列 bn与 an接 近 .理 由 ： a n是 首 项 为 1， 公 比 为 12 的 等 比 数 列 ，可 得 an= 112n ， bn=an+1+1= 12n +1， 则 |bn an|= 1 11 1 11 12 2 2n n n 1， n N*，可 得 数 列 bn与 an接 近 ；(2)bn是 一 个 与 an接 近 的 数 列 ，可 得 an 1 bn an+1，数 列 an

31、的 前 四 项 为 ： a1=1， a2=2， a3=4， a4=8，可 得 b1 0， 2， b2 1， 3， b3 3， 5， b4 7， 9，可 能 b1与 b2相 等 ， b2与 b3相 等 ， 但 b1与 b3不 相 等 ， b4与 b3不 相 等 ，集 合 M=x|x=b i， i=1， 2， 3， 4，M中 元 素 的 个 数 m=3或 4；(3)an是 公 差 为 d 的 等 差 数 列 ， 若 存 在 数 列 bn满 足 ： bn与 an接 近 ，可 得 an=a1+(n 1)d， 若 d 0， 取 bn=an， 可 得 bn+1 bn=an+1 an=d 0，则 b2 b1

32、， b3 b2， ， b201 b200中 有 200个 正 数 ， 符 合 题 意 ； 若 d=0， 取 bn=a1 1n ， 则 |bn an|=|a1 1n a1|= 1n 1， n N*，可 得 b n+1 bn= 1 1 1n n 0，则 b2 b1， b3 b2， ， b201 b200中 有 200个 正 数 ， 符 合 题 意 ； 若 2 d 0， 可 令 b2n 1=a2n 1 1， b2n=a2n+1，则 b2n b2n 1=a2n+1 (a2n 1 1)=2+d 0，则 b2 b1， b3 b2， ， b201 b200中 恰 有 100个 正 数 ， 符 合 题 意 ； 若 d 2， 若 存 在 数 列 bn满 足 ： bn与 an接 近 ，即 为 an 1 bn an+1， an+1 1 bn+1 an+1+1，可 得 b n+1 bn an+1+1 (an 1)=2+d 0，b2 b1， b3 b2， ， b201 b200中 无 正 数 ， 不 符 合 题 意 .综 上 可 得 ， d 的 范 围 是 ( 2， + ).